超详细导数重点知识点归纳及应用完整版.docx
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超详细导数重点知识点归纳及应用完整版
名师归纳总结
学习必备
精品知识点
导数知识点归纳及应用
●知识点归纳
一、相关概念
1．导数的概念
函数
y=f（x）,如果自变量
x在x0处有增量
x，那么函数
y相应地有
y
x
增量
y=f（x0+
x）－f（x0），比值
叫做函数y=f（x）在x0到x0+
x
f（x0
x）
x
f（x0）。
如果当
y=
x
y有
x
之间的平均变化率，
即
0时，
x
极限，我们就说函数
y=f（x）在点
x0处可导，并把这个极限叫做
f（x）
在点x0处的导数，记作
f’（x0）或y’|x。
x0
y
x
f（x0
x）
x
f（x0）
即f（x
0）=lim
。
=lim
x0
x0
说明：
y
x
y
x
（1）函数f（x）在点x0处可导，是指
0时，
有极限。
如果
x
不存在极限，就说函数在点
x0处不可导，或说无导数。
（2）
x是自变量x在x0处的改变量，
x0时，而
y是函数值的改
变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数
y=f（x）在点x0处的导数的步骤：
①
求函数的增量
y=f（x0+
x）－f（x0）；
y
x
f（x0
x）f（x0）；
x
②
求平均变化率
=
y
x
③
取极限，得导数
f’（x
0）=lim
。
x0
例：
设f（x）=x|x|,
则f′（0）=
.
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f（0
x）
x
f（0）
f（x）
x
|
x|x
x
[解析]：
∵
∴
lim|
x0
x|
0
lim
x0
lim
x0
lim
x0
f′（0）=0
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线
y=f（x）在点p（x0，
f（x0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线
y=f（x）在点
p（x0，f
（x0））处的切线的斜率是
f’（x0）。
/
相应地，切线方程为
y－y0=f（x0）（x－x0）。
例：
在函数y
x3
的点中，坐标
8x的图象上，其切线的倾斜角小于
4
为整数的点的个数是
（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
[解析]：
切线的斜率为
/
y
3x2
8
k
又切线的倾斜角小于
，即0
k
1
4
故0
3x2
8
1
8
或
3
8
3
解得：
3
3
x
x
故没有坐标为整数的点
3.导数的物理意义
如果物体运动的规律是
s=s（t），那么该物体在时刻
t的瞬间速度
v=s
（t）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是
v=v（t），则该物体在时
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刻t的加速度a=v′（t）。
例。
汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把
这一过程中汽车的行驶路程
s看作时间
t的函数，其图像可能是（
）
s
s
s
s
t
t
t
t
O
O
O
O
A．
B．
C．
D．
答：
A。
练习：
已知质点M按规律
2t2
3做直线运动（位移单位：
cm，时间
s
单位：
s）。
s；
t
s；
t
（1）当t=2，
0.01时，求
t
（2）当t=2，
0.001时，求
t
（3）求质点M在t=2时的瞬时速度。
答案：
（1）8.02
cm
（2）8.002
cm
；（3）8cm
s
s
s
二、导数的运算
1．基本函数的导数公式
:
①C
0;（C为常数）
②
xn
nxn
1;
③（sinx）
cosx;
④（cosx）
sinx;
⑤（ex）
x
;
e
⑥（ax）
x
alna;
1;
x
⑦
lnx
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1
loge.
⑧
logx
a
a
x
：
例
下
列
求
导
运
算
正
确
的
是
1
（
）
1
）
x
1
1
xln2
A．（x+
2x）′=
．（log
B
1
2
x
x
x
2
C．（3）′=3log
．（xcosx）′=-2xsinx
3e
D
1）
x
1
x2
[解析]：
A错，∵（x+
1
1
xln2
正确，∵（log
2x）′=
B
x
x
C错，∵（3）′=3ln3
2
2
D错，∵（xcosx）′=2xcosx+x（-sinx）
例2：
设f0（x）
＝sinx，f1（x）＝f0′（x），f
2（x）＝f
1′（x），
，fn＋
1（x）＝fn′（x），n∈N，则f2005（x）＝
（
）
A．sinx
．－sinx
cosx
．
B
C
D．－cosx
[解析]：
f0（x）
＝
sinx，f1（x）＝f
0′（x）=cosx，f2（x）＝f1′（x）=
-sinx，
f3（x）＝f2′（x）=-
cosx，f
4（x）
＝
f3′（x）=sinx，循环了
则f2005（x）＝f1（x）＝cosx
2．导数的运算法则
法则1：
两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数的和
（或
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差），
即：
（
v）'
u'
v'.
u
法则
2：
两个函数的积的导数
等于第一个函数的导数乘以第二个函
数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
（uv）'
'
uv
'
uv.
若C为常数,则（Cu）'
C'u
Cu'
Cu'
Cu'.即常数与函数的积的导数
0
等于常数乘以函数的导数：
（Cu）'
Cu'.
法则3：
两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分
u
v
u'v
v2
uv'（v
母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
0）。
例：
设
、g（x）分别是定义在
上的奇函数和偶函数
当
x＜0
f（x）
R
时,
（x）＞0.且
则不等式
f（x）g（x）＜0的解集
g（3）=0.
f（x）g（x）
f（x）g
是
（
）
A．
∪（3,+∞）
．
∪（0,3）
（-3,0）
B
（-3,0）
C．
（-∞,-
3）∪（3,+
∞）
．
（-∞,-
3）∪（0,
D
3）
[解析]：
∵当x＜0时,
f（x）g（x）＞0
，即[
f（x）g（x）]/
f（x）g（x）
0
∴当x＜0时，f（x）g（x）
为增函数，
又g（x）是偶函数且
g（3）=0，∴g（-3）=0，∴f（-3）g（-3）=0
故当
3时，f（x）g（x）
＜0，又f（x）g（x）是奇函数，
x
当x>0时，f（x）g（x）
为减函数，且
f（3）g（3）=0
故当0
3时，f（x）g（x）
＜0
x
故选D
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3.复合函数的导数
形如y=f
的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：
（x）
分解——>求导——>回代。
法则：
y＇|=y＇|
·u＇|或者f[
）*（x）.
（x）]
f（
X
U
X
练习：
求下列各函数的导数：
5
xx
sinx;
（1）
（2）y
y
（x
1）（x
2）（x
3）;
x2
1
1
x
2
x
4
（3）y
（4）
2cos2
;
sin
1
y
.
1
x
1
x
1
2
3
2
5
x
x
sinx
sinx,
解：
（1）∵
x3
y
x
2
2
x
x
3
2）
5
2
3
x
2
∴y′
3
）
2
（xsinx）
3x2
2x3sinx
2cosx.
（x
（x
x
2
3
2
2
（2）
y=（x+3x+2）（x+3）=x+6x+11x+6，∴y′=3x+12x+11.
x
2
x
cos
2
1sinx,
2
（3）∵y=sin
1
sinx
2
1
（sinx）
2
1cosx.
2
∴y
1
1
1
（1
x
1
x
x）
2
（4）
，
y
1
x
1
x
1
x
x）（1
2
2（1
x）
2
x）2
∴
.
y
（1x）2
1
x
（1
三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
（1）设函数
（x）在某个区间（a，b）可导，如果f（x）
'
0，则
y
f
f（x）
在此区间上为增函数；如果
'
（x）0，则f（x）在此区间上为减函数。
f
（2）如果在某区间内恒有
'
0，则f（x）为常数。
f（x）
例：
函数f（x）
3
x
3x2
1是减函数的区间为
（
）
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A．（2,
B．（
．（
．（0，2）
C
D
）
2）
0）
[解析]：
由
/
3x2
6x<0，得
0f（x）
∴函数
3
x
3x2
1是减函数的区间为（
0，2）
f（x）
2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为
0，极值点处的导数为
0；曲线在
极大值点左侧切线的斜率为正，
右侧为负；曲线在极小值点左侧切线
的斜率为负，右侧为正；
例：
函数
3
x
2
ax
9,已知
3时取得极值，则
a=
f（x）
3x
f（x）在x
（
）
A．2
．3
．4
．5
B
C
D
[解析]：
∵
/
3x2
3，又
3时取得极值
（x）
2ax
f（x）在x
f
∴f
/
（3）
30
6a0
则a=5
3．最值：
在区间[a，b]上连续的函数
f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值。
但
在开区间（
a，b）内连续函数
f（x）不一定有最大值，例如
3
（1,1）。
f（x）
x,x
（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整
个区间上所有函数值中的最大值，
最小值必须在整个区间上所有函数
值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，
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函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。
函数的极值可以有
多有少，但最值只有一个，
极值只能在区间内取得，最值则可以在端
点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为
最值，最值只要不在端点处必定是极值。
例：
函数
1在闭区间
[-3，0]上的最大值、最小值分别
3
x
f（x）
3x
是
.
[解析]：
由f
'（x）
3x2
3=0，得x
1，
当x
1时，f
/（x）>0，当
/
/
1时，f
（x）<0，当x
1时，f（x）>0，
1
x
故f（x）的极小值、极大值分别为
1，
3、f
（1）
f
（1）
而
17、f（0）
f（3）
1
故函数f（x）
3
x
1在[-3，0]上的最大值、最小值分别是
3、-17。
3x
●经典例题选讲
例1.
已知函数y
xf（x）的图象如图所示（其中
（x）是函数
f（x）的
f
导函数），下面四个图象中
f（x）的图象大致是
（
）
y
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[解析]：
由函数
（x）的图象可知：
y
xf
当x
1时，
xf（x）<0，（x）>0，此时
f（x）增
f
当
0时，
xf（x）>0，
（x）<0，此时
f（x）减
1
x
f
当0
x1时，
xf（x）<0，f
（x）<0，此时
f（x）减
当x
1时，
xf（x）>0，f（x）>0，此时f（x）增
故选
C
例2.设
f（x）ax3
x恰有三个单调区间，试确定
a的取值范围，并求
其单调区间。
解：
3ax2
（x）
1
f
若a
0，f（x）
0对
）恒成立，此时
f（x）只有一个单调区
x
（
间，矛盾
若a
0，f
∴
），f（x）也只有一个单调区间，
（x）
1
0
x
（
矛盾
1
3|a|
1
3|a|
若a
∵
），此时（x）恰有三个
0
f（x）
3a（x
）
（x
f
单调区间
1
3|a|
1
3|a|
∴
0且单调减区间为
），单调增区间为
）和（
a
（
1
3|a|
1
3|a|
（
）
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例
3.已知函数
x3
bx2
d的图象过点
P（0,2）,且在点
f（x）
ax
1,f
（1））处的切线方程为
M（
70.
6x
y
（Ⅰ）求函数
f（x）的解析式；
y
（Ⅱ）求函数
f（x）的单调区间.
y
解：
（Ⅰ）由f（x）的图象经过
P（0，2），知d=2，
所以
x3
bx2
f（x）
2,
cx
3x2
f（x）
2bx
c.
由在
1））处的切线方程是
0，知
M（1,f（
6x
y
7
6
f
（1）
7
0,即f
（1）
1,f
（1）
6.
3
2b
b
c
c
6,
2
2b
b
c
3,
即
1.
解得b
c
3.
1
c
0,
故所求的解析式是
3
x
3x2
f（x）
3x
2.
（Ⅱ）
2
3x
2
令3x
2
0,即x
（x）
6x
3.
6x
3
2x
1
0.
f
解得
当
1
2,x2
1
2.
2,或x
2时,f
x1
x
1
1
（x）
0;
当1
2时,f
2
x
1
（x）
0.
故
2）内是增函数，
x3
3x2
（x）
3x
2在（
1
f
在（1
例4.
2）内是减函数，在
）内是增函数
.
2,1
（1
2,
设函数
x3
bx2
cx（xR），已知g（x）
（x）是奇函数。
f
x
f（x）
f
（Ⅰ）求
解：
（Ⅰ）∵
b、c的值。
（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值。
3
x
x3
2
bx
bx2
2
3x
c）＝
cx，∴
cx（3x2
c。
从而
fx
f
x
2bx
2bx
x3
（b3）x2
g（x）
是
f（x）
f（x）
（c2b）x
c
一个奇函数，所以
0得c
0，由奇函数定义得
b3；
g（0）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
3
x
2
g（x）3x
6x，从而
6，由此可知，
g（x）
2）和（
）是函数g（x）是单调递增区间；
是函数
（
2,
（
2,
2）
g（x）是单调递减区间；
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g（x）在
g（x）在
2时，取得极大值，极大值为
2时，取得极小值，极小值为
2，
2。
2时，都取得极值。
3
x
x
4
4
例5.
已知f（x）=x3
ax2
c在
x=1，x=
bx
（1）求a、b的值。
1恒成立，求
（2）若对
[1,2]，都有
c的取值范围。
x
f（x）
c
2ax
2
3
/
解：
（1）由题意
f（x）=3x2
b的两个根分别为
1和
2=
3
2a，b
2
）
3
由韦达定理，得：
1
1
（
3
3
1，b
则a
2
2
1x2
2
/
c，f（x）=3x2
（2）由
（1），有f（x）=x3
2x
2
x
2
1,）时，
3
2
1）时，
3
当
/
/
0，当x
（x）0，当
（1,2]时，
f
（x）
f
x
[
（
x
/
0，
f（x）
2时，
22
27
1
2
当x
c，
f（x）有极大值
c，
f（
c,f
（2）
2
1）
3
∴当
[1,2]，f（x）的最大值为
x
f
（2）
2
c
1
f（x）恒成立，∴
c
1，
c
对x
1,2]，都有
[
2
c
解得0
21,或c
c
2
1,
例6.已知x
1是函数
3
mx
2
3（m1）x
1的一个极值点，其中
f（x）
nx
R,m0，
m,n
（I）求m与n的关系式；
（II）求f（x）的单调区间；
（III）当
1,1时，函数
f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒
x
y
大于3m，求m的取值范围.
解：
（I）
2
f（x）3mx
n因为
1是函数f（x）的一个极值点,
x
6（m
1）x
所以
0,即3m
0，所以
n
3m
6
f
（1）
6（m
1）
n
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2
m
（II
）由（I）知，f
2
（x）3mx
3m6=3m（x
1）
x
1
6（m
1）x
2
m
当m
0时，有1
，当x变化时，
f（x）与
（x）的变化
f
1
如下表：
2
m
2
m
2
m
1,
x
1
1
1
1
1
f（x）
0
0
0
0
0
调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
f（x）
2
m
故有上表知，当
m0时，
f（x）在
单调递减，
1
2
1）单调递增，在
在（1
）上单调递减.
（1,
m
（III
）由已知得
f（x）3m，即
2
mx
2
m
2（m
1）x
2
0
2
（m
m
2
（m
m
2
m
又m0所以
x2
0即
x2
1）x
1）x
0,x
1,1
①
1
）x
m
2
m
设g（x）
2
x
，其函数开口向上，由题意知①式恒成
2（1
立，
2
m
2
m
g
（1）
g
（1）
0
1
2
0
所以
解之得
0
1
0
4
3
所以
m又m
0
4
3
m
0
4
0
3
即m的取值范围为
例7：
（2009天津理20）已知函数
2
（x
2
ax2a
x
3a）e（x
R）,其中
f（x）
a
R
（1）当a
0时，求曲线
f（x）在点（1,f
（1））处的切线的斜率；
y
精品学习资料
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名师归纳总结
学习必备
精品知识点
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2
3
（2）当
时，求函数
f（x）的单调区间与极值。
a
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
本小题主要考查导数的几何意义、
导数的运算、利用导数研究函数的
单调性与极值等基础知识，
考查运算能力及分类讨论的思想方法。
满
分12分。
解：
（I）当a
x2ex，f'（x）
（x2
2x）ex，故f'
（1）
0时，f
（x）
3e.
所以曲线
yf（x）在点（1,f
（1））处的切线的斜率为
3e.
（II）
2
x
2a2
4aex.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
f'（x）
（a
2）x
2.由a2知，2a
3
令f'（x）
0，解得x
2a，或x
a
a
2.
以下分两种情况讨论。
（1）若a＞2，则2a＜a3
下表：
2.当x变化时，
'（x），f（x）的变化情况如
f
x
，
2a，a
2，
2a
2a
2
a
2
a
—
+
0
0
+
↗
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