一元二次方程复习知识点和习题.docx

1、一元二次方程复习知识点和习题一元二次方程复习1)一元二次方程的定义ax2 bx c 0(a 0)是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 ax2 bx 0； ax2 c 0； ax2 0这三个方程都是一元二次方程。求根公式为 x 一 4ac b2 4ac 02a22)ax bx c 0( a 0)。a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是 系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？1、 = b2 4ac当厶0时方程有2个不相等的实数根；2、 当厶=0时方程有两个相等的实数根；3、 当4 0时方程无实数根4、

2、当0时方程有两个实数根(方程有实数根) ；5、 ac 0这个条件，否则解题就会出错。)例：已知关于X的方程x2 2 m 2 x m2 0,问：是否存在实数 m使方程的两个实数根的平方和等于56,若存在，求出 m的值，若不存在，请说明理由。 2一元二次方程ax bx c 0（a 0）可变形为a x x1 x x2 0的形式。可以用求根公式法分解二次三项式。9、以两个数xi X2为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是：x2- （X1+X2） x+ x 1 X2= 010几种常见的关于x1, x2的对称式的恒等变形2X1X22X1X222x1x2X13X23X1X22 2 2 小x1 x1x2 x

3、2 x1 x2 x1 x 2 3x1x2X12X2X12X2X1X2 X1 X 2X1aX2aX12x2 a x1 x2 a1 1 X1 X 2x1 X2 X1 x2112X12X22X1 X22x1x222222X1X2X1X2X1 x2X1X2v X12X2rV X1 X224X1X2三）例题1如果方程x2-3x+c=0有一个根为1,求另一个根及常数项的值。解法一）用方程根的定义解： 解法二）用根系数关系解:2用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是 0,这样的题型若能用十字相乘法解题的、 要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得多）。十字相乘法的口诀是

4、： 右竖乘等于常数项， 左竖乘等于二次项系数， 对角积之和等于一 次项系数。三个条件都符合，结论添字母横写（看成是关于谁的二次三项式就添谁）2解下面一道一元二次方程 x -110x+2925=0-65 -45= -110四）与根的关系的综合运用（ ax2+bx+c=0, a丰0）2ax +bx+c=0,(a0) 0有两个不相等的实数根C0两根同号b0有两个负根不相等b0有两个正根不相等C0负根绝对值较大（正根绝对值较小）b0一根为0另一个根为负根b0有两个相等的负根b0有两个相等的正根b =0有两个相等的根都为 0X1+X2”与“ 0”的关系综合判断一元二次方程根的情况计X20l+X20 03

5、负根的绝对值大于正根的绝对值1+X204两个异号根正的绝对值较大l+X20 05两根异号，但绝对值相等l+X2= 0 06 一个负根，一个零根l+X207 一个正根，一个零根1 +X208有两个相等的负根l+X20计X2010有两个相等的根都为零Xi+X2= 011两根互为倒数12两根互为相反数x 1+X2= 013两根异号14两根同号L A 0015有一根为零彳A 016有一根为-1 . A 0a-b+c=017无实数根 A 0x1 m x2 m 019 ax 2+bx+c （a 工0）这个二次三项式是完全平方式 A= 020方程ax2+bx+c = 0 （a丰0） （a、b、c都是有理数）

6、的根为有理根，则是一个完全 平方式。221方程ax +bx+c = 0 （a丰0）的两根之差的绝对值为： x1 x222 A= 0,方程ax2+bx+c = 0 （a工0）有相等的两个实数根。23 A 0a+b+c=026方程ax2+bx+c(a丰0）若A0则x1 x 2X i ?X 2a注：凡是题中出现了 0a即a、c异号方程必有解。1、m为何值时，方程3x2 10x m 0有两个相等的实数根；无实数根；有两个2、已知方程x2不相等的实数根；有一根为 0;两根同号；有一个正根一个负根；两根互为倒数。3、已知实数a、b满足a24x 2m 8 0的两根一个大于1，另一个根小于1，求m的值的范围。

7、2 2a , b2 2 2b 且 a b 求-a 的值。a b4、已知关于x的方程x2 、.2k 4x k 0有两个不相等的实数根,（1 ）求k的取值范围(2)化简 k 2 Jk2 4k 45、用适当的方法解下列方程 （说明选用的理由）2 x 2x 1 3y2 6y 2 0六）“归旧”思想在解一元二次方程中的应用“归旧”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的 问题。一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法，这几种解法，都是用“归旧”的数学思想方法求解。下面就各种方法分别加以说明。直接开平方法：适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形

8、女口（ mx+n） 2=p （mz 0,p 0）的方程。我们可以利用平方根的定义“归旧”为两个一元一次 方程去解，即有一元一次方程为 mx+ n=p，分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根。用简明图表可表示为：直接开平方法：形如（mx+n） 2=p （m丰0,p 0）根据平方归旧勺定义*两个一元一次方程。p (m配方法：最适用于二次项系数为 1, 一次项系数为偶数的形式的一元二次方程，形 如x2+2kx+m=0 （当然一般的形如 ax2+bx+c=0 a丰0也可用，但不一定是最合适的方法） 这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段， 把原方程“归旧”为上述形如（mx+n）2丰0,p 0）的

9、方程，然后再用直接开平方法的方法求解。用简明图表可表示为：配方法：一元二次方程 通过配方卜形如（mx+n） 2=p （m丰0,p 0）的方程因式分解法：这种方法平时用的最多， 最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形式的一元二次方程方程。这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段，把原方程转化为形如(a ix+ci)(a 2x+C2)=0方程，从而归旧”为aix+ci=O、a2x+C2=0 ， 再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的两个解。用简明图表可表示为：因式分解法：一元二次方程 通过归旧因式*两个一元一次方程公式法：公式法的实质就是配方法，只不过在解

10、题时省去了配方的过程，所以解法简单。但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小的数值 情况下才考虑使用该方法。一元二次方程练习题一、填空21 - 一元二次方程(1 3x)(x 3) 2x 1化为一般形式为： ,二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。2关于x的方程(m 1)x2 (m 1)x 3m 2 0,当m 时为一元一次方程；当 m 时为一元二次方程。3 已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是 。4. x2 3x (x )2； x2 2 (x )2。5直角三角形的两直角边是 3 : 4，而斜边的长是15 cm,那么这个三角形的面积是 。6若方程x2

11、 px q 0的两个根是 2和3,贝U p,q的值分别为 。7 若代数式4x2 2x 5与2x2 1的值互为相反数，则 x的值是 。2 2&方程9x 4与3x a的解相同，贝U a= 。9当t 时，关于x的方程x2 3x t 0可用公式法求解。10若实数a,b满足a2 ab b2 0，则a= 。b11 若(a b)(a b 2) 8，则 a b =12 已知2x2 3x 1的值是10,则代数式4x2 6x 1的值是二、选择1.下列方程中，无论取何值，总是关于总是x的一元二次方程的是（(A) ax2 bx c 0(B) ax2(C) (a2 1)x2(a2 1)x 0(Dx22 若 2x 1 与

12、 2x1互为倒数，则实数x为（(A) 土 -2(B) 土 1C)、2(D) . 23 若m是关于x的兀二次方程nx0的根，且m工0，则mn的值为（）(A)(B)(D)4 关于x的一元二次方程x2nx0的两根中只有一个等于0,则下列条件正确的是（(A)m 0,n 0(B)0,n0 (C) m 0, n(D) m 0, n 05关于x的一元二次方程0有实数根，则（ ）(A)(B)(D) k w06 .已知y是实数，若xy0 ,则下列说法正确的是（(A)x 一定是（B） y 一定是0(C) x 0 或(D) x 0 且 y 07 若方程ax2bx0 (a 0)中,a,b,c满足 a bc 0，则方程的根是（(A) 1, 0(B) -1 , 0(C) 1, -1(D)无法确定三、解方程1.选用合适的方法解下列方程(1) (x 4)2 5(x 4)2(2) (x 1)4x24) 2 x2 10x 3223) (x 3)2 (1 2x)2四、解答题1. 已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程 x2 9x 20 0 的一个根，求这个三角形的腰。2.已知一元二次方程 （m 1）x 2 7mx m23m 4 0 有一个根为零，求 m 的值。