一元二次方程复习知识点和习题.docx
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一元二次方程复习知识点和习题
一元二次方程复习
1）一元二次方程的定义
ax2bxc0（a0）是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的
最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
ax2bx0；ax2c0；ax20这三个方
程都是一元二次方程。
求根公式为x—一—4acb24ac0
2a
2
2）axbxc0（a0）。
a是二次项系数；b是一次项系数；c是常数项，注意的是系数连同符号的概念。
这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？
1、=b24ac当厶>0时方程有2个不相等的实数根；
2、当厶=0时方程有两个相等的实数根；
3、当4<0时方程无实数根•
4、当0时方程有两个实数根（方程有实数根）；
5、ac<0时方程必有解，且有两个不相等的实数根；
6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为-
a
7、当a、b、c是有理数，且方程中的△是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。
8若Xi,X2是一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个实数根，
bc
即①xiX2—Xi?
X2-（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足
aa
A>0这个条件，否则解题就会出错。
）
例：
已知关于X的方程x22m2xm20,问：
是否存在实数m使方程的两个实数
根的平方和等于56,若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。
2
②一元二次方程axbxc0（a0）可变形为axx1xx20的形式。
可以
用求根公式法分解二次三项式。
9、以两个数xiX2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
x2-（X1+X2）x+x1X2=0
10几种常见的关于x1,x2的对称式的恒等变形
2
①X1
X2
2
X1
X2
2
2x1x2
②X13
X2
3
X1
X2
222小
x1x1x2x2x1x2x1x23x1x2
③X12
X2
X1
2
X2
X1
X2X1X2
④X1
a
X2
a
X1
2
x2ax1x2a
11X1X2
x1X2X1x2
⑥
1
1
2
X1
2
X2
2
X1X2
2x1x2
2
2
2
2
2
X1
X
2
X1
X2
X1x2
⑦
X1
X2
vX1
2
X2
r
VX1X2
2
4X1X2
三）例题
1如果方程x2-3x+c=0有一个根为1,求另一个根及常数项的值。
解法一）用方程根的定义解：
解法二）用根系数关系解:
2用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是0,这
样的题型若能用十字相乘法解题的、要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得
多）。
十字相乘法的口诀是：
右竖乘等于常数项，左竖乘等于二次项系数，对角积之和等于一次项系数。
三个条件都符合，结论添字母横写（看成是关于谁的二次三项式就添谁）
2
解下面一道一元二次方程x-110x+2925=0
-65-45=-110
四）△与根的关系的综合运用（ax2+bx+c=0,a丰0）
2
ax+bx+c=0,
（a>0）
△>0
有两个
不相等的实
数根
C>0
两根同号
b>0
有两个负根不相等
b<0
有两个正根不相等
C<0
两根异号
b>0
负根绝对值较大（正根绝对值较
小）
b<0
正根绝对值较大（负根绝对值较
小）
b=0
两根绝对值相等
C=0
一根为零
b>0
一根为0另一个根为负根
b<0
一根为0另一个根为正根
△=0
有两个相等的实数根
b>0
有两个相等的负根
b<0
有两个相等的正根
b=0
有两个相等的根都为0
X1+X2”与“0”的关系综合判断一元二次方程根的情况
计X2<0
2有两个不相等的正实数根
>0
l+X2>0
△>0
3负根的绝对值大于正根的绝对值
1+X2<0
△>0
4两个异号根正的绝对值较大
l+X2>0
△>0
5两根异号，但绝对值相等
l+X2=0
△>0
6一个负根，一个零根
l+X2<0
△>0
7一个正根，一个零根
1+X2>0
8有两个相等的负根
l+X2<0
9有两个相等的正根
>0
计X2>0
10有两个相等的根都为零
Xi+X2=0
11两根互为倒数
12两根互为相反数
x1+X2=0
13两根异号
14
两根同号LA>0
>0
15有一根为零彳A>0
16有一根为-1.A>0
a-b+c=0
17无实数根A<0
18两根一个根大于m另一个小于m（m€R）|A>0
x1mx2m0
19ax2+bx+c（a工0）这个二次三项式是完全平方式A=0
20方程ax2+bx+c=0（a丰0）（a、b、c都是有理数）的根为有理根，则△是一个完全平方式。
2
21方程ax+bx+c=0（a丰0）的两根之差的绝对值为：
x1x2
22A=0,方程ax2+bx+c=0（a工0）有相等的两个实数根。
23A<0,
2
24方程ax+bx+c=0（a
方程ax2+bx+c=0（a丰0）无实数根.
丰0）一定有一根为“1”一.A>0
a+b+c=0
26方程
ax2+bx+c
（a
丰0）若A》0则x1x2
Xi?
X2
a
注：
凡是题中出现了<0;或—0；或a、c异号就能确保=b24ac>0
a
即a、c异号方程必有解。
1、m为何值时，方程3x210xm0①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个
2、已知方程x2
不相等的实数根；④有一根为0;⑤两根同号；⑥有一个正根一个负根；⑦两根互为倒数。
3、已知实数a、b满足a2
4x2m80的两根一个大于1，另一个根小于1，求m的值的范围。
22a,b222b且ab求-a的值。
ab
4、已知关于x的方程x2、.2k4xk0有两个不相等的实数根,
（1）求k的取值范围
（2）化简k2Jk24k4
5、用适当的方法解下列方程（说明选用的理由）
2
②x2x1
③3y26y20
六）“归旧”思想在解一元二次方程中的应用
“归旧”就是把待解决的问题，通过某种转化，归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题。
一元二次方程有直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法，这几种解法，都是用
“归旧”的数学思想方法求解。
下面就各种方法分别加以说明。
直接开平方法：
适用于等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负实数的形式，形
女口（mx+n）2=p（mz0,p>0）的方程。
我们可以利用平方根的定义“归旧”为两个一元一次方程去解，即有一元一次方程为mx+n=±p，分别解这两个一元一次方程就得到原方程
的两个根。
用简明图表可表示为：
直接开平方法：
形如（mx+n）2=p（m丰0,p>0）根据平方归旧勺定义*两个一元一次方程。
p（m
配方法：
最适用于二次项系数为1,一次项系数为偶数的形式的一元二次方程，形如x2+2kx+m=0（当然一般的形如ax2+bx+c=0a丰0也可用，但不一定是最合适的方法）这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段，把原方程“归旧”为上述形如（mx+n）2
丰0,p>0）的方程，然后再用直接开平方法的方法求解。
用简明图表可表示为：
配方法：
一元二次方程通过配方卜形如（mx+n）2=p（m丰0,p>0）的方程
因式分解法：
这种方法平时用的最多，最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、
而右边必须为零的形式的一元二次方程方程。
这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的
手段，把原方程转化为形如（aix+ci）（a2x+C2）=0方程，从而"归旧”为aix+ci=O、a2x+C2=0，再分别求出这两个一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的两个解。
用简明图表可表示为：
因式分解法：
一元二次方程通过归旧因式*两个一元一次方程
公式法：
公式法的实质就是配方法，只不过在解题时省去了配方的过程，所以解法
简单。
但计算量较大，只有在不便运用上述三种方法，且各项系数的绝对值为较小的数值情况下才考虑使用该方法。
一元二次方程练习题
一、填空
2
1-一元二次方程（13x）（x3）2x1化为一般形式为：
二次项
系数为：
，一次项系数为：
，常数项为：
。
2•关于x的方程（m1）x2（m1）x3m20,当m时为一元一次方程；当m
时为一元二次方程。
3•已知直角三角形三边长为连续整数，则它的三边长是。
4.x23x（x）2；x22（x）2。
5•直角三角形的两直角边是3:
4，而斜边的长是15cm,那么这个三角形的面积是。
6•若方程x2pxq0的两个根是2和3,贝Up,q的值分别为。
7•若代数式4x22x5与2x21的值互为相反数，则x的值是。
22
&方程9x4与3xa的解相同，贝Ua=。
9•当t时，关于x的方程x23xt0可用公式法求解。
10•若实数a,b满足a2abb20，则a=。
b
11•若（ab）（ab2）8，则ab=
12•已知2x23x1的值是10,则代数式4x26x1的值是
二、选择
1.下列方程中，无论取何值，总是关于
总是
x的一元二次方程的是（
（A）ax2bxc0
（B）ax2
（C）（a21）x2
（a21）x0
（D
x2
2•若2x1与2x
1互为倒数，则实数
x为（
（A）土-
2
（B）土1
C）±
、2
（D）
±...2
3•若m是关于x的
兀二次方程
nx
0的根，且m工0，则m
n的值为（）
（A）
（B）
（D）
4•关于
x的一元二次方程
x2
nx
0的两根中只有一个等于
0,
则下列条件正确的
是（
（A）
m0,n0
（B）
0,n
0（C）m0,n
（D）m0,n0
5•关于
x的一元二次方程
0有实数根，则（）
（A）
（B）
（D）kw0
6.已知
y是实数，若xy
0,则下列说法正确的是（
（A）
x一定是
（B）y一定是0
（C）x0或
（D）x0且y0
7•若方程ax2
bx
0（a0）中,
a,b,c满足ab
c0，则方
程的根是（
（A）1,0
（B）-1,0
（C）1,-1
（D）
无法确定
三、解方程
1.选用合适的方法解下列方程
（1）（x4）25（x4）
2
（2）（x1）
4x
2
4）2x210x3
22
3）（x3）2（12x）2
四、解答题
1.已知等腰三角形底边长为
8，腰长是方程x29x200的一个根，求这个三角
形的腰。
2.
已知一元二次方程（m1）x27mxm2
3m40有一个根为零，求m的
值。
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