初中数学竞赛专题复习第一篇代数第5章不等式试题1人教版.docx

1、初中数学竞赛专题复习第一篇代数第5章不等式试题1人教版第5章不等式 5.1 一元一次不等式（组）5.1.1 已知 2(x 2) 3(4x 1) 9(1 x)，且 y1 10x 9，试比较_ y与y的大小.n 31解析 首先解关于x的方程得x 10.将x10代入不等式得y10 9，即y 1.又因为1 1 ,n 311 10所以y yn 315.1.2 解关于x的不等式3x 2 3 2 1 2xa a解析由题设知a 0，去分母并整理得(2 a :3)x(2 a 3)(a1).当2a30,即a3-(a 0)时，2x a 1 ；当2a30，即a3-时，无解；2当2a30,即a3 时，x a21.评注对

2、含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论5.1.3已知不等式(2 a b)x 3a4b0的解为解析已知不等式为(3a b) x 4b3a .由题设知2ab 0,4b3a42ab9.2a b,所以7b a.8由2a7a8，可得a0 ,从而a 0,b7a.8于是不等式(a 4b)x2a 3b 0等价于7(a 7a)x212a a80 ,即52ax55 a ,解得81x .4所求的不等式解为x14 *x5.1.4 如杲关于 x的不等式49，求不等式（a 4b）x 2a 3b 0的解.(2 a b)x a 5b 0的解集为x 10，求关于x的不等式ax b的解集.7解析由已知得（2a b）x 5b a

3、，7x 10.由已知和的解集相同，所以2a b 7,5b a10,解得a5,b3.从而axb的解集是x355.1.5 求不等式1 1 1(x 1) (x 1) (x 2)3 2 6的正整数解.一 1 7 7解析 由原不等式可得 -X -,所以x -是原不等式的解.因为要求正整数解，所以原不等式的正3 6 2整数解为x 1，2，3.5.1.6如果不等式组 9x a0,的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等式组的整数 a、b的有8x b 0序数对(a , b)共有多少对？解析由原不等式组可解得- x -.9 8如图所示，在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围，可得0 - 1,93 b y 1 .

4、原不等式等价于108b 9a,10a 9b.所以8b 1 w 9a,10a 1 w 9b.8b解得,c 9b 1 1w 9 -10b 19.又分数H满足819 917 9 1717 ，故b最小且满足题意的分数是 1719 10 195.1.8 已知5 w m w 20 , 25w n w 30，求的最大值和最小值.n25 w n w 30 ,所以m的最大值为20 ,最小值为5 ; n的最大值为30 ,最小解析因为5w mW 20, 值为25.故m的最大值为mn n5.1.9 求同时满足解析由a2025ab c 6 和 2a-的最小值为-1 .n n 30 66 , 2a b c 3和b c 0

5、的a的最大值及最小值.c 3，得9 3a c2再由b c 0得，2 0，解此不等式，得-w a w 3.2所以a的最大值为3，最小值为5.1.10 求适合 2x y x y ,32且y满足方程3y5 2y 3x的x取值范围.解析 3y 5 2y 3x，所以y 3x2x （3x 5） x故x的取值范围是5.1.11 当最小值.3x5 , x 2 .2 .z为非负数时,5.于是3y 2zx , 3y z 4 3x，求w 3x 3y 4z的最大值和3y解析由3y2zx解得3x,4x,7x3 .因为x、y、z均为非负数.所以,从上面可得w 3x26x3y 4z 3x 5 7x 4 16x9.67所以w

6、的最大值是67 ,7w的最小值是 5.252 .含绝对值的不等式（组）5.2.1（ 1）解不等式|3x 2|（2） 解析 5.2.2解不等式|3x 2|根据绝对值的非负性，易知解不等式| x 5| 12x3.3|1）无解，（2）的解集为全体实数.1 .解析 原不等式的零点为5、-.根据零点的情况分类讨论2(1)当x 5时，原不等式化为(x 5) (2x 3) 1，解之，得x 3.所以，此时不等式的解为 x 5.(2)当x -时，原不等式化为2(x 5) (2x 3) 1，解之，得x 1.所以，此时不等式的解为 x 1.3(3)当一 x 5时，原不等式化为2(x 5) (2x 3) 1 ,解之，

7、得x 7.3所以，此时不等式的解为 7 x 5.3综上，原不等式的解为 x 1或x 7 .3评注解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义， 去掉不等式中的绝对值符号.分类讨论是去绝对值符号的另一种重要方法 .5.2.3解不等式 |x 7| |x 2| 3.解析1如图，分别用 A、B两点代表 7和2.|x 7| |x 2|表示某点C ( x所对应的点)至U A点和B点的距离差.又当x 1时，C点到A、B两 点的距离差恰好为3.A C BI I I I I I I I 1I-7 -1 O 2 x当点C靠近点A时，C到A、B两点的距离差变小，所以原不等式的解为x 1.解析2因为7、2分别是

8、|x 7|和|x 2|的零点，于是分三种情况讨论：(1)当x 7时，原不等式变为(x 7) (x 2) 3,此式恒成立，故x 7是原不等式的解.(2)当7 x 2时，原不等式变为(x 7) (x 2) 3,解得 x 1.所以，7 2，原不等式变为(x 7) (x 2) 3,即5 3，此不等式无解.综上所述，原不等式的解为 x 1.5.2.4解不等式 |x 3| |x 3| 3.解析原不等式等价于|x 3| |x 3| 3，或|x 3| |x 3|3.的解为x3一；的解为x322 .所以，原不等式的解为 x 或x 3 .2 2525 解不等式：x2 5|x| 6 0.解析 注意X2 (|x|)2

9、，整体分解.由题意得(|x| 2)(|x| 3) 0,即 |x| 3或|x| 2，而由| x | 3得x 3 或 x 3，由|x| 2得2x2.所以，原不等式的解为x 3或 2 x 2或 x 3.5.2.6解不等式组：x2 2x 35 0,|x 2 | 10.解析 由x 2x 35 0得x 7或x 5 .由 |x 2| 10 得 8 x 12.于是原不等式组的解就是x 7或 x 5,8 x 12,即8 x 7或 5 x 12.5.2.7 a取何值时，不等式12x 5| |4 2x| a无实数解？解法1欲使不等式|2x 5| |4 2x| a无实数解，关键是求出12x 5| |4 2x|的最小值

10、.因|2x 5|、|4 2x|的零点分别是 5、2.25 5当 x 3 时，|2x 5| |4 2x| (2x 5) 4 2x 1 4x.当 x ?时，| 2x 5| |4 2x| 有最小值9 ；5当 x 2时，|2x 5| |4 2x| 2x 5 4 2x 9，最小值及最大值都是 9 ;2当 x 2时，|2x 5| |4 2x| 2x 5 2x 4 4x 1，无最小值.故|2x 5| |4 2x|的最小值为9.欲使不等式|2x 5| |4 2x| a无实数解，则a |x 1 (x 3) | 4,又 |x 1| |x 3| 4.解析2根据绝对值的几何意义，因为 |x 1|、|x 3|分别表示数

11、轴上点 x到点1和3的距离，所以|x 1| |x 3|表示数轴上某点到 A : 1和B : 3的距离和.从图可见，不论 x在A点左边或者B点右边时，x到A、B点距离和至少为4 ;当x在AB两点之间时，x到A、B点距离和为4.所以a 4.评注解绝对值不等式常用分类讨论方法(1)当x 2 2x 4 ;(2)当1 x 3时，原不等式化为a 4 ;(3)当x 3时，原不等式化为 a 2x 2 4.综上所述，a 4.本题中，两个绝对值符号中未知数的系数相同，所以我们利用了绝对值的几何意义5.2.9已知n 0且|m| m一_n，求m的取值范围m n解析整理可得nm(1 |m|)1 |m|因为n 0,所以m

12、(1 |m|) 01 |m| 即 m(1 |m|) 0.(1)当 m 0时，1 |m| 0,解之得 1 m 0.(2)当m 0时，1 |m| 0 ,解之得m 1.综上，m的取值范围为 1 m 0或者m 1.5.2.10解不等式 x2 4|x| 3 0.解析1因为x2 4|x| 3 (|x| 1)(|x| 3) 0 ,所以|x| 1或|x| 3,即1 x 1或者x 3或者x 3.解析2考虑函数f(x) x2 4|x| 3.注意到对任意实数 x，有f( x) f(x).从函数图象来看，这个函数的图象关于y轴对称，即只需作出 x 0时的图象，再把函数图象关于 y轴作对称即可如图，可知，原不等式的解为

13、使得图象在 x轴上方的x的取值集合：1 x 1或者x 3或者x 3.评注 当我们从函数图象的角度去解不等式时，有两点需要引起读者注意： f(|x|)表示的函数图象是f(x)在x轴正向部分图象及其与关于 y轴翻折；|f(x)|的图象是把f(x)在x轴下方的图象关于 x轴翻折后的图象由这两点，利用数形结合的方法，是比较巧的5.2.11解不等式 |x 4x 1| 3x.解析 (1 )当x2 4x 1 0,即x 2 ,3或x 2 ,3时，原不等式变形为2x 4x 1 3x.解不等式组，得7 3、5 亠 7 3. 5 x 或x2 2(2)当x2 4x 1 0,即2 3 x 2 3时，原不等式变形为2(x

14、 4x 1) 3x.此时，不等式组无解 综上，原不等式的解为7 3、5 卡 7 3.5x 或x .(本题从几何解释为使2 25.2.12已知 |x|w 1 , |y|w 1，且k |x y| |y 1| |2y x 4| ,求k的最小值和最大值.解析解题的关键是把绝对值符号去掉，必要时可以分类讨论 因为| x|w 1 , | y $ 1，所以1 x 1 , 1 y 0.又 2$ 2y $ 2，故 3$ 2y 3x$ 3，从而 2y x 4 0 .当 x y 0 时，有 k (x y) (y 1) (2 y x 4) 2y 5.因为 1 $ y $ 1，所以 3 $ 2y 5 $ 7，此时 3

15、$ k $ 7.当 x y 0 时，有 k (x y) (y 1) (2 y x 4) 2x 5.同样，当 1$ x $ 1 时，3$ 2x 5 $ 7，即 3$ k $ 7.综上所述，3 $ k $ 7.又当x 1时，k 7,当x 1时，k 3，所以，k的最值是3，最大值是7.5.2.13实数 a、b、c 满足不等式 |a|b c |, | b | | c a |, | c | | a b |.求证：a b c 0.解析1若a、b、c中有一个为零时，设 a 0，则|b c| 0,所以，b c 0，故a b c 0.下面0 ,于是由|b c|$ a ,得 a $ b c，所(4)当a、b、c全

16、为负数时，于是由条件得b c $ 2(a b c)，所以 a b c 0 ,矛a $ b c $ a , b $ c a $ b , c$ a b $ c，所以 a盾.综上所述，得a b c 0.解析2把题设的3个不等式两边平方后相加，得2 2 2 2 2 2a b c 2(a b c ) 2ab 2bc 2ca ,故 (a b c) $ 0 ,从而 a b c 0.5.2.14 实数a、b、c满足a $ b $ c , ab bc ca 0 , abc 1.求最大的实数 k，使得不等 式|a b | k |c|恒成立.解析 当a b 迈,c 时，则实数a、b、c满足题设条件，此时 k$ 4.

17、2下面证明：不等式|a b| 4|c|对满足题设条件的实数 a、b、c恒成立.由已知条件知，a、b、c都 不等于0 ,且c 0.因为112x c c的两个实数根，于是故c3 4c 41 c| . c5.2.15 已知(1)a 0;(2)当 1 x 1 时，满足 | ax2 bc c | 1 ;(3)当1 x y , x z 时，A |xy xy 2z | xy xy 2z2x2z2x2z4x(2)当y z,y x 时,A |yx xy 2z| yx xy 2z2y2z2y2z4y(3)当z x,z y 时,因为|xy|x y2max x ,y 2，从而0 05.3.5对一切实数 x，不等式2a

18、x (a 6)x 2 0恒成立，求a的值.解析 由于不等式对一切x恒成立，故a应该满足a 0,a 6 2 4a 2 0,即a 0,a2 20a 36 0,所以 2 a 18.5.3.6设有不等式1 2 2 2(2t t ) w x 3x 2 w 3 t ,8试求对于满足0wxw2的一切x成立的t的取值范围.1解析 令y x2 3x 2 , 0 w x w 2，则在0 w x w 2上y能取到的最小值为 -，最大值为2，从而总41(2t t2) w -,8 42t2 2,即所以2t 2t 2 0,t2 1 w 0,于是t的取值范围为 1 w t w 1 ,3 .537 解不等式2x 1 x 3x

19、 1 x 1解析原不等式可化为2x 1 x 30，x 1 x 1即2x x20 (x1)(x1)因为x2x2 x12 7x0，所以式等价于24(x 1)(x1)0 ,所以x1或x 1.5.3.8 解不等式.3 x . x 112 .解析首先，由3 x 0x 1 0得1w x w 3将原不等式变形为2 .x 2 .C 1 .由于上式两边均非负，故两边平方后，整理得7 8x 4 x 1 ,所以7 8x 0 ,即x -，并且8(7 8x)2 16(x 1),所以 64x2 128x 33 0,8 耳亠 8 31x 或x .8 88539 求不等式x 1 (x 1)2 3x 7的整数解的个数解析不等式

20、x 12(x 1) 3x7等价于不等式组(x1)2x1,(x1)23x7,即2 x3x20,2 x5x60.解x23x20得x 2 或 x 1;2解 x 5x 6 0 得 1 x 6故原不等式组的解为 1 x 1或2 x 6. x的整数解为x 0, 3, 4, 5共四个.5.3.10 实数 a、b、c 满足(a c)(a b c) 0.证明：(b c)2 4a(a b c).解析要证(b c) 4a(a b c)，即证2(b c) 4a(a b c) 0，联想到一元二次方程根的判别式，进而构造符合条件的二次函数，通过对函数图象与性质的研究使问 题得以解决.设辅助函数 y ax2 (b c)x (a b c)，令为 0，得函数值 a b c ；令他 1，得函数值Y2 2(a c).因为(a c)(a b c) 0，所以 y1y2 0.这说明，辅助函数 y ax (b c)x (a b c)上两点(为小)、区以)分布在x轴的两侧，由此可见抛 物线与x轴有两个交点，也就是说方程 ax2 (b c)x (a b c) 0有两个不相等的实数根.因此 (b c)2 4a(a b c) 0，故2(b c) 4a(a b c).评注 有些数学问题，可以借助函数，利用对函数图象与性质的研究