初中数学竞赛专题复习第一篇代数第5章不等式试题1人教版.docx
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初中数学竞赛专题复习第一篇代数第5章不等式试题1人教版
第5章不等式
§5.1一元一次不等式（组）
5.1.1★已知2（x2）3（4x1）9（1x），且y
110
x9，试比较_y与y的大小.
n31
解析首先解关于x的方程得x10.将x
10代入不等式得y
109，即y1.又因为11°,
n31
110
所以—yy
n31
5.1.2★解关于x的不等式3x23212x
aa
解析
由题设知a0，去分母并整理得
（2a:
3）x
（2a3）（a
1）.
当2a
3
0,即a
3
-（a0）时，
2
xa1；
当2a
3
0，即a
3
-时，无解；
2
当2a
3
0,即a
3时，xa
2
1.
评注
对含有字母系数的不等式的解，
也要分情况讨论
5.1.3
★★已知不等式
（2ab）x3a
4b
0的解为
解析
已知不等式为
（3ab）x4b
3a.
由题设知
2a
b0,
4b
3a
4
2a
b
9.
2ab,
所以
7
ba.
8
由2a
7
a
8
，可得a
0,从而a0
b
7
a.
8
于是不等式
（a4b）x
2a3b0等价于
7
（a7
a）x
21
2aa
8
0,
即5
2
ax
5
5a,解得
8
1
x.
4
所求的不等式解为x
1
4*
x
5.1.4★★如杲关于x的不等式
4
9，求不等式（a4b）x2a3b0的解.
（2ab）xa5b0
的解集为x10，求关于x的不等式axb的解集.
7
解析由已知得
（2ab）x5ba，①
7x10.②
由已知①和②的解集相同，所以
2ab7,
5ba
10,
解得
a
5,
b
3.
从而ax
b的解集是
x
3
5
5.1.5★求不等式
111
（x1）（x1）>（x2）
326
的正整数解.
一177
解析由原不等式可得-X<-,所以x<-是原不等式的解.因为要求正整数解，所以原不等式的正
362
整数解为x1，2，3.
5.1.6★★如果不等式组9xa》0,的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等式组的整数a、b的有
8xb0
序数对（a,b）共有多少对？
解析由原不等式组可解得-98
如图所示，在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围，可得
0-<1,
9
3b<4.
8
24bw32.
所以，a1,2，…，9共9个，b25,26,…，32共8个，于是有序数对（a,b）共有9872个.
5.1.7★★★设a、b是正整数，求满足8旦？
，且b最小的分数-.
9b10b
解析欲求b的最小值，只需将b放入一个不等式，然后估计出b的下界，这里要用到整数的离散性，
即若整数x、y满足xy，则x>y1.
原不等式等价于
10
8b9a,
10a9b.
所以
8b1w9a,
10a1w9b.
8b
解得
c9b11w9-
10
b>19.
又分数
H满足8
199
17917
17—，故b最小且满足题意的分数是17
191019
5.1.8★已知5wmw20,25wnw30，求—的最大值和最小值.
n
25wnw30,所以m的最大值为20,最小值为5;n的最大值为30,最小
解析因为5wmW20,值为25.
故m的最大值为m
nn
5.1.9★★求同时满足
解析由a
20
25
a
bc6和2a
-的最小值为--1.
nn306
6,2abc3和b>c>0的a的最大值及最小值.
c3，得
93ac
2
再由b>c>0得，>
2
>0，解此不等式，得-waw3.
2
所以a的最大值为3，最小值为
5.1.10★求适合2xyxy,
3
2
且y满足方程3y
52y3x的x取值范围.
解析3y52y3x，所以y3x
2x（3x5）x
故x的取值范围是
5.1.11★★当
最小值.
3x
5,x2.
2.
z为非负数时,
5.于是
3y2z
x,3yz43x，求w3x3y4z的最大值和
3y
解析由
3y
2z
x
'解得
3x,
4x,
7x
3.
因为x、y、z均为非负数.所以,
从上面可得
w3x
26x
3y4z3x57x416x
9.
67
所以w的最大值是67,
7
w的最小值是
§5.2
5
2.
含绝对值的不等式（组）
5.2.1
★
（1）解不等式
|3x2|
（2）解析5.2.2
解不等式|3x2|
根据绝对值的非负性，易知
★★解不等式|x5|12x
3.
3|
1）无解，
（2）的解集为全体实数.
1.
解析原不等式的零点为5、-.根据零点的情况分类讨论•
2
（1）当x5时，原不等式化为
（x5）（2x3）1，
解之，得x3.
所以，此时不等式的解为x5.
（2）当x-时，原不等式化为
2
（x5）（2x3）1，
解之，得x1.
所以，此时不等式的解为x1.
3
（3）当一2
（x5）（2x3）1,
解之，得x7.
3
所以，此时不等式的解为7x<5.
3
综上，原不等式的解为x1或x7.
3
评注解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义，去掉不等式中的绝对值符号.分类讨
论是去绝对值符号的另一种重要方法.
5.2.3★解不等式|x7||x2|3.
解析1如图，分别用A、B两点代表7和2.
|x7||x2|表示某点C（x所对应的点）至UA点和B点的距离差.又当x1时，C点到A、B两点的距离差恰好为3.
ACB
IIIIIIII1^I
-7-1O2x
当点C靠近点A时，C到A、B两点的距离差变小，所以原不等式的解为
x1.
解析2因为7、2分别是|x7|和|x2|的零点，于是分三种情况讨论：
（1）当x7时，原不等式变为
（x7）（x2）3,
此式恒成立，故x7是原不等式的解.
（2）当7（x7）（x2）3,
解得x1.
所以，7（3）若x>2，原不等式变为
（x7）（x2）3,
即53，此不等式无解.
综上所述，原不等式的解为x1.
5.2.4★★解不等式||x3||x3||3.
解析原不等式等价于
|x3||x3|3，①
或
|x3||x3|
3.
②
①的解为x
3
一；②的解为x
3
2
2.
所以，原不等式的解为x—或x3.
22
525★解不等式：
x25|x|60.
解析注意X2（|x|）2，整体分解.
由题意得
（|x|2）（|x|3）0,
即|x|3或|x|2，
而由|x|3得
x3或x3，
由|x|2得
2x2.
所以，原不等式的解为
x3或2x2或x3.
5.2.6★★解不等式组：
x22x350,
|x2|10.
解析由x2x350得x7或x5.
由|x2|10得8x12.
于是原不等式组的解就是
x7或x5,
8x12,
即
8x7或5x12.
5.2.7★★a取何值时，不等式
12x5||42x|a
无实数解？
解法1欲使不等式|2x5||42x|a无实数解，关键是求出12x5||42x|的最小值.
因|2x5|、|42x|的零点分别是5、2.
2
55
当x<3时，|2x5||42x|（2x5）42x14x.当x?
时，|2x5||42x|有最小值
9；
5
当—x<2时，|2x5||42x|2x542x9，最小值及最大值都是9;
2
当x2时，|2x5||42x|2x52x44x1，无最小值.
故|2x5||42x|的最小值为9.
欲使不等式|2x5||42x|a无实数解，则a<9.
解法2由|a||b|》|ab|，得
|2x5||42xp|2x5
42x|9,
2x|a无实数解，只需
故欲使不等式|2x5||4
解析1利用不等式性质:
|x1||x3|>|x1（x3）|4,
又|x1||x3|可得a>4.
解析2根据绝对值的几何意义，因为|x1|、|x3|分别表示数轴上点x到点1和3的距离，所以
|x1||x3|表示数轴上某点到A:
1和B:
3的距离和.从图可见，不论x在A点左边或者B点右
边时，x到A、B点距离和至少为4;当x在AB两点之间时，x到A、B点距离和为4.所以a>4.
评注解绝对值不等式常用分类讨论方法
（1）当x<1时，原不等式化为a>22x>4;
（2）当1x3时，原不等式化为a>4;
（3）当x>3时，原不等式化为a>2x2>4.
综上所述，a>4.
本题中，两个绝对值符号中未知数的系数相同，所以我们利用了绝对值的几何意义
5.2.9★已知n0且|m|m一_n，求m的取值范围
mn
解析整理可得n
m（1|m|）
1|m|
因为n0,所以
m（1|m|）0
1|m|'
即m（1|m|）0.
（1）当m0时，1|m|0,解之得1m0.
（2）当m0时，1|m|0,解之得m1.
综上，m的取值范围为1m0或者m1.
5.2.10★解不等式x24|x|30.
解析1因为
x24|x|3（|x|1）（|x|3）0,
所以
|x|1或|x|3,
即1x1或者x3或者x3.
解析2考虑函数f（x）x24|x|3.注意到对任意实数x，有f（x）f（x）.从函数图象来看，这个函
数的图象关于y轴对称，即只需作出x0时的图象，再把函数图象关于y轴作对称即可
如图，可知，原不等式的解为使得图象在x轴上方的x的取值集合：
1x1或者x3或者x3.
评注当我们从函数图象的角度去解不等式时，有两点需要引起读者注意：
f（|x|）表示的函数图象是
f（x）在x轴正向部分图象及其与关于y轴翻折；|f（x）|的图象是把f（x）在x轴下方的图象关于x轴翻
折后的图象•由这两点，利用数形结合的方法，是比较巧的
5.2.11★★解不等式|x4x1|3x.
解析
（1）当x24x1>0,即x>2,3或x<2,3时，原不等式变形为
2
x4x13x.
解不等式组，得
73、5亠73.5x或x
22
（2）当x24x10,即23x23时，原不等式变形为
2
（x4x1）3x.
此时，不等式组无解•综上，原不等式的解为
73、5卡73.5
x或x.
（本题从几何解释为使
22
5.2.12★★已知|x|w1,|y|w1，且
k|xy||y1||2yx4|,
求k的最小值和最大值.
解析解题的关键是把绝对值符号去掉，必要时可以分类讨论因为|x|w1,|y$1，所以
1所以y1>0.
又2$2y$2，故3$2y3x$3，从而2yx40.
当xy0时，有k（xy）（y1）（2yx4）2y5.
因为1$y$1，所以3$2y5$7，此时3$k$7.
当xy>0时，有k（xy）（y1）（2yx4）2x5.
同样，当1$x$1时，3$2x5$7，即3$k$7.
综上所述，3$k$7.
又当x1时，k7,当x1时，k3，所以，k的最值是3，最大值是7.
5.2.13★★实数a、b、c满足不等式|a|>|bc|,|b|>|ca|,|c|>|ab|.求证：
abc0.
解析1若a、b、c中有一个为零时，设a0，则|bc|0,所以，bc0，故abc0.下面
0,于是由|bc|$a,得a$bc，所
（4）当a、b、c全为负数时，于是由条件得
bc$2（abc），所以abc>0,矛
a$bc$a,b$ca$b,c$ab$c，所以a
盾.
综上所述，得abc0.
解析2把题设的3个不等式两边平方后相加，得
222222
abc>2（abc）2ab2bc2ca,
故（abc）$0,
从而abc0.
5.2.14★★★★实数a、b、c满足a$b$c,abbcca0,abc1.求最大的实数k，使得不等式|ab|>k|c|恒成立.
解析当ab迈,c——时，则实数a、b、c满足题设条件，此时k$4.
2
下面证明：
不等式|ab|>4|c|对满足题设条件的实数a、b、c恒成立.由已知条件知，a、b、c都不等于0,且c0.因为
1
1
2xcc
的两个实数根，于是
故
c3<1
4
所以
1
|ab|（ab）2>4c41c|.c
5.2.15★★★已知
（1）a0;
（2）当1（3）当1求常数a、b、c.
1）、（3）知
解析由
（1）知yax2bxc为开口向上的抛物线，由（
—0,b0.
2a
由①得a2.
故a2,b0,c1.
5.2.16★★★证明
A||xy|xy2z||xy|xy2z4max{x,y,z},
其中max{x,y,z}表示x、y、z这三个数中的最大者.
解析欲证的等式中含有三个绝对值符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值去掉似乎较为困难，
但等式的另一边对我们有所提示，如果x为x、y、z中的最大者，即证A4x，依次再考虑y、z是
它们中的最大值便可证得.
（1）当x>y,x>z时，
A|
x
yx
y2z|x
yx
y2z
2x
2z
2x
2z
4x
（2）
当
y>z
y>x时,
A|
y
xx
y2z|y
xx
y2z
2y
2z
2y
2z
4y
（3）
当
z>x
z>y时,
因为
|x
y|
xy
2max{x,
y}<
2z,
所以
A2z|xy|xy|xy|xy2z4z.从而A4max{x,y,z}.
§5.3一元二次不等式
5.3.1★设a为参数，解关于x的一元二次不等式
2
x（a3）x3a0.
（x3）（xa）0.
（1）
右a
3，解为3xa;
（2）
若a
3,解为ax3;
无解.
（3）
若a
3，原不等式变成（x3）2
0,
5.3.2
★★设
a为参数，解关于x的一兀二次不等式
ax2
（a1）x10.
解析
（1）
a0时，原不等式为x
1
0,解为
（2）
a0时，分解因式得
ax
1
-（xa
1）0.
①若
a0,
则
x
1
（xa
1）0.
（i）
1
1.a
，即0a1时，解为1x
1a
（ii
）11a
1
，即a1时，解为一x
a
1.
（iii
）1
1，即a1时，不等式无解
解析分解因式
则
a
0，
x1.
②若a
1
x—
a
（x
1）
解为x
a
5.3.3★★若一元二次不等式解析1
2ax
因一元二次不等式
bx
2
ax
c
bx
0的解是1x2，求不等式cx2bxa
0的解是1x2，所以，不等式
0的解.
ax2bxc0与
（x
1）（x
2）
0等价.即
0）与x23x20等价.所以
3,
2,即
0,
3a,
2a,
0.
故不等式cx2bxa0,即2ax23axa0,且a0.1
化为2x23x10，解得x1，或x.
2
解析2因一兀二次不等式ax2bxc0的解是1
x2,所以ax2bxc0的根是1,2，且a0.
3,
由韦达定理，得
2.
21故不等式cxbxa0的解是x1，或x-.
2
534★★★欲使不等式（m1）x2（3m）x20与不等式x23x20无公共解，求m的取值范围.
解析不等式x23x20的解是1x2.
不等式
2
（m1）x（3m）x20，
即[（m1）x2]（x1）0.①
（1）当m1时，不等式为2x20,即x1，符合题意；
（2）当m10，即m1时，不等式①之解为—x1,符合题意；
1m
（3）当m10，即m1时，我们分两种情况讨论：
若_J1，即m1时，不等式①之解为x1，或x—，不合题意；
1m1m
若—J1,即1m1时，不等式①之解为x—，或x1，欲使不等式（m1）x2（3m）x20
1m1m
22
与不等式x3x20无公共解，则须>2，从而01m
综上所述，欲使不等式（m1）x2（3m）x20与不等式x23x20无公共解，m的取值范围是
m>0
5.3.5★★对一切实数x，不等式
2
ax（a6）x20
恒成立，求a的值.
解析由于不等式对一切x恒成立，故a应该满足
a0,
a624a20,
即
a0,
a220a360,
所以2a18.
5.3.6★★设有不等式
1222
（2tt）wx3x2w3t,
8
试求对于满足0wxw2的一切x成立的t的取值范围.
1
解析令yx23x2,0wxw2，则在0wxw2上y能取到的最小值为-，最大值为2，从而总
4
1（2tt2）w-,
84
2t2>2,
即
所以
2
t2t2>0,
t21w0,
于是t的取值范围为1wtw1,3.
537★解不等式
2x1x3
x1x1
解析原不等式可化为
2x1x3
0，
x1x1
即
2
xx
2
0•
①
（x
1）（x
1）
因为x2
x
2x
1
27
x
0，所以①式等价于
2
4
（x1）（x
1）
0,
所以
x
1或
x1.
5.3.8★★解不等式
.3x.x1
1
2.
解析首先，由
3x>0
x1>0
得1wxw3•将原不等式变形为
2.^x2.C1.
由于上式两边均非负，故两边平方后，整理得
78x4x1,
所以78x0,即x-，并且
8
（78x）216（x1）,
所以64x2128x330,
8耳亠831
x或x.
88
8
539★求不等式x1（x1）23x7的整数解的个数
解析
不等式
x1
2
（x1）3x
7等价于不等式组
（x
1）2
x
1,
（x
1）2
3x
7,
即
2x
3x
2
0,
2x
5x
6
0.
解x2
3x
2
0得
x2或x1;
2
解x5x60得1x6
故原不等式组的解为1x1或2x6.x的整数解为x0,3,4,5共四个.
5.3.10★★实数a、b、c满足
（ac）（abc）0.
证明：
（bc）24a（abc）.
解析要证（bc）4a（abc），即证
2
（bc）4a（abc）0，
联想到一元二次方程根的判别式，进而构造符合条件的二次函数，通过对函数图象与性质的研究使问题得以解决.
设辅助函数yax2（bc）x（abc），令为0，得函数值％abc；令他1，得函数值
Y22（ac）.
因为（ac）（abc）0，所以y1y20.
这说明，辅助函数yax（bc）x（abc）上两点（为小）、区以）分布在x轴的两侧，由此可见抛物线与x轴有两个交点，也就是说方程ax2（bc）x（abc）0有两个不相等的实数根.
因此（bc）24a（abc）0，故
2
（bc）4a（abc）.
评注有些数学问题，可以借助函数，利用对函数图象与性质的研究
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