可得a>4.
解析2根据绝对值的几何意义,因为|x1|、|x3|分别表示数轴上点x到点1和3的距离,所以
|x1||x3|表示数轴上某点到A:
1和B:
3的距离和.从图可见,不论x在A点左边或者B点右
边时,x到A、B点距离和至少为4;当x在AB两点之间时,x到A、B点距离和为4.所以a>4.
评注解绝对值不等式常用分类讨论方法
(1)当x<1时,原不等式化为a>22x>4;
(2)当1x3时,原不等式化为a>4;
(3)当x>3时,原不等式化为a>2x2>4.
综上所述,a>4.
本题中,两个绝对值符号中未知数的系数相同,所以我们利用了绝对值的几何意义
5.2.9★已知n0且|m|m一_n,求m的取值范围
mn
解析整理可得n
m(1|m|)
1|m|
因为n0,所以
m(1|m|)0
1|m|'
即m(1|m|)0.
(1)当m0时,1|m|0,解之得1m0.
(2)当m0时,1|m|0,解之得m1.
综上,m的取值范围为1m0或者m1.
5.2.10★解不等式x24|x|30.
解析1因为
x24|x|3(|x|1)(|x|3)0,
所以
|x|1或|x|3,
即1x1或者x3或者x3.
解析2考虑函数f(x)x24|x|3.注意到对任意实数x,有f(x)f(x).从函数图象来看,这个函
数的图象关于y轴对称,即只需作出x0时的图象,再把函数图象关于y轴作对称即可
如图,可知,原不等式的解为使得图象在x轴上方的x的取值集合:
1x1或者x3或者x3.
评注当我们从函数图象的角度去解不等式时,有两点需要引起读者注意:
f(|x|)表示的函数图象是
f(x)在x轴正向部分图象及其与关于y轴翻折;|f(x)|的图象是把f(x)在x轴下方的图象关于x轴翻
折后的图象•由这两点,利用数形结合的方法,是比较巧的
5.2.11★★解不等式|x4x1|3x.
解析
(1)当x24x1>0,即x>2,3或x<2,3时,原不等式变形为
2
x4x13x.
解不等式组,得
73、5亠73.5x或x
22
(2)当x24x10,即23x23时,原不等式变形为
2
(x4x1)3x.
此时,不等式组无解•综上,原不等式的解为
73、5卡73.5
x或x.
(本题从几何解释为使
22
5.2.12★★已知|x|w1,|y|w1,且
k|xy||y1||2yx4|,
求k的最小值和最大值.
解析解题的关键是把绝对值符号去掉,必要时可以分类讨论因为|x|w1,|y$1,所以
1所以y1>0.
又2$2y$2,故3$2y3x$3,从而2yx40.
当xy0时,有k(xy)(y1)(2yx4)2y5.
因为1$y$1,所以3$2y5$7,此时3$k$7.
当xy>0时,有k(xy)(y1)(2yx4)2x5.
同样,当1$x$1时,3$2x5$7,即3$k$7.
综上所述,3$k$7.
又当x1时,k7,当x1时,k3,所以,k的最值是3,最大值是7.
5.2.13★★实数a、b、c满足不等式|a|>|bc|,|b|>|ca|,|c|>|ab|.求证:
abc0.
解析1若a、b、c中有一个为零时,设a0,则|bc|0,所以,bc0,故abc0.下面
0,于是由|bc|$a,得a$bc,所
(4)当a、b、c全为负数时,于是由条件得
bc$2(abc),所以abc>0,矛
a$bc$a,b$ca$b,c$ab$c,所以a
盾.
综上所述,得abc0.
解析2把题设的3个不等式两边平方后相加,得
222222
abc>2(abc)2ab2bc2ca,
故(abc)$0,
从而abc0.
5.2.14★★★★实数a、b、c满足a$b$c,abbcca0,abc1.求最大的实数k,使得不等式|ab|>k|c|恒成立.
解析当ab迈,c——时,则实数a、b、c满足题设条件,此时k$4.
2
下面证明:
不等式|ab|>4|c|对满足题设条件的实数a、b、c恒成立.由已知条件知,a、b、c都不等于0,且c0.因为
1
1
2xcc
的两个实数根,于是
故
c3<1
4
所以
1
|ab|(ab)2>4c41c|.c
5.2.15★★★已知
(1)a0;
(2)当1(3)当1求常数a、b、c.
1)、(3)知
解析由
(1)知yax2bxc为开口向上的抛物线,由(
—0,b0.
2a
由①得a2.
故a2,b0,c1.
5.2.16★★★证明
A||xy|xy2z||xy|xy2z4max{x,y,z},
其中max{x,y,z}表示x、y、z这三个数中的最大者.
解析欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝对值去掉似乎较为困难,
但等式的另一边对我们有所提示,如果x为x、y、z中的最大者,即证A4x,依次再考虑y、z是
它们中的最大值便可证得.
(1)当x>y,x>z时,
A|
x
yx
y2z|x
yx
y2z
2x
2z
2x
2z
4x
(2)
当
y>z
y>x时,
A|
y
xx
y2z|y
xx
y2z
2y
2z
2y
2z
4y
(3)
当
z>x
z>y时,
因为
|x
y|
xy
2max{x,
y}<
2z,
所以
A2z|xy|xy|xy|xy2z4z.从而A4max{x,y,z}.
§5.3一元二次不等式
5.3.1★设a为参数,解关于x的一元二次不等式
2
x(a3)x3a0.
(x3)(xa)0.
(1)
右a
3,解为3xa;
(2)
若a
3,解为ax3;
无解.
(3)
若a
3,原不等式变成(x3)2
0,
5.3.2
★★设
a为参数,解关于x的一兀二次不等式
ax2
(a1)x10.
解析
(1)
a0时,原不等式为x
1
0,解为
(2)
a0时,分解因式得
ax
1
-(xa
1)0.
①若
a0,
则
x
1
(xa
1)0.
(i)
1
1.a
,即0a1时,解为1x
1a
(ii
)11a
1
,即a1时,解为一x
a
1.
(iii
)1
1,即a1时,不等式无解
解析分解因式
则
a
0,
x1.
②若a
1
x—
a
(x
1)
解为x
a
5.3.3★★若一元二次不等式解析1
2ax
因一元二次不等式
bx
2
ax
c
bx
0的解是1x2,求不等式cx2bxa
0的解是1x2,所以,不等式
0的解.
ax2bxc0与
(x
1)(x
2)
0等价.即
0)与x23x20等价.所以
3,
2,即
0,
3a,
2a,
0.
故不等式cx2bxa0,即2ax23axa0,且a0.1
化为2x23x10,解得x1,或x.
2
解析2因一兀二次不等式ax2bxc0的解是1
x2,所以ax2bxc0的根是1,2,且a0.
3,
由韦达定理,得
2.
21故不等式cxbxa0的解是x1,或x-.
2
534★★★欲使不等式(m1)x2(3m)x20与不等式x23x20无公共解,求m的取值范围.
解析不等式x23x20的解是1x2.
不等式
2
(m1)x(3m)x20,
即[(m1)x2](x1)0.①
(1)当m1时,不等式为2x20,即x1,符合题意;
(2)当m10,即m1时,不等式①之解为—x1,符合题意;
1m
(3)当m10,即m1时,我们分两种情况讨论:
若_J1,即m1时,不等式①之解为x1,或x—,不合题意;
1m1m
若—J1,即1m1时,不等式①之解为x—,或x1,欲使不等式(m1)x2(3m)x20
1m1m
22
与不等式x3x20无公共解,则须>2,从而01m
综上所述,欲使不等式(m1)x2(3m)x20与不等式x23x20无公共解,m的取值范围是
m>0
5.3.5★★对一切实数x,不等式
2
ax(a6)x20
恒成立,求a的值.
解析由于不等式对一切x恒成立,故a应该满足
a0,
a624a20,
即
a0,
a220a360,
所以2a18.
5.3.6★★设有不等式
1222
(2tt)wx3x2w3t,
8
试求对于满足0wxw2的一切x成立的t的取值范围.
1
解析令yx23x2,0wxw2,则在0wxw2上y能取到的最小值为-,最大值为2,从而总
4
1(2tt2)w-,
84
2t2>2,
即
所以
2
t2t2>0,
t21w0,
于是t的取值范围为1wtw1,3.
537★解不等式
2x1x3
x1x1
解析原不等式可化为
2x1x3
0,
x1x1
即
2
xx
2
0•
①
(x
1)(x
1)
因为x2
x
2x
1
27
x
0,所以①式等价于
2
4
(x1)(x
1)
0,
所以
x
1或
x1.
5.3.8★★解不等式
.3x.x1
1
2.
解析首先,由
3x>0
x1>0
得1wxw3•将原不等式变形为
2.^x2.C1.
由于上式两边均非负,故两边平方后,整理得
78x4x1,
所以78x0,即x-,并且
8
(78x)216(x1),
所以64x2128x330,
8耳亠831
x或x.
88
8
539★求不等式x1(x1)23x7的整数解的个数
解析
不等式
x1
2
(x1)3x
7等价于不等式组
(x
1)2
x
1,
(x
1)2
3x
7,
即
2x
3x
2
0,
2x
5x
6
0.
解x2
3x
2
0得
x2或x1;
2
解x5x60得1x6
故原不等式组的解为1x1或2x6.x的整数解为x0,3,4,5共四个.
5.3.10★★实数a、b、c满足
(ac)(abc)0.
证明:
(bc)24a(abc).
解析要证(bc)4a(abc),即证
2
(bc)4a(abc)0,
联想到一元二次方程根的判别式,进而构造符合条件的二次函数,通过对函数图象与性质的研究使问题得以解决.
设辅助函数yax2(bc)x(abc),令为0,得函数值%abc;令他1,得函数值
Y22(ac).
因为(ac)(abc)0,所以y1y20.
这说明,辅助函数yax(bc)x(abc)上两点(为小)、区以)分布在x轴的两侧,由此可见抛物线与x轴有两个交点,也就是说方程ax2(bc)x(abc)0有两个不相等的实数根.
因此(bc)24a(abc)0,故
2
(bc)4a(abc).
评注有些数学问题,可以借助函数,利用对函数图象与性质的研究