1、衡阳联考 湖南衡阳市届高三第二次联考数学理试题 扫描版含答案 2015届高中毕业班联考(二)理科数学参考答案8. D 设底面边长为X,球半径为r,则4=,得r2=,又由题意得r2=x2+(x)2,解得x=1,故三棱柱的侧面积为6.9. A 试题分析: ,所以f(x)单调递增,且为奇函数.由题意得即:.作出表示的区域如图所示:.设,由得.结合图形可知,即. 10. C 的通项Tr+1=(x2) 5-r(x-3)r=x10-5r,令10-5r=0得r=2,则常数项为=2,f(x)是以2为周期的偶函数.因为区间-1,3是两个周期,所以在区间-1,3内函数g(x)=f(x)-kx-2k有4个零点可转化
2、为f(x)与r(x)=kx+2k有四个交点.当k=0时,两函数图象只有两个交点,不合题意,当k0时,因为函数r(x)的图象恒过点(-2,0),则若使两函数图象有四个交点,必有0r(3)1,解得0k二.填空题:11. 2 由题意得,的普通方程:,的普通方程:, 因为曲线的极坐标方程是,化为直角坐标方程为 因为与分曲线所成长度相等的四段弧,所以直线与圆 相交截得的弦长所对的圆心角是90,则圆心到直线的距离,即,即 ,即不妨令,所以故答案为:12. 15 由题意得,ACQAPC=AQAP .设AQ=x,75=3x2,故x=5,AP=3x=1513.利用均值不等式可求得:314. 2 i15. 16.
3、 (1) (0,2)2分 (2)3分(1)函数f(x)=-x2+mx+1是区间-1,1上的平均值函数,关于x的方程-x2+mx+1=在(-1,1)内有实数根由-x2+mx+1=x2-mx+m-1=0,解得x=m-1,x=1又1(-1,1)x=m-1必为均值点,即-1m-110m2所求实数m的取值范围是0m2(2)解:由题知lnx0=猜想:lnx0,证明如下:,令t=1,原式等价于lnt2t-,2lnt-t+0令h(t)=2lnt-t+,则h(t)=,h(t)=2lnt-t+h(1)=0,得证lnx0三、解答题17. 解:(1)由已知条件,得 又 又当时,有 曲线段的解析式为 (2)如图,1分作
4、轴于点,在中, 在中, 当时,即时:平行四边形面积最大值为 18. 解:(I)设谋节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A,则事件A包括:该节目可以获2张“获奖”票,或者获3张“获奖”票。甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,且三人投票相互没有影响,6分 (II)所含“获奖”和“待定”票数之和的值为0,1,2,3. ; ; . 8分因此的分布列为X0123P10分所以的数学期望为 . 12分19. (1)证:PA平面ABC,BC在平面ABC内,PABC 1分又AD平面PBC,BC在平面ABC内,ADBC 2分PA、AD在平面PAB内且相交于A,BC平面PA
5、B 3分而PB在平面PAB内,BCPB 4分(2)解:由(1)知BC平面PAB,AB在平面PAB内,BCABAD平面PBC,其垂足D落在直线PB上,ADPB设PA = x,则 6分以为x轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),Q(1,1,0),P(0,0,),C(2,2,0) 设平面PBQ的法向量为n = (x,y,z),则 8分在RtABD中,AB = 2,则BD = 1 10分由已知是平面PBC的法向量二面角QPBC的余弦值为 12分20解:(1)(法一)点在抛物线上, 2分设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为,由 得, ,由,得,则直线方程为两直线、间的距离即为抛物线上的点到直
6、线的最短距离,有,解得或(舍去)直线的方程为,抛物线的方程为6分(法二)点在抛物线上, ,抛物线的方程为2分设为抛物线上的任意一点,点到直线的距离为,根据图象,有,的最小值为,由,解得因此,直线的方程为,抛物线的方程为6分(2)直线的斜率存在,设直线的方程为,即,由 得,设点、的坐标分别为、,则, 9分10分由 得, 12分因此,存在实数,使得成立,且13分21. 解:(1)由已知, , , (1分)由可得 (2分)将代入,得对任意,有,即,所以,是等差数列 (4分)设数列的公差为,由,得,(1分)所以, (2分)所以,(4分)由已知,当时,而也满足此式(5分)所以数列、的通项公式为:, (6
7、分)(3)由(2),得, (1分)则, (2分)不等式化为, (3分)(以下有两种解法)解法一:不等式化为, (4分)设,则对任意恒成立 (5分)当,即时,不满足条件当,即时,满足条件 当,即时,函数图像的对称轴为直线, 关于递减,只需,解得,故 (7分)综上可得,的取值范围是解法二:不等式化为对任意恒成立,即,(5分)设,任取、,且,则,故关于递减 (6分)又且,所以对任意恒成立,所以因此,实数的取值范围是 (7分)22. 解:(1)为奇函数,当时,则, 2分时, 的值域为 3分(2)函数的图象如图所示,当时,方程有三个实根;当或时,方程只有一个实根;当或时,方程有两个实根(法一):由,解得
8、, 的值域为,只需研究函数在上的图象特征设,令,得,当时,当时,又,即,由,得,的大致图象如图所示根据图象可知,当时,直线与函数的图像仅有一个交点,则函数在上仅有一个零点,记零点为,则分别在区间、上,根据图像,方程有两个交点,因此函数有两个零点 5分类似地,当时,函数在上仅有零点,因此函数有、这三个零点 6分当时,函数在上有两个零点,一个零点是,另一个零点在内,因此函数有三个零点 7分当时,函数在上有两个零点,且这两个零点均在内,因此函数有四个零点 8分当时,函数在上没有零点,因此函数没有零点 9分(法二): ,令,得, ,当时,当时,当时,取得极大值 ()当的极大值,即时,函数在区间上无零点
9、,因此函数无零点 ()当的极大值,即时,函数的图像如图所示,函数有零点由图可知方程有两不等的实根,因此函数有两个零点()当的极大值且,即时,在上单调递增,因为,函数的图像如图所示,函数在存在唯一零点,其中由图可知方程有两不等的实根,因此函数有两个零点()当的极大值且,即时:由,得,由,得,根据法一中的证明有 ()当时,函数的图像如图所示,函数在区间有唯一零点,其中由图可知方程有两不等的实根,因此函数有两个零点()当时,函数的图像如图所示,函数在区间有唯一零点由图可知方程有三个不等的实根,因此函数有三个零点()当时,函数的图像如图所示,函数在区间有唯一零点,其中由图可知方程有两个不等的实根,因此函数有两个零点 ()当时,函数的图像如图所示,函数在区间有两个零点,分别是和,其中由图可知方程有一个实根,方程 有两个非的不等实根,因此函数有三个零点 ()当时,函数的图像如图所示,函数在区间有两个零点、,其中由图可知方程、都有两个不等的实根,且这四个根互不相等,因此函数有四个零点 综上可得: 当时,函数有两个零点;5分当、时,函数有三个零点; 7分 当时,函数有四个零点; 8分当时,函数无零点 9分因为是函数的一个零点,所以有,
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