衡阳联考 湖南衡阳市届高三第二次联考数学理试题 扫描版含答案.docx

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衡阳联考湖南衡阳市届高三第二次联考数学理试题扫描版含答案

2015届高中毕业班联考

（二）理科数学参考答案

8.D设底面边长为X,球半径为r,则4

=

得r2=

又由题意得r2=x2+（

x）2,解得x=1,故三棱柱的侧面积为6.

9.A试题分析：

，所以f（x）单调递增，且为奇函数.

由题意得

即：

.作出

表示的区域如图所示：

.设

，由

得

.结合图形可知，

即

.

10.C

的通项Tr+1=

（x2）5-r（

x-3）r

=

x10-5r,令10-5r=0得r=2,则常数项为

×

=2,f（x）是以2为周期的偶函数.因为区间[-1,3]是两个周期,所以在区间[-1,3]内函数g（x）=f（x）-kx-2k有4个零点可转化为f（x）与r（x）=kx+2k有四个交点.

当k=0时,两函数图象只有两个交点,不合题意,

当k≠0时,因为函数r（x）的图象恒过点（-2,0）,则若使两函数图象有四个交点,必有0

二.填空题:

11.2由题意得，

的普通方程：

，

的普通方程：

，

因为曲线

的极坐标方程是

，化为直角坐标方程为

因为

与

分曲线

所成长度相等的四段弧，所以直线

与圆

相交截得的弦长所对的圆心角是90°，则圆心到直线的距离，即

即

，即不妨令

，所以

故答案为：

．

12.15由题意得，△ACQ∽△APC∴

=AQ．AP

.设AQ=x,75=3x2,故x=5,AP=3x=15

13.利用均值不等式可求得：

3

14.2i

15.①②③

16.

（1）（0，2）　2分

（2）

　3分

（1）∵函数f（x）=-x2+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，

∴关于x的方程-x2+mx+1=

在（-1，1）内有实数根．

由-x2+mx+1=

⇒x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．

又1∉（-1，1）

∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．

∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2．

（2）解：

由题知lnx0=

．猜想：

lnx0＜

，

证明如下：

＜

，令t=

＞1，原式等价于lnt2＜t-

2lnt-t+

<0

令h（t）=2lnt-t++

，则h′（t）=

，∴h（t）=2lnt-

t+

＜h

（1）=0，

得证lnx0＜

三、解答题

17.解：

（1）由已知条件，得

又∵

又∵当

时，有

∴曲线段

的解析式为

．

（2）如图，

………

……………………………1分

作

轴于

点，在

中，

…在

中，

∴

…当

时，即

时：

平行四边形面积最大值为

18.解：

（I）设谋节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为A，则事件A包括：

该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票。

　　∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为

，且三人投票相互没有影响，∴

＋

　　　　　……………………6分

（II）所含“获奖”和“待定”票数之和

的值为0，1，2，3.

;

;

;

.……8分

因此

的分布列为

X

0

1

2

3

P

…………10分

所以

的数学期望为

.……12分

19.

（1）证：

∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC 1分

又∵AD⊥平面PBC，BC在平面ABC内 ，∴AD⊥BC2分

PA、AD在平面PAB内且相交于A，∴BC⊥平面PAB3分

而PB在平面PAB内，∴BC⊥PB．4分

（2）解：

由

（1）知BC⊥平面PAB，AB在平面PAB内，∴BC⊥AB

∵AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上，∴AD⊥PB

 设PA=x，则

6分

以

为x轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），Q（1

，1，0），P（0，0，

），C（2，2，0）

设平面PBQ的法向量为n=（x，y，z），则

∴

8分

在Rt△ABD中，

，AB=2，则BD=1

∴

10分

由已知

是平面PBC的法向量

∴二面角Q－PB－C的余弦值为

12分

20解：

（1）（法一）

点

在抛物线

上，

．……………………2分

设与直线

平行且与抛物线

相切的直线

方程为

，

由

得

，

，

由

，得

，则直线

方程为

．

两直线

、

间的距离即为抛物线

上的点到直线

的最短距离，

有

，解得

或

（舍去）．

直线

的方程为

，抛物线

的方程为

．…………………………6分

（法二）

点

在抛物线

上，

，抛物线

的方程为

．……2分

设

为抛物线

上的任意一点，点

到直线

的距离为

，根据图象，有

，

，

，

的最小值为

，由

，解得

．

因此，直线

的方程为

，抛物线

的方程为

．…………………6分

（2）

直线

的斜率存在，

设直线

的方程为

，即

，

由

得

，

设点

、

的坐标分别为

、

，则

，

，

，

，…………………………9分

．…10分

由

得

，

，

，……………………………………………12分

．

因此，存在实数

，使得

成立，且

．…………………………13分

21.解：

（1）由已知，

①，

②，……………………（1分）

由②可得

③……………………（2分）

将③代入①，得对任意

，

，有

，即

所以，

是等差数列．………………………（4分）

设数列

的公差为

，由

，

，得

，

，……（1分）

所以，

，

，

，………………………（2分）

所以

，

．…（4分）

由已知，当

时，

，而

也满足此式．……（5分）

所以数列

、

的通项公式为：

，

．………（6分）

（3）由

（2），得

，……………………（1分）

则

，…………（2分）

不等式

化为

，…………………（3分）

（以下有两种解法）

解法一：

不等式化为

，……………………………（4分）

设

，则

对任意

恒成立．………（5分）

当

，即

时，不满足条件．

当

，即

时，满足条件．

当

，即

时，函数

图像的对称轴为直线

，

关于

递减，只需

，解得

，故

．……………………（7分）

综上可得，

的取值范围是

．

解法二：

不等式化为

对任意

恒成立，即

，…（5分）

设

，任取

、

，且

，则

，故

关于

递减．……………………（6分）

又

且

，所以

对任意

恒成立，所以

．

因此，实数

的取值范围是

．………………………（7分）

22.解：

（1）

为奇函数，

．

当

时，

，则

，

………………………………………2分

时，

，

，

，

的值域为

．…………………………………………………3分

（2）①函数

的图象如图

所示，当

时，方程

有三个实根；当

或

时，方程

只有一个实

根；当

或

时，方程

有两个实根．

（法一）：

由

，解得

，

的值域为

，

只需研究函数

在

上的图象特征．

设

，

，

，

令

，得

，

．

当

时，

，当

时，

，

又

，即

，由

，

，得

，

的大致图象如图

所示．

根据图象

可知，当

时，

直线

与函数

的图像仅有一个交点，则函

数

在

上仅有一个零点，记零点为

，则

分别在区间

、

、

上，根据图像

，方程

有两个交点，因此

函数

有两个零点．…………………………………………5分

类似地，当

时，函数

在

上仅有零点

，因此函数

有

、

、

这三个零点．………………………………………………………………6分

当

时，函数

在

上有两个零点，一个零点是

，另一个零点在

内，因此函数

有三个零点．…………………………………………………………7分

当

时，函数

在

上有两个零点，且这两个零点均在

内，因此函数

有四个零点．………

……………………………………………………8分

当

时，函数

在

上没有零点，因此函数

没有零点．………9分

（法二）：

，令

，得

，

，

．

当

时，

，当

时，

，

当

时，

取得极大值

．

（Ⅰ）当

的极大值

，

即

时，函数

在区间

上无零点，因此函数

无零点．

（Ⅱ）当

的极大值

，即

时，

，函数

的图像如图

所示，函数

有零点

．

由图

可知方程

有两不等的实根，因此函数

有两个零点．

（Ⅲ）当

的极大值

且

，

即

时，

在

上单调递增，因为

，

，函数

的图像如图

所示，函数

在

存在唯一零点

，其中

．

由图

可知方程

有两不等的实根，因此函数

有两个零点．

（Ⅳ）当

的极大值

且

，即

时：

由

，得

，由

，得

，

根据法一中的证明有

．

（ⅰ）当

时，

，

，函数

的图像如图

所示，

函数

在区间

有唯一零点

，其中

．

由图

可知方程

有两不等的实根，因此

函数

有两个零点．

（ⅱ）当

时，

，

，函数

的图像如图

所示，

函数

在区间

有唯一零点

．

由图

可知方程

有三个不等的实根，因此函数

有三个零点．

（ⅲ）当

时，

，

，函数

的

图像如图

所示，函数

在区间

有唯一零点

，其中

．

由图

可知方程

有两个不等的实根，因此函数

有两个零点．

（ⅳ）当

时，

，

，

函数

的图像如图

所示，函数

在区间

有

两个零点，分别是

和

，其中

．

由图

可知方程

有一个实根

，方程

有两个非

的不等实根，因此函数

有三个零点．

（ⅴ）当

时，

，

，

函数

的图像如图

所示，函数

在区间

有两个

零点

、

，其中

．

由图

可知方程

、

都有两个不等的实根，

且这四个根互不相等，因此函数

有四个零点．

综上可得：

当

时，函数

有两个零点；………………5分

当

、

时，函数

有三个零点；………………………………7分

当

时，函数

有四个零点；……………………………………8分

当

时，函数

无零点．……………………………

…………………9分

②因为

是函数

的一个零点，所以有

，