高考理科数学全国I卷试题与答案.docx

1、高考理科数学全国I卷试题与答案绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设1 iz ，则 | z|2i1 iA 0 B12C 1 D 22已知集合2A x| x x 2 0 ，则 e AR

2、A x | 1 x 2 B x | 1 x 2C x | x 1 U x | x 2 D x |x 1 x | x 23某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番 . 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况， 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A新农村建设后，种植收入减少B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半理科数学试题 第 1 页（共 9 页）4记 Sn 为等差数列an 的前 n项和. 若 3S3 S2 S4 ， a1 =

3、 2 ，则 a5 =A 12 B 10 C 10 D 125设函数3 2f (x) x (a 1)x ax . 若 f ( x) 为奇函数，则曲线 y f (x) 在点 (0,0) 处的切线方程为A y 2x B y x C y 2x D y xuur 6在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EBA u uur uuru3 1 AB AC4 4B u uur u uru1 3 AB AC4 4C u uur uuru3 1 AB AC4 4D u uur u uru1 3 AB AC4 47某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图 .圆柱表面上的点

4、 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为A 2 17 B 2 5C 3 D 22 48设抛物线C： y = x 的焦点为 F ，过点 (- 2,0) 且斜率为uuur uuru两点，则 FM ?FN23的直线与C 交于 M，NA 5 B 6 C 7 D 89已知函数f (x)x xe , 0,ln x, x 0,g(x) f ( x) x a . 若 g( x) 存在 2 个零点，则 a 的取值范围是A 1,0) B 0, ) C 1, ) D 1, )10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几

5、何图形 . 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC ABC 的三边所围成的区域记为， 黑色部分记为， 其余部分记为 . 在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1， p2 ， p3 ，则A p1 p2 B p1 p3 C p2 p3 D p1 p2 p3理科数学试题第 2 页（共9 页）11已知双曲线2x2 1C： - y = ，O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的3两条渐近线的交点分别为 M， N. 若 OMN 为直角三角形，则 |MN |=A32B 3 C 2 3 D 412已知正方体的棱长为 1

6、，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为A3 34B2 33C3 24D32二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。x 2y 2 0,13若 x ， y 满足约束条件x y 1 0, 则 z 3x 2y 的最大值为 .y 0,14记Sn 为数列an 的前 n 项和. 若 Sn 2an 1，则 S6 .15从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）16已知函数 f (x) 2sin x sin2 x，则 f (x) 的最小值是.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字

7、说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）在平面四边形 ABCD中， ADC 90 ， A 45 ， AB 2 ， BD 5 .（1）求 cos ADB ；（2）若 DC 2 2 ，求 BC .18（12 分）如图，四边形 ABCD为正方形， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点，以 DF 为折痕把DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF BF .（1）证明：平面 PEF 平面 ABFD ；（2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 .理科数学试

8、题 第 3 页（共 9 页）19（12 分）设椭圆2x2 1C： y 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，点 M 的2坐标为 (2,0) .（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；（2）设 O 为坐标原点，证明： OMA OMB .20（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品， 则更换为合格品 . 检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验 . 设每件产品为不合格品的概率都为p(0 p 1)，且各件产品是否为不合格品相互独立 .（

9、1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f ( p) ，求 f ( p) 的最大值点 p0 .（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（ 1）中确定的p 作0为 p 的值. 已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 .（）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求 EX；（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21（12 分）已知函数1f (x) x a ln x x.（1）讨论 f (x) 的单调性；f (x ) f (x

10、 )（2）若 f (x) 存在两个极值点 x1 ， x2 ，证明： 1 2x x1 2a 2.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 xO y 中，曲线 C1 的方程为 y k | x| 2 . 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为2 2 cos 3 0 .（1）求 C2 的直角坐标方程；（2）若C 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程 .123选修 45：不等式选讲 （10 分）已知 f (x) | x 1| | ax

11、1| .（1）当 a 1时，求不等式 f (x) 1 的解集；（2）若 x (0, 1) 时不等式 f (x) x 成立，求 a 的取值范围 .理科数学试题 第 4 页（共 9 页）绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1C 2B 3A 4B 5D 6A7B 8D 9C 10A 11B 12A二、填空题13 6 14 63 1516 163 32三、解答题17解：（1）在 ABD 中，由正弦定理得BD ABsin A sin ADB.由题设知， 5 2 ,sin 45 sin ADB所以sin2ADB .5由题设知， ADB 90 ，所以 2 23cos

12、 ADB 1 . 25 5（2）由题设及（ 1）知，2cos BDC sin ADB .5在BCD 中，由余弦定理得2 2 2 2 cosBC BD DC BD DC BDC25 8 2 5 2 225所以 BC 5 .18解：（1）由已知可得， BF PF ， BF EF ，所以 BF 平面 PEF .又 BF 平面 ABFD ，所以平面 PEF 平面 ABFD .理科数学试题 第 5 页（共 9 页）（2）作 PH EF ，垂足为 H . 由（1）得，PH 平面 ABFD .u uur以 H 为坐标原点， HF的方向为 y 轴正方u uur向， | BF |为单位长，建立如图所示的空间直角

13、坐标系 H xyz .由（1）可得，DE PE. 又DP 2 ，DE 1 ，所以 PE 3 . 又 PF 1，EF 2 ，故 PE PF .可得3PH ，23EH .2则 H (0,0,0) ， 3P(0,0, ) , 23D( 1, ,0) ，2u uurDP 3 3(1, , ) 2 2，u uurHP 3(0,0, ) 2为平面ABFD 的法向量 .设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则3u uur u uurHP DP 34sin | u uur u uur | .4| HP | |DP | 3所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 34.19解：（1）由已知得 F (1,

14、0) ， l 的方程为 x 1.由已知可得，点 A 的坐标为 (1, 2)2或2(1, )2.所以 AM 的方程为 2 2 y x 或22y x 2 .2（2）当 l 与 x 轴重合时， OMA OMB 0 .当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以 OMA OMB .当 l 与 x 轴不重合也不垂直时， 设 l 的方程为 y k(x 1) (k 0) ，A( x1, y1) ，B(x2, y2 ) ，则 x1 2 ， x2 2 ，直线 MA，MB 的斜率之和为k kMA MBy y1 2x1 2 x2 2.由y kx k， y2 kx2 k 得1 1k kMA MB2k

15、x x 3k(x x ) 4k1 2 1 2(x 2)( x 2)1 2.理科数学试题 第 6 页（共 9 页）将 y k(x 1) 代入2x22 1y 得2 2 2 2(2k 1)x 4k x 2k 2 0 .所以，2 24k 2k 2x x , x x1 2 2 1 2 22k 1 2k 1.则3 3 34k 4k 12k 8k 4k2kx x 3k(x x ) 4k 0.1 2 1 2 22k 1从而 kMA kMB 0 ，故 MA，MB 的倾斜角互补. 所以 OMA OMB .综上， OMA OMB .20 解：（1）20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为2 2 18f ( p) C

16、 p (1 p) . 因此202 18 2 17 2 17f ( p) C 2 p(1 p) 18p (1 p) 2C p(1 p) (1 10 p) .20 20令 f ( p) 0 ，得 p 0.1 . 当 p (0,0.1) 时， f ( p) 0；当 p (0.1,1) 时， f (p) 0.所以 f ( p) 的最大值点为p0 0.1 .（2）由（ 1）知， p 0.1 .（）令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 Y B(180,0.1) ，X 20 2 25Y ，即 X 40 25Y .所以 EX E (40 25Y ) 40 25 EY 490 .（）如果

17、对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 400 元.由于 EX 400，故应该对余下的产品作检验 .21 解：（1） f (x) 的定义域为(0, ) ，21 a x ax 1f (x) 12 2x x x.（）若 a 2，则 f ()x 0 ，当且仅当 a 2，x 1时 f (x) 0 ，所以 f ( x) 在 (0, )单调递减.（）若 a 2，令 f (x) 0 得，2 4a ax 或22 4a ax . 2当2 4 2 4a a a ax (0, ) U ( , ) 时， f (x) 0 ；2 2当2 4 2 4a a a ax ( , ) 时 ， f (x) 0 . 所 以

18、 f (x) 在2 22 4a a(0, ) 2，2 4a a( , )2单调递减，在2 4 2 4a a a a( , )2 2单调递增.理科数学试题 第 7 页（共9 页）（2）由（ 1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当 a 2 .由于 f (x) 的两个极值点x ， x2 满足12 1 0x ax ，所以 x1 x2 1，不妨设 x1 x2 ，则 x2 1. 由于f (x ) f (x ) 1 ln x ln x ln x ln x 2ln x1 2 1 2 1 2 21 a 2 a 2 a1x x x x x x x x1 2 1 2 1 2 1 2 2xx2，f (x ) f

19、 (x )所以 1 2x x1 2a 2等价于1x2x 2ln x 02 2.设函数1g(x) x 2ln xx，由（ 1）知， g(x) 在(0, ) 单调递减，又 g(1) 0 ，从而当 x (1, ) 时， g(x) 0 .所以1x2x 2ln x2 20 ，即f (x ) f (x )1 2x x1 2a2.22解：（1）由 x cos ， y sin 得C 的直角坐标方程为22 2(x 1) y 4 .（2）由（ 1）知C 是圆心为 A( 1,0) ，半径为 2的圆 .2由题设知，C 是过点 B(0,2) 且关于 y 轴对称的两条射线 . 记 y 轴右边的射线为 l1 ，1y 轴左边

20、的射线为 l2 . 由于 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与C2 有且仅有三个公共点等价于 l1与C 只有一个公共点且 l2 与C2 有两个公共点，或 l2 与C2 只有一个公共点且 l1 与C2 有2两个公共点 .当l 与1C 只有一个公共点时， A 到 l1 所在直线的距离为 2 ，所以2| k 2 |2k12，故4k 或 k 0 . 经检验，当 k 0 时， l1 与C2 没有公共点；当34k 时， l1 与C2 只有3一个公共点，l 与2C 有两个公共点 .2当l 与2C 只有一个公共点时， A 到 l2 所在直线的距离为 2 ，所以2|k 2 |2k12，故k 0 或4k . 经检

21、验，当 k 0 时， l1 与C2 没有公共点；当34k 时， l2 与 C2 没有公3共点 .综上，所求C 的方程为14y | x| 2 .3理科数学试题 第 8 页（共 9 页）23 解：2 , x 1,（1）当 a 1时， f (x) |x 1| | x 1| ，即 f (x) 2x, 1 x 1,2, x 1.1故不等式 f (x) 1的解集为 x| x .2（2）当 x (0, 1) 时 | x 1| | ax 1| x 成立等价于当 x (0, 1) 时 | ax 1| 1 成立 .若 a 0 ，则当 x (0, 1) 时 |ax 1| 1 ；若 a 0， |ax 1| 1 的解集为0 x 2a，所以2a ，故 0 a 2 .1综上， a 的取值范围为(0,2 .理科数学试题第 9 页（共9 页）