高考理科数学全国I卷试题与答案.docx
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高考理科数学全国I卷试题与答案
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．设
1i
z，则|z|
2i
1i
A．0B．
1
2
C．1D．2
2．已知集合
2
A{x|xx20}，则eA
R
A．{x|1x2}B．{x|1≤x≤2}
C．{x|x1}U{x|x2}D．{x|x≤1}{x|x≥2}
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地
了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收
入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
理科数学试题第1页（共9页）
4．记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3S2S4，a1=2，则a5=
A．12B．10C．10D．12
5．设函数
32
f（x）x（a1）xax.若f（x）为奇函数，则曲线yf（x）在点（0,0）处的
切线方程为
A．y2xB．yxC．y2xD．yx
uur6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB
A．
uuuruuru
31
ABAC
44
B．
uuuruuru
13
ABAC
44
C．
uuuruuru
31
ABAC
44
D．
uuuruuru
13
ABAC
44
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.
圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表
面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧
面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．217B．25
C．3D．2
24
8．设抛物线
C：
y=x的焦点为F，过点（-2,0）且斜率为
uuuruuru
两点，则FM?
FN
2
3
的直线与C交于M，N
A．5B．6C．7D．8
9．已知函数
f（x）
xx
e,0,
≤
lnx,x0,
g（x）f（x）xa.若g（x）存在2个零点，则a的
取值范围是
A．[1,0）B．[0,）C．[1,）D．[1,）
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个
半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所
围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，
此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1p2B．p1p3C．p2p3D．p1p2p3
理科数学试题第2页（共9页）
11．已知双曲线
2
x
21
C：
-y=，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的
3
两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=
A．
3
2
B．3C．23D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方
体所得截面面积的最大值为
A．
33
4
B．
23
3
C．
32
4
D．
3
2
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
x2y20,
≤
13．若x，y满足约束条件xy1≥0,则z3x2y的最大值为.
y0,
≤
14．记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn2an1，则S6.
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的
选法共有种.（用数字填写答案）
16．已知函数f（x）2sinxsin2x，则f（x）的最小值是.
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.
（1）求cosADB；
（2）若DC22，求BC.
18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别
为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折
起，使点C到达点P的位置，且PFBF.
（1）证明：
平面PEF平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
理科数学试题第3页（共9页）
19．（12分）
设椭圆
2
x
21
C：
y的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的
2
坐标为（2,0）.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：
OMAOMB.
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作
检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，
再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为
p（0p1），且各件产品是否为不合格品相互独立.
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0.
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的
p作
0
为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对
每件不合格品支付25元的赔偿费用.
（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为
X，求EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产
品作检验？
21．（12分）
已知函数
1
f（x）xalnx
x
.
（1）讨论f（x）的单调性；
f（x）f（x）
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：
12
xx
12
a2
.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做
的第一题计分。
22．[选修4－4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
22cos30.
（1）求C2的直角坐标方程；
（2）若
C与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
1
23．[选修4－5：
不等式选讲]（10分）
已知f（x）|x1||ax1|.
（1）当a1时，求不等式f（x）1的解集；
（2）若x（0,1）时不等式f（x）x成立，求a的取值范围.
理科数学试题第4页（共9页）
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
1．C2．B3．A4．B5．D6．A
7．B8．D9．C10．A11．B12．A
二、填空题
13．614．6315．1616．
33
2
三、解答题
17．解：
（1）在△ABD中，由正弦定理得
BDAB
sinAsinADB
.
由题设知，52,
sin45sinADB
所以
sin
2
ADB.
5
由题设知，ADB90，所以
223
cosADB1.
255
（2）由题设及
（1）知，
2
cosBDCsinADB.
5
在△BCD中，由余弦定理得
2222cos
BCBDDCBDDCBDC
2582522
2
5
所以BC5.
18．解：
（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.
又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.
理科数学试题第5页（共9页）
（2）作PHEF，垂足为H.由
（1）得，
PH平面ABFD.
uuur
以H为坐标原点，HF
的方向为y轴正方
uuur
向，|BF|
为单位长，建立如图所示的空间直角
坐标系Hxyz.
由
（1）可得，DEPE.又DP2，DE1，
所以PE3.又PF1，EF2，故PEPF.
可得
3
PH，
2
3
EH.
2
则H（0,0,0），
3
P（0,0,）,
2
3
D（1,,0），
2
uuur
DP
33
（1,,）
22
，
uuur
HP
3
（0,0,）
2
为平面
ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为，则
3
uuuruuur
HPDP3
4
sin|uuuruuur|.
4
|HP||DP|3
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为3
4
.
19．解：
（1）由已知得F（1,0），l的方程为x1.
由已知可得，点A的坐标为（1,2）
2
或
2
（1,）
2
.
所以AM的方程为22
yx或
2
2
yx2.
2
（2）当l与x轴重合时，OMAOMB0.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk（x1）（k0），A（x1,y1），B（x2,y2），
则x12，x22，直线MA，MB的斜率之和为
kk
MAMB
yy
12
x12x22
.
由
ykxk，y2kx2k得
11
kk
MAMB
2kxx3k（xx）4k
1212
（x2）（x2）
12
.
理科数学试题第6页（共9页）
将yk（x1）代入
2
x
2
21
y得
2222
（2k1）x4kx2k20.
所以，
22
4k2k2
xx,xx
122122
2k12k1
.
则
333
4k4k12k8k4k
2kxx3k（xx）4k0.
12122
2k1
从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补.所以OMAOMB.
综上，OMAOMB.
20．解：
（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为
2218
f（p）Cp（1p）.因此
20
218217217
f（p）C[2p（1p）18p（1p）]2Cp（1p）（110p）.
2020
令f（p）0，得p0.1.当p（0,0.1）时，f（p）0；当p（0.1,1）时，f（p）0.
所以f（p）的最大值点为p00.1.
（2）由
（1）知，p0.1.
（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知YB（180,0.1），
X20225Y，即X4025Y.
所以EXE（4025Y）4025EY490.
（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于EX400，故应该对余下的产品作检验.
21．解：
（1）f（x）的定义域为（0,），
2
1axax1
f（x）1
22
xxx
.
（ⅰ）若a≤2，则f（）x≤0，当且仅当a2，x1时f（x）0，所以f（x）在（0,）
单调递减.
（ⅱ）若a2，令f（x）0得，
24
aa
x或
2
24
aa
x.
2
当
2424
aaaa
x（0,）U（,）时，f（x）0；
22
当
2424
aaaa
x（,）时，f（x）0.所以f（x）在
22
24
aa
（0,）
2
，
24
aa
（,）
2
单调递减，在
2424
aaaa
（,）
22
单调递增.
理科数学试题第7页（共9页）
（2）由
（1）知，f（x）存在两个极值点当且仅当a2.
由于f（x）的两个极值点
x，x2满足
1
210
xax，所以x1x21，不妨设x1x2，
则x21.由于
f（x）f（x）1lnxlnxlnxlnx2lnx
1212122
1a2a2a
1
xxxxxxxx
12121212
2
x
x
2
，
f（x）f（x）
所以12
xx
12
a2
等价于
1
x
2
x2lnx0
22
.
设函数
1
g（x）x2lnx
x
，由
（1）知，g（x）在（0,）单调递减，又g
（1）0，从
而当x（1,）时，g（x）0.
所以
1
x
2
x2lnx
22
0，即
f（x）f（x）
12
xx
12
a
2
.
22．解：
（1）由xcos，ysin得
C的直角坐标方程为
2
22
（x1）y4.
（2）由
（1）知
C是圆心为A（1,0），半径为2的圆.
2
由题设知，
C是过点B（0,2）且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，
1
y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1
与
C只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有
2
两个公共点.
当
l与
1
C只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以
2
|k2|
2
k
1
2
，故
4
k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当
3
4
k时，l1与C2只有
3
一个公共点，
l与
2
C有两个公共点.
2
当
l与
2
C只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以
2
|k2|
2
k
1
2
，故
k0或
4
k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当
3
4
k时，l2与C2没有公
3
共点.
综上，所求
C的方程为
1
4
y|x|2.
3
理科数学试题第8页（共9页）
23．解：
2,x≤1,
（1）当a1时，f（x）|x1||x1|，即f（x）2x,1x1,
2,x≥1.
1
故不等式f（x）1的解集为
{x|x}.
2
（2）当x（0,1）时|x1||ax1|x成立等价于当x（0,1）时|ax1|1成立.
若a≤0，则当x（0,1）时|ax1|≥1；
若a0，|ax1|1的解集为0x2
a
，所以
2
a
≥，故0a≤2.
1
综上，a的取值范围为（0,2].
理科数学试题第9页（共9页）
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