第17章勾股定理全章导学案.docx

1、第17章勾股定理全章导学案17.1勾股定理学习目标：了解勾股定理的发现过程，会用面积法证明勾股定理并会计算 重点：勾股定理的内容及证明。难点：勾股定理的证明一、 自学导航（阅读课本内容，完成下面内容）1、知识回顾（用学过的知识完成下列填空）1含有一个 的三角形叫做直角三角形。2已知Rt ABC中的两条直角边长分别为a、b ,则 S ABC= 。3已知梯形上下两底分别为a和b,高为（a+ b）,则该梯形的面积为 4在Rt ABC中,已知/ A= 30, / C= 90,直角边BO 1,则斜边A吐 二、 互动冲浪（一）、勾股定理的发现i11.在古代，人们将直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角

2、边叫做股,斜边叫做弦.2.（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?结论1: （3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.3.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为 a、b,斜边为c,那么 4、 在 Rt ABC中，/ C=901若 a=6, b=8,则 c= ;若 a=15, c=25,则 b= ;若 c=61, b=60,则 a= 。（二八勾股定理的验证1.已知：在厶 ABC中, Z C=90，/ A、/ B、/ C 的对边为 a、b、c。求证：a2 b2 c2证明：4SA +S小正= S根据的等量关系：由此我们得出：2.归纳定理：直角三角形两条 的平方和等于 的平方.如果

3、直角三角形的两条直角边分别为 a、b,斜边为c,那么 三、当堂检测注意：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不 论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同 学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角 形.1、 下列说法正确的是( )A.若a、b、c是厶ABC的三边，贝U a2 b2 c2B.若 a、b、c 是 Rt ABC的三边，则 a2 b2 c2C.若 a、b、c 是 Rt ABC的三边， A 90， 则 a2 b2 c2D.若 a、b、c 是 Rt ABC的三边， C 90 ，则 a2 b2 c22、 在 Rt

4、ABC / C=90(1)已知 a=b=5,求 c (2)已知 a=1,c=2,求 b (3)已知 c=17,b=8,求 a3、(1)若一个直角三角形的两直角边分别为 3和4,则第三边的长为多少？(2 )若一个直角三角形的两条边长分别为 3和4,则第三边的长为多少?四、课后练习1、 直角三角形的一直角边长6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为_2、 一个直角三角形的两边长分别为 5cm和12cm,则第三边的为 3、 已知，如图在 ABC中, AB=BC=CA=2，AD是边BC上的高.求 AD的长；厶ABC的面积.4、如图，已知在厶 ABC中, CDLAB于 D, AO20, BO 15,

5、D吐9。 (1)求DC的长。(2)求AB的长。 C5、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。17.1勾股定理（2）学习目标：1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。3经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。4 培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。 重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。1.预习新知1.在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？2直角三角形中哪条边最长？2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长.问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？（2） 一个门

6、框的尺寸如图1所示.1若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？2若薄木板长3米，宽1.5米呢？3若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？课堂展示 例：如图2, 一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离 为2.5米.1求梯子的底端B距墙角O多少米？2如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）.OO BDB D图 2O三随堂练习1.书上P26练习1、22 小明和爸爸妈妈一登香山，他们沿着45度的坡路走了 500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米3.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 3米,则这两株树之

7、间的垂直距离是 米，水平距离是 米。C四.课堂检测1.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定， 两个固定点之间的距离是 。2 .如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路， 后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高 速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价 为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程 费用是多少？B3 .如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C两点, 在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米, / B=60,则江面的宽度为 。4.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至

8、少为 米。5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、两点，PQ=16厘米，且RP丄PQ贝U RQ 厘米。6.如图3,分别以Rt ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用 S勺、S3表示，容易得出 SS2、S3之间有的关系式变式：如图4.图3图417.1勾股定理（3）学习目标：1、 能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上 表示无理数。2、 体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力一、 忆一忆勾股定理的内容 二、 互动冲浪（一）、探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在 数轴上画出表示13的点吗？分析：（1）

9、如果能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示413的点（2）由勾股定理知，长为42的线段是两条直角边都为 的直角三角形的斜 边。长为,13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗?由勾股定理，可以发现，长为 吊的线段是直角边为正整数 、 的直角三角形的斜边。作法：在数轴上找到点A，使OA= ，作直线I垂直于OA在I上取点B，使AB= ，以原点0为圆心，以0B为半径作弧，弧与数轴的交点 C即为表示.13的点。2.在数轴上画出表示.17的点？（尺规作图）（二八想一想1.如图：螺旋状图形是由若干个直角三角形所组成的，其中是直角边长为 1的 等腰直角三角形。那么0A= 0A=0A= , 0A= ,

10、 0A= , 0A= , 0A= , ,0A4 = 一 ,0A= . 思考：利用课本上的方法能找出表 示.6和 280的点吗？我的回答是：、当堂检测1已知直角三角形中30角所对的直角边长是 2 3 cm则另一条直角边的长是A.4cm B. 4 . 3 cm C. 6cm D. 6,3 cm2. ABC中，A吐 15, AC= 13,高 AD= 12,则厶 ABC的周长为( )A . 42 B . 32 C . 42 或 32 D . 37 或 333.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端 7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（ ）4.如图，学校有一块长方

11、形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路” 他们仅仅少走了 步路（假设2步为1 米），却踩伤了花草.5.等腰 ABC勺腰长A吐10cm底BC为16cm则底边上的高为 ，面积为 .学习目标：1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。学习重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。学习难点：勾股定理的逆定理的证明。一、互动冲浪（一）、合作探究1、 怎样判定一个三角形是直角三角形？2.画厶 ABC 使 a= 3, b= 4, c= 5,量出/ C的度数；若改 a= 2.5 , b= 6, c= 6.5，再量出/ C的度数.猜想：如果

12、三角形的三边长 a、b、c,满足a2 b2 c2，那么这个三角形是 三角形这个猜想的题设是： 结论是： 该猜想的 .3、如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 命题.譬如：1原命题：若a= b,则a2= b2； 逆命题： . （正确吗？答 _）2原命题：对顶角相等；逆命题： . （正确吗？答 ）由此可见：原命题正确，它的逆命可能 命题，不正确的命题叫假命题 验证猜想 已知： ABC中, BC + AC= AW;求证：/ C= 90 .证明：作 Rt A B C,使/ C = 90B C= BO a, A C = AO b.通过证

13、明，我发现勾股定理的逆命题是 的，它也是一个 ,我们把它叫做勾股定理的 . （二八回顾与归纳1、 勾股定理是直角三角形的 定理；勾股定理的逆定理是直角三角形的 定理.2、 已知三角形的三边长，判断该三角形是不是直角三角形的步骤是：1先算两条短边的 再算最长边的 ；2把 作比较；3作出 3、 勾股数的特征：是 个 数；满足条件 . 二、当堂检测1、 任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 2、 “两直线平行，内错角相等。”的逆定理是 o3、 一个三角形的三边之比为3; 4: 5,这个三角形的形状是 .4、 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是 .5、 适合下列条件的厶ABC

14、中,直角三角形的个数为（） a -,b -,c1 ；Ja6, Z A=45，； Z A=32), Z B=58；3 45 a 7,b 24, c25;a2, b 2,c 4.A. 2 个；B. 3个；C. 4个；D. 5 个.&三角形的三边长为(a b)2c22ab ,则这个三角形是（）A.等边三角形；B.钝角三角形；C. 直角三角形；D. 锐角三角形.三、课后作业1.叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。如果a3 0,那么a2 0;（）如果三角形有一个角小于90,那么这个三角形是锐角三角形；（）如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； （）2. 在 ABC中, a m2 n2， b=

15、2mr，c m2 n2，则 ABC是 三角形。3. 若三角形的三边是 1、 .3、2;（2）5,7,12 ;32, 42，52 9, 40, 41;则构成的是直角三角形的有（ ）A. 1个B . 2个 C. 3个 D. 0个4.已知：在 ABC中, Z A、/ B、/ C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度， 判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ a=9, b=41, c=40; a=15, b=16, c=6; a=2, b=2 3 , c=4; a=5k, b=12k, c=13k （k 0） o角形.学习目标：1.会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形2.

16、培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。 重点：勾股定理的逆定理难点：勾股定理的逆定理的应用一、自学导航已知：女口图，四边形 ABCD ,AD / BC,AB=4 , BC=6, CD=5, AD=3。求：四边形ABCD的面积。归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形 、互动冲浪1“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小 时后相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿 哪个方向航行吗？i/L AI)3图 18.2-32如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了

17、一些蔬菜，爸爸让小明 计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4 米, BC=3 米, CD=13 米, 已知/ B=90。三、当堂检测1、 若厶 ABC 的三边 a b、c,满足（a b） （a2+ b2 c2） =0,则厶 ABC 是（ ）A 等腰三角形；B.直角三角形；C.等腰三角形或直角三角形；D.等腰直角三角形。2、 小强在操场上向东走80m后，又走了 60m,再走100m回到原地。小强在操场上向东走了 80m后，又走60m的方向是 。3、 若厶ABC的三边a、b、c,满足a： b: c=1: 1: 2，试判断厶ABC的形状。3134、已知：如图，四边形

18、ABCD , AB=1 , BC=3 , CD= 13 , AD=3 , 且 AB 丄BC44求：四边形ABCD的面积。四、课后作业1、已知 ABC的三边为a、b、c,且a+b=4, ab=1, c= . 14，试判定厶ABC的 形状。2、如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上 一点且1EC= BC，求证：/EFA= 90。.4第十七章勾股定理复习学习目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边 .2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.一.复习回顾1.勾股定理：

19、(1)直角三角形两直角边的 和等于 的平方.就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b,斜边为c,那么一定有: . 这就是勾股定理.(2)勾股定理揭示了直角三角形之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的 重要依据.a2 c2 b2,b2 c2 a2,c Ja2 b2 a vc2 b2 ,b vc2 a2J 勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”.通过构造几何图形，并计算图形 面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理.2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为 . ”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的 关

20、系解决角的有关问题提供了新的方法 定理的证明采用了构造法利用已知三 角形的边a,b,c(a 2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理 证明第三边为c,进而通过“ SSS证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1 )已知直角三角形的两边，求第三边；(2 )在数轴上作出表示 山(n为正整数)的点.勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定 理也可用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定 理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角 形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线

21、互相垂直的新方法： 利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.2 2 2(3)三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若a b c，则三角形9 9 9 9 9是直角三角形；若a b c，则三角形是锐角三角形；若a b c，则三 角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边.二.课堂展示例1:如果一个直角三角形的两条边长分别是 6cm和8cm,那么这个三角形的周长和面积分别是多少？例 2:如图，在四边形 ABCD,/ C=90 , AB=13 BC=4 CD=3 AD=12 求证：AD丄BD4.课堂检测当它把绳1 .小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A . 8cmB. 10cmC. 12cmD. 14cm2. 在厶ABC中, Z C= 90，若 a = 5，b= 12,贝U c = 3. 等腰 ABC的面积为12cm2底上的高AD= 3cm,则它的周长为 .4 .等边 ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为 .5. 一个三角形的三边的比为 5 ： 12 ： 13,它的周长为60cm,则它的面积是.