第17章勾股定理全章导学案.docx
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第17章勾股定理全章导学案
17.1勾股定理
学习目标：
了解勾股定理的发现过程，会用面积法证明勾股定理并会计算重点：
勾股定理的内容及证明。
难点：
勾股定理的证明
一、自学导航（阅读课本内容，完成下面内容）
1、知识回顾（用学过的知识完成下列填空）
1含有一个的三角形叫做直角三角形。
2已知Rt△ABC中的两条直角边长分别为a、b,则SABC=。
3已知梯形上下两底分别为a和b,高为（a+b）,则该梯形的面积为
4在Rt△ABC中,已知/A=30°,/C=90°,直角边BO1,则斜边A吐
二、互动冲浪
（一）、勾股定理的发现
i
1
1.
在古代，人们将直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股,
斜边叫做弦.
2.
（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?
结论1:
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？
与同伴交流.
3.猜想命题：
如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么
4、在Rt△ABC中，/C=90
1若a=6,b=8,则c=;②若a=15,c=25,则b=;
③若c=61,b=60,则a=。
（二八勾股定理的验证
1.
已知：
在厶ABC中,ZC=90°，/A、/B、/C的对边为a、b、c。
求证：
a2b2c2
证明：
4SA+S小正=S
根据的等量关系：
由此我们得出：
2.归纳定理：
直角三角形两条的平方和等于的平方.
如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么
三、当堂检测
注意：
在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.
1、下列说法正确的是（）
A.若a、b、c是厶ABC的三边，贝Ua2b2c2
B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2b2c2
C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，A90，则a2b2c2
D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，C90，则a2b2c2
2、在Rt△ABC/C=90°
（1）已知a=b=5,求c
（2）已知a=1,c=2,求b（3）已知c=17,b=8,求a
3、
（1）若一个直角三角形的两直角边分别为3和4,则第三边的长为多少？
（2）若一个直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边的长为多少?
四、课后练习
1、直角三角形的一直角边长6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为_
2、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的为
3、已知，如图在△ABC中,AB=BC=CA=2，AD是边BC上的高.
求①AD的长；②厶ABC的面积.
4、如图，已知在厶ABC中,CDLAB于D,AO20,BO15,D吐9。
（1）求DC的长。
（2）求AB的长。
C
5、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。
17.1勾股定理
（2）
学习目标：
1•会用勾股定理解决简单的实际问题。
2•树立数形结合的思想。
3•经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
4•培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
重点：
勾股定理的应用。
难点：
实际问题向数学问题的转化。
1.预习新知
1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
2直角三角形中哪条边最长？
2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长.
问题
（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？
（2）一个门框的尺寸如图1所示.
1若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
2若薄木板长3米，宽1.5米呢？
3
若薄木板长3米，宽2.2米呢？
为什么？
课堂展示例：
如图2,一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米.
1求梯子的底端B距墙角O多少米？
2如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）.
O
OB
D
BD图2O
三•随堂练习
1.书上P26练习1、2
2•小明和爸爸妈妈^一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵
红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米'
3.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米,
则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离
是米。
C
四.课堂检测
1.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。
2.如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？
B
3.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米,/B=60°,则江面的宽度为。
4.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去
盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。
5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、
两点，PQ=16厘米，且RP丄PQ贝URQ厘米。
6.如图3,分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形,
其面积分别用S「勺、S3表示，容易得出S「S2、S3之间有的关系式
变式：
如图4.
图3
图4
17.1勾股定理（3）
学习目标：
1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。
2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力
一、忆一忆
勾股定理的内容
二、互动冲浪
（一）、探究：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？
分析：
（1）如果能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示413的点
（2）由勾股定理知，长为42的线段是两条直角边都为的直角三角形的斜边。
长为,13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗?
由勾股定理，可以发现，长为吊的线段是直角边为正整数、的直
角三角形的斜边。
作法：
在数轴上找到点A，使OA=，作直线I垂直于OA在I上取点B，
使AB=，以原点0为圆心，以0B为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示
.13的点。
2.在数轴上画出表示.17的点？
（尺规作图）
（二八想一想
1.如图：
螺旋状图形是由若干个直角
三角形所组成的，其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。
那么0A=0A=
0A=,0A=,0A=,0A=,0A=,…,0A4=一…,0A=.思考：
利用课本上的方法能找出表示.6和'280的点吗？
我的回答是：
、当堂检测
1•已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23cm则另一条直角边的长是
A.4cmB.4..3cmC.6cmD.6,3cm
2.^ABC中，A吐15,AC=13,高AD=12,则厶ABC的周长为（）
A.42B.32C.42或32D.37或33
3.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.
如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）
4.
如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开
拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”•他们仅仅
少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.
5.等腰△ABC勺腰长A吐10cm底BC为16cm则底边上的高为，面积
为.
学习目标：
1•体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2•理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点：
掌握勾股定理的逆定理及证明。
学习难点：
勾股定理的逆定理的证明。
一、互动冲浪
（一）、合作探究
1、怎样判定一个三角形是直角三角形？
2.画厶ABC使a=3,b=4,c=5,量出/C的度数；若改a=2.5,b=6,c=6.5，再量出/C的度数.
猜想：
如果三角形的三边长a、b、c,满足a2b2c2，那么这个三角形是
三角形
这个猜想的题设是：
结论是：
该猜想的—.'
3、如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做
命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的命题.譬如：
1原命题：
若a=b,则a2=b2；•逆命题：
.（正确吗？
答_）
2原命题：
对顶角相等；逆命题：
.（正确吗？
答）
由此可见：
原命题正确，它的逆命可能命题，不正确的命题叫假命题验证猜想•…
已知：
△ABC中,BC+AC=AW;
求证：
/C=90°.
证明：
作Rt△AB'C',使/C=90
B'C'=BOa,A'C=AOb.
通过证明，我发现勾股定理的逆命题是的，它也是一个,我们
把它叫做勾股定理的.
（二八回顾与归纳
1、勾股定理是直角三角形的定理；勾股定理的逆定理是直角三角形的定理.
2、已知三角形的三边长，判断该三角形是不是直角三角形的步骤是：
1先算两条短边的再算最长边的；
2把作比较；
3作出」
3、勾股数的特征：
①是个数；
②满足条件.
二、当堂检测
1、任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有
2、“两直线平行，内错角相等。
”的逆定理是o
3、一个三角形的三边之比为3;4:
5,这个三角形的形状是.
4、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是.
5、适合下列条件的厶ABC中,直角三角形的个数为（）
①a-,b-,c
1；
—J
②a
6,ZA=45，；③ZA=32）,ZB=58；
34
5
④a7,b24,c
25;
⑤a
2,b2,c4.
A.2个；B.3
个；
C.4
个；
D.5个.
&三角形的三边长为
（ab）2
c2
2ab,则这个三角形是（）
A.等边三角形；
B.
钝角三角形；
C.直角三角形；D.锐角三角形.
三、课后作业
1.叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。
⑴如果a3>0,那么a2>0;（）
⑵如果三角形有一个角小于90°,那么这个三角形是锐角三角形；（）
⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；（）
2.在△ABC中,am2n2，b=2mr，cm2n2，则△ABC是三角形。
3.若三角形的三边是⑴1、.3、2;
（2）5,7,12;⑶32,42，52⑷9,40,41;
则构成的是直角三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.0个
4.已知：
在△ABC中,ZA、/B、/C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？
并指出那一个角是直角？
⑴a=9,b=41,c=40;⑵a=15,b=16,c=6;
⑶a=2,b=23,c=4;⑷a=5k,b=12k,c=13k（k>0）o
角形.
学习目标：
1.会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形
2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。
重点：
勾股定理的逆定理
难点：
勾股定理的逆定理的应用
一、自学导航
已知：
女口图，四边形ABCD,AD//BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。
求：
四边形ABCD的面积。
归纳：
求不规则图形的面积时，要把不规则图形
、互动冲浪
1•“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”
号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里•如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
i
\
/
/
LA
I）3
图18.2-3
2•如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一卷米
尺，测得AB=4米,BC=3米,CD=13米,已知/B=90°。
三、当堂检测
1、若厶ABC的三边ab、c,满足（a—b）（a2+b2—c2）=0,则厶ABC是（）
A•等腰三角形；
B.直角三角形；
C.等腰三角形或直角三角形；
D.等腰直角三角形。
2、小强在操场上向东走80m后，又走了60m,再走100m回到原地。
小强在操
场上向东走了80m后，又走60m的方向是。
3、若厶ABC的三边a、b、c,满足a：
b:
c=1:
1:
2，试判断厶ABC的形状。
313
4、已知：
如图，四边形ABCD,AB=1,BC=3,CD=13,AD=3,且AB丄BC
44
求：
四边形ABCD的面积。
四、课后作业
1、已知△ABC的三边为a、b、c,且a+b=4,ab=1,c=.14，试判定厶ABC的形状。
2、如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点且
1
EC=—BC，求证：
/EFA=90。
.
4
第十七章勾股定理复习
学习目标
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.
2.勾股定理的应用.
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
重点：
掌握勾股定理及其逆定理.
难点：
理解勾股定理及其逆定理的应用.
一.复习回顾
1.勾股定理：
（1）直角三角形两直角边的和等于的平方.就是说，对于任意的直
角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有:
.这就是勾股定理.
（2）勾股定理揭示了直角三角形—之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据.
a2c2b2,b2c2a2,cJa2b2avc2b2,bvc2a2
J・
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”.通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理.
2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为.”
这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法•定理的证明采用了构造法•利用已知三角形的边a,b,c（a2+b2=c2），先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS证明两个三角形全等，证明定理成立.
3.勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）在数轴上作出表示山（n为正整数）的点.
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：
利
用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.
222
（3）三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若abc，则三角形
99999
是直角三角形；若abc，则三角形是锐角三角形；若abc，则三角形是钝角三角形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边.
二.课堂展示
例1:
如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm,那么这个三角形的周
长和面积分别是多少？
例2:
如图，在四边形ABCD^,/C=90°,AB=13BC=4CD=3AD=12求证：
AD丄BD
4.课堂检测
当它把绳
1.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m
子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）
A.8cm
B.10cm
C.12cm
D.14cm
2.在厶ABC中,ZC=90°，若a=5，b=12,贝Uc=
3.等腰△ABC的面积为12cm2底上的高AD=3cm,则它的周长为.
4.等边△ABC的高为3cm,以AB为边的正方形面积为.
5.一个三角形的三边的比为5：
12：
13,它的周长为60cm,则它的面积是.
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