一元二次方程全章共21课教案人教版.docx

1、一元二次方程全章共21课教案人教版第十二章 一元二次方程第 1 课 一元二次方程一、授课目标1使学生理解并能够掌握整式方程的定义2使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义3使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特别形式二、授课要点、难点要点：一元二次方程的定义难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的鉴识三、授课过程复习提问1什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？2指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？(l)3x+4=l ； (2)6x-5y=7 ；3结合上述相关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”引入新课1方程的分类：经过上面的复习，引导学生答出

2、：学过的几类方程是没学过的方程是x2-70x+825=0 ， x(x+5)=150 这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程”而在整式方程中， “只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程叫做一元二次方程”据此得出复习中学生未学过的方程是(4)一元二次方程： x2-70x+825=0 ， x(x+5)=150 同时指导学生把学过的方程分为两大类：12一元二次方程的一般形式注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程 x(x+5)=150 ，即 x2 +5x=150，可化为： x2+5x-150=0 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都能够化为a

3、x2+bx+c=0(a 0)的形式并称之为一元二次方程的一般形式重申，其中 ax 2，bx，c 分别称为二次项、一次项、常数项； a， b 分别称为二次项系数、一次项系数要特别注意：二次项系数 a 是不等于 0 的实数 (a=0 时，方程化为 bx+c=0 ，不再是二次方程了 ) ； b， c 可为任意实数例 把方程 5x(x+3)=3(x-1)+8 化成一般形式 并写出它的二次项系数、 一次项系数及常数项讲解例题课堂练习 P5-6 1 、 2课堂小结1方程分为两大类：鉴识整式方程与分式方程的要点是看分母中可否含有未知数； 鉴识一元一次方程， 一元二次方程的要点是看方程化为一般形式后，未知数的

4、最高次数是一次仍是二次2一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2，则这样的整式方程称一元二次方程 其一般形式是 ax2+bx+c=0(a 0) ，其中 b，c 均可为任意实数，而 a 不能够够等于零作业：教材中相关习题第 2 课 一元二次方程的解法 ( 一)一、授课目标1使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程2引导学生经过特别情况下的解方程，小结、 归纳出解一元二次方程 ax 2+c=0(a 0，c0) 的方法二、授课要点、难点要点：正确地求出方程的根难点：正确地表示方程的两个根三、授课过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答以下问题，并说明

5、解决问题的依照求以下各式中的 x：1 x2=225； 2 x2 -169=0 ； 3 36x 2=49； 4 4x2-25=0 回答解题过程中的依照解题的依照是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数2即 一般地，若是一个数的平方等于 a(a 0) ，那么这样的数有两个，它们是互为相反数引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课例1 解方程 x 2-4=0 解：先移项，得 x2=4即x1=2，x2=-2 这类解一元二次方程的方法叫做直接开平方法例2 解方程 (x+3) 2=2讲解例 2练习： P7 1 、 2小结1本节主要学习了简单的一元二次方程的解法直接法22

6、直接法适用于 ax +c=0(a 0， c0) 型的一元二次方程作业：习题 12.1A 组 1 、2第 3 课 一元二次方程的解法 ( 二)一、授课目标1使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法2使学生能够运用合适变形的方法，转变方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程并由此领悟转变的思想二、授课要点、难点要点：掌握配方的法规难点：凑配的方法与技巧三、授课过程复习过程用开平方法解以下方程：(1)x 2=441； (2)196x 2-49=0 ；引入新课我们知道，形如 x2-A=0 的方程，可变形为 x2=A(A 0) ，再依照平方根的意义，用直接开平方法求解 那么，我们可否将形如 ax

7、2+bx+c=0(a 0) 的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题新课我们研究方程 x2+6x+7=0 的解法：将方程视为： x2+2 x 3=-7 ， 即 x 2+2 x 3+32=32-7 ， (x+3) 2=2，3这类解一元二次方程的方法叫做配方法 这类方法的特点是： 先把方程的常数项移到方程的右边， 再把左侧配成一个圆满平方式， 若是右边是非负数， 就可以进一步经过直接开平方法来求出它的解例1 解方程 x2-4x-3=0 配方法解之在解的过程中，介绍配方的法规例2 解方程 2x2+3=7x练习： P10 1 、2小结：应用配方法解一元二次方程 ax2+bx+c=0

8、(a 0) 的要点是：(1)化二次项系数为 1；(2)移项，使方程左侧为二次项和一次项，右边为常数；(3)方程两边各加前一次项系数一半的平方；作业：习题 12.1 3第 4 课 一元二次方程的解法 ( 三)一、授课目标1使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的剖析、综合和计算能力2使学生掌握公式法解一元二次方程的方法二、授课要点、难点要点：要修业生正确运用公式解方程难点：求根公式的推导过程三、授课过程复习提问2提问：当 x =c 时， c 0 时方程才有解，为什么？(1)x 2-8x=20 ； (2)2x2-6x-1=0 引入新课我们思虑用配方法解一般形式的一元二次方程

9、，应怎样配方来进行求解？新课2( 引导学生议论 ) 用配方法解一元二次方程 ax +bx+c=0(a 0) 的步骤把常数项移到方程右边，并两边各加前一次项系数的一半的平方，得4(a 0) 的求根公式用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法应用求根公式解一元二次方程的要点在于： (1) 将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0(a 0) ；(2)将各项的系数 a，b， c 代入求根公式例1 解方程 x2-3x+2=0 讲解例 1例2 解方程 2x2+7x=4讲解例 2练习 P14 1小结1本节课我们推导出了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0) 的求根公式，即2要要点让学生注意到应用公式的大

10、前提，即 b -4ac 0作业：习题 12.1A 组 4第 5 课 一元二次方程的解法 ( 四)一、授课目标使学生进一步熟练掌握利用求根公式解一元二次方程的方法二、授课要点、难点要点：用求根公式求一元二次方程的根的方法难点：含有字母参数的一元二次方程的公式解法三、授课过程复习提问51一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 0) 的求根公式是什么？2求根公式成立的前提是什么？引入新课在用求根公式解一元二次方程时，可否会遇到一些特别现象？可看下述几例新课讲解例 3例4 解方程 x2+x-1=0 ( 精确到 0.001)讲解例 4例5 解关于 x 的方程 x 2 -m(3x-2m+n)-n 2=0

11、讲解例 5练习： P14 2小结：2在解含有字母系数的一元二次方程时，应注意化方程为一般形式，确定 b2-4ac 0 后，再用求根公式解之作业 习题 12.1 A 组 5 6第 6 课 一元二次方程的解法 ( 五)一、授课目标使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特其他一元二次方程的方法二、授课要点、难点要点：用因式分解法解一元二次方程难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解三、授课过程复习提问1在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？2方程 x2=4 的解是多少？引入新课2方程 x =4 还有其他解法吗？众所周知，方程 x2=4 还可用公式法解6此法要比开平方法繁冗 本课

12、，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法因式分解法我们仍以方程 x2=4 为例2移项，得 x -4=0 ，2对 x -4 分解因式，得(x+2)(x-2)=0 我们知道： x+2=0 ， x-2=0 即 x 1=-2 ， x2=2由上述过程我们知道： 当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于 0 时，即可解之这类方法叫做因式分解法例 1 解以下方程： (1)x 2-3x-10=0 ；(2)(x+3)(x-1)=5 在讲例 1(1) 时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；讲例 1(2) 时，应突出讲将方程整理成一般形式，今后再分解因式解之例 2 解以下方程：(1)3x(x+2)=5(x

13、+2) ； (2)(3x+1) 2-5=0 在讲本例 (1) 时，要突出讲移项后提取公因式，形成 (x+2)(3x-5)=0 后求解；再利用平方差公式因式分解后求解注意：在讲完例 1、例 2 后，可经过比较来表达因式分解的方法应“因题而宜”例 3 解以下方程：(1)3x 2-16x+5=0 ；(2)3(2x 2-1)=7x 依照教材中的解法介绍，此类题需用十字相乘法解之练习： P20 1 、 2小结对上述三例的解法可做以下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是1将方程化为一般形式；2把方程左侧的二次三项式分解成两个一次式的积； ( 用初一学过的分解方法 )3使每个一次因式等于 0，获取两个一元

14、一次方程；4解所得的两个一元一次方程，获取原方程的两个根作业：习题 12.2 A 组 1第 7 课 一元二次方程的解法 ( 六)一、授课目标使学生进一步牢固掌握一元二次方程的开平方法、配方法、公式法和因式分解法二、授课要点、难点7要点：一元二次方程的四种常见解法的复习难点：选择合适的方法解一元二次方程三、授课过程例 1 解以下方程：讲解例 1例 2 解以下方程：(1)5x(5x-2)=-1 ； (2)(x-2) 2+10(x-2)+16=0 讲解例 2例 3 用合适的方法解以下方程：讲解例 3小结在解一元二次方程时，要注意依照方程的特点，选择合适的方法灵便的解决问题作业 习题 12.2 A 组

15、 2第 8 课 一元二次方程的根的鉴识式 ( 一)一、授课目标1使学生理解并掌握一元二次方程的根的鉴识式2使学生掌握不解方程，运用鉴识式判断一元二次方程根的情况二、授课要点、难点要点：一元二次方程根的鉴识式的应用难点：一元二次方程根的鉴识式的推导三、授课过程复习提问1一元二次方程的一般形式及其根的鉴识式是什么？2用公式法求出以下方程的解：2 2 2(1)3x x 10 0； (2)x 8x 160； (3)2x 6x 5 0经过上述一组题， 让学生回答出： 一元二次方程的根的情况有三种， 即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根8接下来向学生提出问题： 是什么条件决定着一元二次方程

16、的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？可否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要商议的课题 ( 板书籍课标题 )新课2先议论上述三个小题中 b 4ac 的情况与其根的联系再做以下推导：2对任意一元二次方程 ax +bx+c=0(a 0) ，可将其变形为a 0， 4a2 0由此可知 b2 4ac 的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况(1)当 b2 4ac 0 时，方程右边是一个正数(2)当 b2 4ac 0 时，方程右边是 0经过以上议论， 总结出：一元二次方程 ax2 bxc 0 的根的情况可由 b2 4ac 来判断故称 b2 4ac 是一元二次方程 a

17、x2 bx c 0 的根的鉴识式，平时用“”来表示综上所述，一元二次方程ax2 bx c0(a 0)当 0 时，有两个不相等的实数根；当 0 时，有两个相等的实数根；当 0 时，没有实数根反过来也成立注：“”读作“ delta ”例 不解方程，鉴识以下方程根的情况：(1)2x 23x 4 0； (2)16y 2 9 24y； (3)5(x 2 1) 7x 0剖析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“”，确定它的符号情况即可练习： P26 1 2 3小结应用鉴识式解题应注意以下几点：1应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用鉴识式创立条件2不用解方程，只须先求出，确定其符号即可，详尽数

18、值不用然要计算出来3其抗命题也是成立的作业：习题 12.3 A 组 1-49第 9 课 一元二次方程的根的鉴识式 ( 二)一、授课目标经过对含有字母系数方程的根的议论， 培养学生运用一元二次方程根的鉴识式的论证能力和逻辑思想能力培养学生思虑问题的灵便性和严实性二、授课要点、难点要点：牢固掌握根的鉴识式的应用能力难点：利用根的鉴识式进行相关证明三、授课过程复习提问1写出一元二次方程 ax2bx c 0 的根的鉴识式2方程 ax2 bxc 0(a 0) 的根有哪几种情况？怎样判断？引入新课教材中“想一想”提出了以下问题：已知关于 x 的方程2x2-(4k+1)x+2k 2-1=0 ，其中 =-(4

19、k+1)2-4 2(2k 2-1)=16k2+8k+1-16k 2+8=8k+9想一想， 当 k 取什么值时， (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根； (3) 方程没有实数根新课上述问题，实际上是这样一道题目例1 当 k 取什么值时，关于 x 的方程 2x2-(4k+1)x+2k 2-1=0(1)有两个不相等的实数根； (2) 有两个相等实数根； (3) 方程没有实数根讲解例 1例2 求证关于 x 的方程 (k 2 +1)x 2-2kx+(k 2+4)=0 没有实数根剖析：要证明上述方程没有实数根，只须证明其根的鉴识式 0 即可例3 证明关于 x 的方程 (x-1

20、)(x-2)=m 2 有两个不相等的实数根讲解例 3例 4 已知 a， b， c 是 ABC的三边的长，求证方程 a2x2-(a 2+b2-c 2)x+b 2=0 没有实数根讲解例 4练习：1若 m n，求证关于 x 的方程 2x2+2(m+n)x+m2+n2=0 无实数根2求证：关于 x 的方程 x2 +(2m+1)x-m 2+m=0有两个不相等的实数根小结2解决判断一元二次方程 ax +bx+c=0 的方程根的情况应依照以下步骤进行：2用配方法将恒等变形 ( 或变成易于观察其符号的情况 ) ；3判断的符号，得出结论作业：习题 12.3 B 组10第 10 课 一元二次方程的根与系数的关系

21、( 一)一、授课目标1使学生掌握一元二次方程根与系数的关系 ( 即韦达定理 ) ，并学会初步运用2培养学生剖析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力二、授课要点、难点要点：韦达定理的推导和初步运用难点：定理的应用三、授课过程复习提问1一元二次方程 ax 2 bxc 0 的求根公式应怎样表述？2上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？新课一元二次方程 ax2bx c0(a 0) 的两根为由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在以下关系： ( 又称“韦达定理” )若是 ax2 bx c0(a 0) 的两个根是 x1， x2，那么我们再来看二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 px q0 的根与系

22、数的关系得出：若是方程 x2 pxq 0 的两根是 x1，x2，那么 x1 x2 p， x1 x2 q由x 1 x2 p， x1x2q 可知 p (x 1 x2) ，q x1 x2， 方程 x2 px q 0，即 x 2 (x 1 x2)x x1x20这就是说，以两个数 x1， x2 为根的一元二次方程 ( 二次项系数为 1) 是x2 (x 1 x2)x x1 x2 0例1 已知方程 5x2 kx 60 的一个根是 2，求它的另一根及 k 的值讲解例 1练习 P32 1 2小结1本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理2要掌握定理的两个应用：一是不解方程直接求方程的

23、两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值作业：习题 12.4 A 组 111第 11 课 一元二次方程的根与系数的关系 ( 二 )一、授课目标1复习牢固一元二次方程根与系数关系的定理2学习定理的又一应用，即“已知方程，求方程两根的代数式的值”3经过应用定理，培养学生剖析问题和综合运用所学知识解决问题的能力二、授课要点、难点要点：已知方程求关于根的代数式的值难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式三、授课过程复习提问1一元二次方程根与系数关系的定理是什么？2以下各方程两根之和与两根之积各是什么？(1)x 2 3x 18 0； (2)x 25x 4 5；(3)3x 2

24、7x 2 0； (4)2x 23x 0引入新课考虑以下两个问题；1方程 5x2 kx 6 0 两根互为相反数， k 为什么值？2方程 2x2 7xk 0 的两根中有一个根为 0， k 为什么值？我们能够从这两题中看出， 根与系数之间的运算是十分巧妙的 本课我们将深入商议这一问题新课例 2 利用根与系数的关系， 求一元二次方程 2x23x 10 两根的 (1) 平方和； (2) 倒数和在讲此题时，要突出讲使用韦达定理，追求 x2 px q0 中的 p，q 的值例4 已知两个数的和等于 8，积等于 9，求这两个数这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意讲此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方

25、程； (2) 解方程求两根； (3) 得出所欲求的两个数练习： P32 3 、 4、 5小结本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法： (1) 已知方程求两根的各种代数式的值； (2) 已知两根的代数式的值， 构造新方程； (3) 已知两根的和与积， 构造方程， 解方程，求出与根对应的数作业：习题 12.4 A 组 2 、 3、 412第 12 课 二次三项式的因式分解 ( 公式法 )( 一 )一、授课目标1使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系2使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解国式二、授课要点、难点要点：用求根法分解二次三项式难点：方程的同解变形与多项式的恒等变

26、形的差异三、授课过程复习提问解方程： 1 x2-x-6 0； 2 3x2-11x+10 0； 3 4x2+8x-1 0引入新课在解上述方程时，第1，2 题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解而第3 题则只有采用其他方法 此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的 可否存在新的方法能分解二次三项式呢？第3 个方程的求解给我们以启示新课二次三项式 ax2+bx+c(a 0) ，我们已经能够用十字相乘法分解一些简单形式下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法易知，解一元二次方程2 0 时，可将左侧分解因式，即2(x-1)(x-2) 0，2x -6x+4求得其两根 x1 1

27、， x2 2.反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式即，令二次三项式为 0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式详尽方法以下：若是一元二次方程ax2+bx+c 0(a 0) 的两个根是 ax 2-(x 1+x2)x+x 1x2 a(x-x1)(x-x 2) 从而得出以下结论在分解二次三项式 ax2+bx+c 的因式时， 可先用公式求出方程ax2+bx+c=0 的两根 x1，x2，今后写成 ax2+bx+c a(x-x1)(x-x 2) 比方，方程 2x2-6x+4 0 的两根是 x 1， x 212则可将二次三项式分解因式，得2 2(x-1)(x-2) 2x -6x+4例1 把 4x2-5 分解因式讲解例 1练习： P37 1小结：用公式法解决二次三项式的因式分解问题时，其步骤为：22解方程 ( 用求根公式等方法 ) ，得方程两根 x1， x2；3代入 a(x-x 1)(x-x 2) 作业：习题 12.5 A 组 113第 13 课 二次三项式的因式分解