完整版立体几何知识点总结完整版.docx

1、完整版立体几何知识点总结完整版立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。2、 空间两条直线的三种位置关系，并会判定。3、 平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线 平行及角相等的方法。4、 异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范 围，会求异面直线的所成角。5理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘 ；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算 ；掌握空间向量的数量积的定义及

2、其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式 .6了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念 掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型， 会用斜二测法画出它们的直观图7空间平行与垂直关系的论证 8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题 ，进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题9理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转 化法、向量法）对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表

3、示的情况）和距离公式计算距离。【知识络构建】专间儿何体空问点仁n线、平面ft置关系 翅MJL何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳 I吩间儿何体的三视图和吒现图宀VIHI向虽与7口?十 引去十门=；(2)线面垂直丄贯口4(10戊=切0口= 也尹 ,=肪耳C tc：(引面面平行1gur也疗=汽0色=辿9旣=辻豪C;=Ti(4)面面垂亘卫丄口圧丄TUmY=Clo上丢十粘乩-I务=：】.例6、如图，平面 PAC丄平面ABC , ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形， E, F, O分别为PA, PB , AC的中点，AC= 16 , FA= PC = 10.(2)证明：在厶ABO内存在一点 M，使

4、FM丄平面BOE.【方法技巧】1 用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了把几何问题代数化尤其是正方 体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷但是向量法要求计算必须准确无误.(0,0,0)不能作为法向量.2.利用向量法的关键是正确求平面的法向量.赋值时注意其灵活性.注意考点七利用空间向量求角b |=器.1 向量法求异面直线所成的角:若异面直线a, b的方向向量分别为 a, b，异面直线所成的角为 0则cos0=|cosa,2.向量法求线面所成的角:求出平面的法向量n,直线的方向向量 a,设线面所成的角为 0,则sin 0= |cos =3.求出二面角 aI 向量法

5、求二面角:B的两个半平面 a与B的法向量n1, n2,若二面角 a l B所成的角贝U cos 0= |cos n1.|n1 n2|n2 |= |n1|n2|；若二面角a l B所成的角0为钝角,则 cos0= |COSn1, n2 =黑.例7、如图，在四棱锥 P ABCD中，PA丄平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， AB = 2,Z BAD = 60(1)求证：BD丄平面PAC ;若PA= AB,求PB与AC所成角的余弦值；当平面PBC与平面PDC垂直时，求 PA的长.考点八 利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行

6、判断，在解题过程中，往往把 是否存在”问题，转化为 点的坐标是否有解，是否有规定范围的解 ”等，可以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法.例8、如图，在三棱锥 P ABC中，AB= AC, D为BC的中点， P0丄平面 ABC，垂足 O落在线段 AD 上.(1)证明：API BC;(2)在线段AP上是否存在点 M,使得二面角A MC B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.【难点探究】难点一空间几何体的表面积和体积例1、(1) 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A . 48 B. 32+8.17C . 48+8 .17 D. 80某几何体的三视图如图

7、所示，则该几何体的体积为 ( )A. n+ 12C. 9 n+ 42B. 2兀+ 18D. 36 183止视图左猊图侧视图难点二球与多面体俯视图例2、已知球的直径SC= 4, A, B是该球球面上的两点,AB = V3，/ ASC=Z BSC= 30 则棱锥 S ABC 的体积为( )B. 2 .3【解题规律与技巧】【历届高考真题】【2012年高考试题】-、选择题(A)6 (B) 9(C)(D)2.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC= . 2。将沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中。A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.B.存在某个位置，使得

8、直线AB与直线CD垂直.C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.D.对任意位置，三对直线“ AC与 BD”，“ AB与 CD， “ AD与 BC均不垂直3.【2012高考真题新课标理 11】已知三棱锥 S ABC的所有顶点都在球 O的求面上， ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC 2 ；则此棱锥的体积为（ ）(A)f (B)f (c)f (D)于【答案】A【解靳】的外接囲的半径尸=也,点O到面 的距禽片，按二里SC为球O的直径n点到面-胡C的距离为山史此棱锥册仕丰口*盯 1 L 1 占.-56 怎 住.辛毛、为j = $ 扌皮 w 国=” =3选4.【2012高考真题四川

9、理6】下列命题正确的是（A、 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答S1C【解析】扎两直线可能平行，相交，异而故A不正确；民两平百平行或相交；U正确；沁两个平面平行或相交. 5.【2012高考真题四川理10】如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面 内，过点O作平面 的垂线交半球面于点 A，过圆O的 直径CD作平面 成45角的平面与半球面相交， 所得交线上到平面 的距离最大的点为 B，该交线上的

10、一点 P满足 BOP60，贝U A、P两点间的球面距离为（A、 RarccosAC、 RarccosD、西理5】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1 , CA CC1 2CB，则直线BCi与直线ABi夹角的【答案】A 【解析】根据题直，易知平酝期E丄平而叮乂少厶10尸二心一扭从心。尸手由弧长公式易得、朋点间的球面距韶为3TCCO5 .6.【2012高考真题陕4余弦值为（5A.55B.-3D. 3【答案】A.【解析】设 |CB| a，则 |CA|g| 2a , A(2a,0,0), B(0,0,a),G(0,2a,0), Bi(0,2a, a),ABr ( 2a,2a, a),

11、BG (0,2a, a) , cos AB1, BC1AB1 BCr|AB；|BC；|5，故选A.57.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图A . 12 n B.45 n C.57 n D.81 n1所示，则该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题.由几何体的正视图和测视圏均如图1所示知.眞 图下面图为圆柱或直四棱杜，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直縮的三棱柱，A, B, C都 可能是该几何体的1视圏，D不可能量该几何体的俯视圈，囲淘它的正视图上面应为如圈的 矩形-9.【2012高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为【答案】C【解析

12、】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得V V圆锥 V圆柱 3 32 52 - 32 32 5 57 .故选C.10.2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、 大小均相等，那么这个几何体不可以是 （）A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱【答案】D.是等BS直角三角瑕 正方体三视图都杲正方形.可以拄除肚心覘选D.11. 2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为 1, 1, 1, 1,吁2和a，且长为a的棱与长为.2的棱异面，贝U a的取值范围是(D) (1,- 3)(A) (0, ,2) ( B) (0,-3) ( C) (1,.2

13、)【答案】A【解析】因为BE2 2(2)BE , AB 2BF2BE . 2，选 A ,12.2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（D. 60+12 5A. 28+6 5 B. 30+6 5 C. 56+ 12 5【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式，可得:S底10，S后 10，S右10, S左 6.5，因此该几何体表面积13.2012高考真题全国卷理 4】已知

14、正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CCi=2 2 E为CCi的中点,则直线AC1与平面BED的距离为 （）A 2 B ,3 C .2 D 1【答案】D【解析】淳结ACBD交于点0 哇结OE ,因为。卫是中乩 所以OE ACJ且 OE =AC.,所N AC, BDE ,即直绽AC-与平面BED的距禽等于点C到平蔚BED的 距离,过匚傲于&则QF即为所求距离因为底面过长为凸高为2不，所以 3C 1/1 3 OC 近、CE * OE 2 ,所以利用等积法得CF二1 ,选D.、填空1412012高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于 cm

15、3.【答案】i【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形.故体积等于11 2 13 15.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体 ABCDABQ1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A,M与DN所成角的大小是【答案】-7【解柘】本题有两种育法，一、几何法；连S ,则九亠ZXY, LDY,易知D-V-Mlpl/Dp BtUA DN所成角的大小i-s二 坐标滄 建立空间直角坐标系.利用向屋的夹角公式计算得异面亘线斗m与“V所成角的大小是4-题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为16.【2012高考真【答案】38【解析】由三视

16、图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为 2(3 4 4 1 3 1) 2 1 1 2 3817. 2012高考真题山东理14】如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1, E, F分别为线段 AABQ上的点，则三棱锥 D1 EDF的体积为【答勅6【解析】法一=因揃触衽址段七上，所以L车二灯弓 又因为F点在堤段鸟亡上，所以点产到平面DED的距离为1,即/?=!.所法二；使曲特殊点的位亘进行求解*不失一嚴性令E点在川点处，戸点在匚点.处,1

17、8.【2012高考真xDD, - - x丄xl xlx 1 =1 3 2 6题辽宁理16】已知正三棱锥 P ABC，点P，A，B，C都在半径为 3的求面上，若FA，PB， PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为【答案】【解析】因为在正三棱锥 P ABC中,PA, PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，（如图所示），此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P ABC在面ABC上的高。已知球的半径为.3，所以正方体的棱长为 2，可求得正三棱锥 PABC在面 ABC上的高为 亠3，所以球

18、心到截面 ABC的距离为319.【2012高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为【答莉J【解析】因齿半囿面的面积为2才=2仆 所収广=4,即7 =2,即圆谁的母线为i = 1 底面匮的周长2肿三切=，所UAlSffi的庭酝半径y 1所以罔维的高h = JF-J =忑,所以园锥的体和为2R卑=l/T/5 = 才.J_ll 予 -1J j j题上海理14】如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC20.【2012高考真若AD 2c ,且AB BDAC CD 2a，其中a、c为常数，则四面体 ABCD的体积的最大值是A为AD的中点，又2cm，则四棱锥【

19、答案】2c：a2 c2 1。3【解析】过点 A做AE丄BC,垂足为E,连接DE,由AD丄BC可知，BC丄平面ADE ,1 2所以 V Vbade Vcade 1Sade BC=#Sade，3 3当AB=BD=AC=DC= a时，四面体 ABCD的体积最大。过E做EF丄DA，垂足为点 F，已知 EA=ED，所以 ADE为等腰三角形，所以点 E2 2 2 2 2 2 2 2 .AE AB BE a 1 ,二 EF八 AE AF . a c 1 ,1 :2 2 Sade = AD EF = c a c 1 ,222 i o o四面体ABCD体积的最大值Vmax Sade=C-a2 J 1。3321.【2012高考江苏 7】（5分）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB AD 3cm , AA BB1D1D的体积为 cm3.【答案】6-【解析】T摂方体底面肿少是正污略曲7中cn, RD迦上的高是1/2 cm (它也是A-SB.Dfi中関D】D上的高).二四棱锥A-BS.D.D的体积为 1xX/2x2x-72=6, - 22.【2012高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是 .【答案】92【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为 4的直四棱柱，几何体的表面积是 S 2 1 (2 5) 4 (2 5 4 . 42 (5 2)2) 4 92 .23.【20