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完整版立体几何知识点总结完整版
立体几何知识点
【考纲解读】
1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。
2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。
3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。
4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。
5•理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘；了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概
念，掌握空间向量的坐标运算；掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.
6•了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念•掌握棱柱,棱锥的性质，并会灵活应用，掌握球的表
面积、体积公式；能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的
直观图•
7•空间平行与垂直关系的论证•
8.掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题，进一步
掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题
9•理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：
直接法、转化法、向量法）•对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。
【知识络构建】
专间儿何体
空问点仁n线、平面ft置关系
<—翅MJL何体的峯构特征一袞间几何怀的表面锲和体枳—I吩间儿何体的三视图和吒现图
宀VIHI向虽与<体儿何
空何向話的槪念
线性运算
空间向园数呈积
理和坐标运算
【重点知识整合】
1.空间几何体的三视图
（1）正视图：
光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；
（2）侧视图：
光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；
（3）俯视图：
光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图.
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.
2.斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤
（1）建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐标系；
（2）画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的Ox',Oy',使/xOy=45。
（或135°，它们确定的平面
表示水平平面；
（3）画对应图形，在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，且长度保持不变；在已知图形
中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度变为原来的一半；
（4）擦去辅助线，图画好后，要擦去x轴、y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.
3•体积与表面积公式：
1
（1）柱体的体积公式：
V柱Sh;锥体的体积公式：
V锥Sh;
3
台体的体积公式：
V棱台^h（s.SSS）;球的体积公式：
V球4r3.
33
（2）球的表面积公式：
S球4R.
【高频考点突破】
考点一空间几何体与三视图
1.一个物体的三视图的排列规则是：
俯视图放在正视图的
下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度
一样•即长对正、高平齐、宽相等”.
2•画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减
半.
例1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为
ClBi
侧视图
【方法技巧】该类问题主要有两种类型：
一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体•解决该类问
题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系•抓住正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点作出判断
考点二空间几何体的表面积和体积
常见的一些简单几何体的表面积和体积公式:
圆柱的表面积公式：
S=2n2+2nl=2n（r+1）（其中r为底面半径，1为圆柱的高）；
圆锥的表面积公式：
S=n2+nl=n（r+l）（其中r为底面半径，l为母线长）;
圆台的表面积公式：
S=n（2+r2+rl+rl）（其中r和r分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长）;
柱体的体积公式：
V=Sh（S为底面面积，h为咼）;
锥体的体积公式：
1
V=§Sh（S为底面面积，h为咼）;
台体的体积公式：
1
V=3（S'+,SS+S）h（S'、S分别为上、下底面面积，h为高）;
4
球的表面积和体积公式：
s=4nR2,v=3n3（R为球的半径）.
例2、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A.6.3
C.12.'3
D.18/3
【方法技巧】
1.求三棱锥体积时，可多角度地选择方法.如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法.
2.与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量.
3•求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
4•对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理
考点三球与空间几何体的切”接”问题
1长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径.
2.正方体的内切球其棱长为球的直径.
3•正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线.
4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3:
1.
例3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为
正视图侧视图
俯视图
【方法技巧】1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题.
2.若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA=a,PB=b,PC=c,贝U4R2=a2+
b2+c2（r为球半径）.可采用补形”法，构造长方体或正方体的外接球去处理.
考点四空间线线、线面位置关系
（1）线面平行的判定定理：
a?
a,b?
a,a//b?
a//a
⑵线面平行的性质定理：
a//a,a?
3,an3=b?
a//b.
（3）线面垂直的判定定理：
m?
a,n?
a,mnn=P,I丄m,I丄n?
I丄a
（4）线面垂直的性质定理：
a丄a,b丄a?
a//b.
例4、如图，在四面体PABC中，PC丄AB,PA丄BC,点D,E,F,G分别是
棱AP,AC,BC,PB的中点.
（1）求证：
DE//平面BCP;
⑵求证：
四边形DEFG为矩形；
（3）是否存在点Q,至U四面体PABC六条棱的中点的距离相等？
说明理由.
【方法技巧】
1•证明线线平行常用的两种方法：
（1）构造平行四边形；
（2）构造三角形的中位线.
2•证明线面平行常用的两种方法：
（1）转化为线线平行；
（2）转化为面面平行.
3.证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直.而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平
面垂直.
考点五空间面面位置关系
1.面面垂直的判定定理：
a?
a丄a?
a丄3
2.面面垂直的性质定理：
a丄BaCl3=I,a?
a,a丄l?
a丄B
3.面面平行的判定定理：
a?
B,b?
B,aAb=A,a/a,b/a?
allB
4.面面平行的性质定理：
allB,aAy=a,BAy=b?
a//b.
5.面面平行的证明还有其它方法：
1a、b?
a且aAb=A
c、d?
B且cAd=B?
allB,
a/c,bld
（2）a丄aa丄B?
allB
例5、如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,AB=AD,/BAD=60°E,F分别是AP,AD
的中点.求证:
（1）直线EF//平面PCD;
⑵平面BEF丄平面PAD.
【方法技巧】
1.垂直问题的转化方向
面面垂直？
线面垂直？
线线垂直•主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明•具体如下：
（1）证明线线垂直：
①线线垂直的定义；②线面垂直的定义；③勾股定理等平面几何中的有关定理.
（2）证明线面垂直：
①线面垂直的判定定理；②线面垂直的性质定理；③面面垂直的性质定理.
（3）证明面面垂直：
①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.
2.证明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行于另一平面•
考点六利用空丽皇证明位置关系
设直娃「的肓向向量为就=L.Q加门）・平而如月的进向壘分别为产®如Cs）*1
=（CL.I弘Ci）
（1）线而平行匕
正匕口丄110$*=:
］u>7］口?
十引去十°门=；［
（2）线面垂直’
■■丄贯口4"（10戊=切0口］=也尹,=肪耳C］—tc：
（引面面平行1
gur也疗"=汽0色=辿9旣=辻豪C;=>Ti
（4）面面垂亘
卫丄£口圧丄TU>mY=Clo上丢十粘乩-I■务£=：
】.
例6、如图，平面PAC丄平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA,PB,AC的
中点，AC=16,FA=PC=10.
（2）证明：
在厶ABO内存在一点M，使FM丄平面BOE.
【方法技巧】
1•用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了•把几何问题代数化•尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷•但是向量法要求计算必须准确无误.
（0,0,0）不能作为法向量.
2.利用向量法的关键是正确求平面的法向量.赋值时注意其灵活性.注意
考点七利用空间向量求角
b>|=器.
1•向量法求异面直线所成的角:
若异面直线a,b的方向向量分别为a,b，异面直线所成的角为0则cos0=|cos〈a,
2.向量法求线面所成的角:
求出平面的法向量
n,直线的方向向量a,设线面所成的角为0,则sin0=|cos
=£•「
3.
求出二面角a—I—
向量法求二面角:
B的两个半平面a与B的法向量n1,n2,若二面角a—l—B所成的角
贝Ucos0=|cos〈n1.
|n1n2|
n2>|=|n1||n2|；
若二面角a—l—B所成的角0为钝角,
则cos0=—|COS〈n1,n2>=—黑.
例7、如图，在四棱锥P—ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,ZBAD=60°
（1）求证：
BD丄平面PAC;
⑵若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值；
⑶当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
考点八利用空间向量解决探索性问题
利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解
题过程中，往往把是否存在”问题，转化为点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简
单、有效，应善于运用这一方法.
例8、如图，在三棱锥P—ABC中，AB=AC,D为BC的中点，P0丄平面ABC，垂足O落在线段AD上.
（1）证明：
APIBC;
（2）在线段AP上是否存在点M,使得二面角A—MC—B为直二面角？
若存在，求出
AM的长；若不存在，请说
明理由.
【难点探究】
难点一空间几何体的表面积和体积
例1、
（1）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.48B.32+8.17
C.48+8.17D.80
⑵某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A."n+12
C.9n+42
B.2兀+18
D.3618
3
止视图
左［猊图
侧视图
难点二球与多面体
俯视图
例2、已知球的直径
SC=4,A,B是该球球面上的两点,
AB=V3，/ASC=ZBSC=30°则棱锥S—ABC的
体积为（）
B.2.'3
【解题规律与技巧】
•【历届高考真题】
【2012年高考试题】
-、选择题
（A）6（B）9
（C）
（D）
2.【2012高考真题浙江理
10】已知矩形
ABCD，AB=1，BC=.2。
将△沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻
折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线
AC与直线
BD垂直.
B.存在某个位置，使得直线
AB与直线
CD垂直.
C.存在某个位置，使得直线
AD与直线
BC垂直.
D.对任意位置，三对直线
“AC与BD”’，
“AB与CD'，“AD与BC'均不垂直
3.【2012高考真题新课标理11】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正
三角形，SC为球O的直径，且SC2；则此棱锥的体积为（）
（A）f（B）f（c）f（D）于
【答案】A
【解靳】的外接囲的半径尸=也,点O到面的距禽
片
，按」二里SC为球O的直径n点£到面-胡C的距离为山史此棱锥册
仕丰口*盯1L1占.-5^6怎•住.
［辛•毛、为j=—$•扌皮w国=—”—〉‘=—3选
4.【2012高考
真题四川理6】下列命题正确的是（
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答S1C
【解析】扎两直线可能平行，相交，异而故A不正确；民两平百平行或相交；U正确；
沁两个平面平行或相交.5.【2012高考真题
四川理10】如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面内，过点O作平面的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为B，该交线上的一点P满
足BOP
60°，贝UA、P两点间的球面距离为（
A、Rarccos
A
C、Rarccos
D、
西理5】如图,
在空间直角坐标系中有直三棱柱
ABCA1B1C1,CACC12CB，则直线BCi与直线ABi夹角的
【答案】A【解析】根据题直，易知平酝期E丄平而―叮乂少厶10尸二心一扭从心」。
尸
手由弧长公式易得'、朋点间的球面距韶为
3TCCO5.
6.【2012高考真题陕
4
余弦值为（
5
A.
5
「5
B.-
3
D.3
【答案】A.
【解析】设|CB|a，则|CA|g|2a,A（2a,0,0）,B（0,0,a）,G（0,2a,0）,Bi（0,2a,a）,
ABr（2a,2a,a）,BG（0,2a,a）,cosAB1,BC1
AB1BCr
|AB；||BC；|
5
，故选A.
5
7.【2012高考真题湖南理3】某几何体的正视图和侧视图均如图
A.12nB.45nC.57nD.81n
1所示，则该几何体的俯视图不可能是
【答案】D
【解析】本题是组合体的三视图问题.由几何体■的正视图和测视圏均如图1所示知.眞图下面图为圆柱或直四棱杜，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直縮的三棱柱，A,B,C都可能是该几何体的1®视圏，D不可能量该几何体的俯视圈，囲淘它的正视图上面应为如圈的矩形-
9.【2012高考真
题广东理6】某几何体的三视图如图所示，它的体积为
【答案】C
【解析】该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，根据三视图中的数量关系，可得
VV圆锥V圆柱33252-3232557.故选C.
10.[2012高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）
A.球B.三棱柱C.正方形D.圆柱
【答案】D.
是等BS直角三角瑕正方体三视图都杲正方形.可以拄除肚心覘选D.
11.[2012高考真题
重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,吁2和a，且长为a的棱与长为.2的棱异面，贝Ua的取值
范围是
（D）（1,-3）
（A）（0,,2）（B）（0,-3）（C）（1,.2）
【答案】A
【解析】因为BE
22
（2）
BE,AB2BF
2BE.2，选A,
12.[2012高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（
D.60+125
A.28+6'•5B.30+65C.56+125
【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三
视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。
本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,
利用垂直关系和三角形面积公式，可得:
S底10，S后10，S右10,S左6.5，因此该几何体表面积
13.[2012高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CCi=22E为CCi的中点,
则直线AC1与平面BED的距离为（）
A2B,3C.2D1
【答案】D
【解析】淳结AC^BD交于点0哇结OE,因为。
卫是中乩所以OEAC}J且OE=^AC.,所NAC,BDE,即直绽AC-与平面BED的距禽等于点C到平蔚BED的距离,过匚傲于&则QF即为所求距离•因为底面过长为凸高为2不，所以3C—1^/13OC—近、CE—*OE—2,所以利用等积法得CF二1,选D.
、填空
1412012高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图（单位：
cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于cm3.
【答案】i
【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形.故体积等于
1
121
3'
15.【2012高考真题四川理14】如图，在正方体ABCD
ABQ1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则
异面直线A,M与DN所成角的大小是
【答案】-
7
■
【解柘】本题有两种育法，一、几何法；连S,则」九］亠ZXY,LDY,
易知D-V-Mlpl/DpBtUADN所成角的大小i-s二坐标滄建立空间直角
■
坐标系.利用向屋的夹角公式计算得异面亘线斗m与“V所成角的大小是4-
题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
16.【2012高考真
【答案】38
【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为
4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即
为2（344131）211238
17.[2012高考真题山东理14】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA^BQ上的
点，则三棱锥D1EDF的体积为
【答勅
6
【解析】法一=因揃触衽址段七上，所以L车二灯弓又因为F点在堤
段鸟亡上，所以点产到平面DED的距离为1,即/?
=!
.所
法二；使曲特殊点的位亘进行求解*不失一嚴性令E点在川点处，戸点在匚点.处,
18.【2012高考真
xDD,--x丄xlxlx1=—
1326
题辽宁理16】
已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为3的求面上，若FA，
PB，PC两两互相垂直，
则球心到截面
ABC的距离为
【答案】
【解析】
因为在正三棱锥PABC中,
PA,PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体
的一部分，（如图所示），此正方体内接于球,
正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点。
球心到
截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥
PABC在面ABC上的
高。
已知球的半径为.3，所以
正方体的棱长为2，可求得正三棱锥P
ABC在面ABC上的高为亠3，所以球心到截面ABC的距离为
3
19.【2012高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为
2的半圆面，则该圆锥的体积为
【答莉
J
【解析】因齿半囿面的面积为2才=2仆所収广=4,即7=2,即圆谁的母线为
i=1＞底面匮的周长2肿三切=，所UAlSffi的庭酝半径y—1»所以罔维的高
h=JF-J=忑,所以园锥的体和为2R卑=l/T^/5=—才.
J_ll予-"1
Jjj
题上海理14】如图，
AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，
BC
20.【2012高考真
若AD2c,且
ABBD
ACCD2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最
大值是
A
为AD的中点，又
2cm，则四棱锥
【答案】2c：
a2c21。
3
【解析】过点A做AE丄BC,垂足为E,连接DE,由AD丄BC可知，BC丄平面ADE,
12
所以VVbadeVcade1SadeBC=#Sade，
33
当AB=BD=AC=DC=a时，四面体ABCD的体积最大。
过E做EF丄DA，垂足为点F，已知EA=ED，所以△ADE为等腰三角形，所以点E
22222222.
AEABBEa1,二EF八AEAF.ac1,
1:
~22
•••Sade=—ADEF=cac1,
2
22i'oo
•四面体ABCD体积的最大值Vmax—Sade=—C-a2J1。
33
21.【2012高考江苏7】（5分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm,A
ABB1D1D的体积为▲cm3.
【答案】6-
【解析】T摂方体底面肿少是正污略•■•△曲7>中cn,RD迦上的高是
1>/2cm（它也是A-SB.Dfi中関D】D上的高）.二四棱锥A-BS.D.D的体积为1xX/2x2x-72=6,
'-22.【2012高考真
题安徽理12】某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是.
【答案】92
【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，
几何体的表面积是S21（25）4（254.42（52）2）492.
23.【20
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