绵阳市高中届第一次诊断性考试理科数学PDF版含答案.docx

1、绵阳市高中届第一次诊断性考试理科数学PDF版含答案绵阳市高中 2017 级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分ACDBB DBCAC AD二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13e 14 15 2 316 m =- 1 或 m04 5 2三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17解：（1） f (x) = (cos x - sin x)2 - 2sin2 x = 1 - 2sin x cos x - 2sin2 x = cos 2x - sin 2x = T= 2 = ， 22 cos(2x +

2、) ， 4 分 4 即 f (x) 的最小正周期为 . 5 分 y = cos x 的单调递减区间为 2k ， 2k + ，kZ， 由 2k 2x+ 2k + ，kZ，解得 k - x k + 3 ，kZ， 4 8 8 f (x) 的单调递减区间为 k - ， k + 3 ，kZ 7 分（2）由已知 f (x0 )= -1，可得82 cos(2x08+ ) = -1， 10 分 4即 cos(2x0+ ) = - ， 4 2再由 x (-，- ) ，可得 2x (- 7 ，- 3 ) ， 0 2x + = -0 4325 ， 40 + 4 4 4解 得 x0 = - 412 分理科数学答案 第

3、1页（共 6 页）18解：（1） an+2 +an=2an+1 ，n N*，即 an+2 -an+1 =an+1 -an， 数列an 是等差数列. 由 a1 = 1，a4 = a1 +3d = 7 ，解得 a1 = 1，d = 2 ， an =a1 +(n -1)d = 2n -1 . 4 分当 n = 1 时， b1 = 2 ，当 n2 时， b = S - S = 2n+1 - 2 - (2n - 2)n n n-1=2n +1 - 2n = 2 2n - 2n = 2n . 数列b 的通项公式为 b = 2n 8 分n n2n-1（2）由（1）得， cn = 2 + n ，9 分nT =

4、 (2 +1) + (23 + 2) + (25 + 3) + + (22n-1 + n)= (2 + 23 + 25 += 2(1 - 4n ) + n(1 + n) 1 - 4 22n+1 2= 2 - 2 + n + n 12 分 3 219解：（1）在ABC 中，A+B+C=，即 B=-(A+C)， sinB=sin(A+C)，由题意得cosB=sin B+1 3 分两边平方可得 2cos2 B=sin2 B+2sinB+1， 根据 sin2 B+cos2 B=1， 可整理为 3sin2 B+2sinB-1=0，解得 sin B = 1 或 sinB=-1（舍去）5 分3 sin B

5、= 1 6 分3（2）由 C - A = ，且 A + B + C = ，2可得 2A= -2B ，C 为钝角， sin 2 A = cos B ，理科数学答案 第2页（共 6 页）又 b = 3 ，由正弦定理得a sin A= bsin B= c = 3 ，sin C a = 3 3sin A， c = 3 3sin C 又 C 为钝角，由（1）得 cos B = 9 分 ABC 的面积为 S = 1 ac sin B = 1 3 3 sin A 3 3 sin C 12 2 3= 9 sin Asin( + A) = 9 sin Acos A2 2 2= 9 sin 2 A = 9 cos

6、 B = 9 2 2 = 3 2 ，4 4 4 3 2综上所述，ABC 的面积为 3 2 12 分220解：（1）由题意得 f ( x) = ln x + 2 - 4 = 1 - 4 ， 2 分 ln x + 2 ln x + 2由 x1，知 lnx0，于是 lnx+22， 0 1 ln x + 2 1 ，即 -2 -24 ln x + 2 0 ，-1 1 -4 ln x + 2 1，x2 1 ， ln x1x2 = ln x1 + ln x2 = ln x1 + 2 + ln x2 + 2 - 4 8 分= 2 (ln x + 2) + (ln x + 2) ( 4 + 4 ) - 4 3

7、1 2ln x1 + 2ln x2 + 2= 2 8 + 4(ln x2 + 2) + 4(ln x1 + 2) - 43 ln x1 + 2 ln x2 + 2理科数学答案 第3页（共 6 页） 2 (8 + 2 16) - 4 = 20 ， 11 分3 3当且仅当 4(ln x2 + 2) = 4(ln x1 + 2) ，即 x1 =x2 时取“=”，ln x1 + 2 ln x2 + 220故 (x1 x2 )min = e 3 ， f ( x) 在(1，+)上是增函数， f (x x ) = 12 分 1 2 min 13x ex ex21解：（1）由题意得 f (x) = eex (

8、x -1)- 2ax = x(x- 2a) ，令 h(x) = ，x则 h(x) = 2 分x2 当 0x1 时，得 h(x) 1 时，得 h(x) 0，此时 h(x) 单调递增，且 x+， h(x) +， h(x) min =h(1)=e当 2ae，即 a e 时， f (x) 0，于是 f (x) 在(0，+)上是增函数，2从而 f (x) 在(0，+)上无极值当 2ae，即 a e 时，存在 0x1 10， f (x) 在(0，x1 )上是单调递增； 当 x(x1 ，x2 )时， f (x) 0， f (x) 在(x1 ，x2 )上是单调递减；当 x(x2 ，+)时， f (x) e 6

9、 分2（2）要证 f(x)ax(lnx-x)即等价于证明 ex axlnx当 01，axlnx0，显然成立； 7 分当 x1 时，则 xlnx0，结合已知 0a e2，可得 0 e22ex-2xlnx，即证明- ln x 0 8 分x2ex-2令 g(x) = - ln x，x 1，x 2ex-2 (x -1) - x则 g (x) = ，x2令 h(x) = 2ex-2 (x -1) - x ，则 h(x) = 2xex-2 -1 ，易得 h(x) 在 (0，+ ) 上单调递增. h(1)= 2 -1 0 ，e存在 x (1，2) 使得 h(x )=0 ，即 2x ex0 -2 =1.0 0

10、 0 h(x) 在区间(1， x0 )上单调递减，在区间( x0 ， + )上单调递增， 10 分又 h(1)= -1 0，h(2)=0 ， 当 x (1，2) 时， g(x) 0 ， g (x) 单调递增， g (x) g (2) =1-ln20，故 g(x)0，问题得证 12 分22解：（1）由题意得 x2 + y2 = (cos +3 sin)2 + (sin -3 cos)2 = 4 ， 曲线 C 的普通方程为 x2 + y2 = 4 2 分 x = cos ， y = sin ， 代入可得曲线 C 的极坐标方程为 = 2 5 分（2）把 = 3代入 cos( - )=3 中，6可得

11、cos( - )=3，3 6理科数学答案 第5页（共 6 页）解得 = 2 ，即 B 点的极径 B = 2 ，由（1）易得 A =2， |AB|=| A - B |= 2-2 10 分23解：（1）当 m=2 时，f(x)=x-2+x+1-5 当 x-1 时， f (x) = -(x - 2) - (x +1) - 5 0 ，解 得 x-2； 1 分当-1x f (x) ，所以当 m 0 时，两个函数有唯一交点。当 m = 0时，显然唯一零点。当 m 0 时，两个函数有唯一交点当且仅当 g (1) = mh(1) ，即1 1m = - ，综上： m = - 或 m 0 。2 221. 已知函数

12、 f (x) = ex - ax2 , a R, x (0, +) 。（1）若 f (x) 存在极小值，求实数 a 的取值范围；2（2）若0 ax(ln x - x) 。2x exex (x -1)ex【解析】（1） f (x) = e- 2ax = x(- 2a) ，令 g (x) = - 2a ，则 g (x) = ，x x x所以 g (x) 在(0,1) 单减，在(1, +) 单增，则 g (x)min = g (1) = e - 2a ， 注意到当 x 0 时， g (x) + ，当 x 0 时， g (x) + ，若 f (x) 存在极小值，则 g (x)min = e - 2a

13、2 。（2）原不等式等价于ex ax ln x ，当 x (0,1) 时，有ex 0 ax ln x ；当 x (1, +) 时，有 x ln x 0，1 x ln xx ln x1+ ln x - x ln x法一：（分离参数）下面证明： ，令m(x) = ，则 m (x) = ，a ex ex ex1令 n(x) = 1+ ln x - x ln x ，则 n (x) = -1- ln x 0, n(e) 0 ， 所以 n(x) 有唯一零点， 记为 x0 ，x0 (2, e)，且 x0 ln x0 = 1 + ln x0 。故 m(x) 在(1, x ) 单减，在(x , +) 单增，所以

14、 m(x)= x0 ln x0= 1 + ln x0 , x (2, e) ，0 0 max1 -1 - ln x ex0ex0 0令 u(x) = 1 + ln x , x (2, e) ， 则 u (x) = xex exu(x) u(2) = 1 + ln 2 2 1 。 0 ， 从而 u(x) 在 (2, e) 单减， 有e2 e2 ae2 e2法二：（参数放缩）因为0 0 ，所以(x) 在 (1, +) 单增，因为(1) 0 ，所以(x) 有唯一零点，记为 x0 ，x0 (1, 2) ，且 2x0ex0 -2 = 1。故(x) 在(1, x0 ) 单减，在(x0 , +) 单增，因为(1) 0,(x0 ) 0 。