绵阳市高中届第一次诊断性考试理科数学PDF版含答案.docx

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绵阳市高中届第一次诊断性考试理科数学PDF版含答案

绵阳市高中2017级第一次诊断性考试

理科数学参考答案及评分意见

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．

ACDBBDBCACAD

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．e14．π15．23

16．m=-1或m≥0

452

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．

17．解：

（1）f（x）=（cosx-sinx）2-2sin2x

=1-2sinxcosx-2sin2x

=cos2x-sin2x

=

∴T=2π=π，

2

2cos（2x+π），……………………………………………4分

4

即f（x）的最小正周期为π.……………………………………………………5分

∵y=cosx的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π]，k∈Z，

∴由2kπ≤2x+π≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ-π≤x≤kπ+3π，k∈Z，

488

∴f（x）的单调递减区间为[kπ-π，kπ+3π]，k∈Z．……………………7分

（2）由已知f（x0）=-1，可得

8

2cos（2x0

8

+π）=-1，………………………10分

4

即cos（2x0

+π）=-，

42

再由x∈（-π，-π），可得2xπ

（-7π，-3π），

0

∴2x+π=-

04

3π

2

5π，

4

0+4∈44

解得x0=-4

．………………………………………………………………12分

理科数学答案第1页（共6页）

18．解：

（1）∵an+2+an=2an+1，n∈N*，即an+2-an+1=an+1-an，

∴数列{an}是等差数列.

由a1=1，a4=a1+3d=7，解得a1=1，d=2，

∴an=a1+（n-1）d=2n-1.………………………………………………………4分当n=1时，b1=2，

当n≥2时，b=S-S=2n+1-2-（2n-2）

nnn-1

=2n+1-2n=2⨯2n-2n=2n.

∴数列{b}的通项公式为b=2n．……………………………………………8分

nn

2n-1

（2）由

（1）得，cn=2+n，………………………………………………9分

n

T=（2+1）+（23+2）+（25+3）++（22n-1+n）

=（2+23+25+

=2（1-4n）+n（1+n）1-42

2n+12

=2-2+n+n

．……………………………………………………12分

32

19．解：

（1）在△ABC中，A+B+C=π，即B=π-（A+C），

∴sinB=sin（A+C），

由题意得

cosB=sinB+1．…………………………………………………3分

两边平方可得2cos2B=sin2B+2sinB+1，根据sin2B+cos2B=1，

可整理为3sin2B+2sinB-1=0，

解得sinB=1或sinB=-1（舍去）．……………………………………………5分

3

∴sinB=1．……………………………………………………………………6分

3

（2）由C-A=π，且A+B+C=π，

2

可得2A

=π-

2

B，C为钝角，

∴sin2A=cosB，

理科数学答案第2页（共6页）

又b=3，

由正弦定理得

a

sinA

=b

sinB

=c=3，

sinC

∴a=33sinA，c=33sinC．

又C为钝角，由

（1）得cosB=．………………………………………9分

∴△ABC的面积为S=1acsinB=1⨯33sinA⨯33sinC⨯1

223

=9sinAsin（π+A）=9sinAcosA

222

=9sin2A=9cosB=9⨯22=32，

44432

综上所述，△ABC的面积为32．…………………………………………12分

2

20．解：

（1）由题意得f（x）=lnx+2-4=1-4

，………………………2分

lnx+2lnx+2

由x≥1，知lnx≥0，于是lnx+2≥2，

∴0<

1

lnx+2

≤1，即-2≤-

2

4

lnx+2

<0，

∴-1≤1-

4

lnx+2

<1，

∴f（x）的值域为[-1，1）．……………………………………………………5分

（2）f（x）+f（x）=1-

4+1-4=1，

lnx1+2lnx2+22

所以+

lnx1+2

4

lnx2+2

=3．

2

又x1>1，x2>1，

∴lnx1x2=lnx1+lnx2=lnx1+2+lnx2+2-4………………………………8分

=2[（lnx+2）+（lnx

+2）]⋅（4+

4）-4

312

lnx1+2

lnx2+2

=2[8+4（lnx2+2）+4（lnx1+2）

]-4

3lnx1+2lnx2+2

理科数学答案第3页（共6页）

≥2（8+216）-4=20，……………………………………………11分

33

当且仅当4（lnx2+2）=4（lnx1+2），即x1=x2时取“=”，

lnx1+2lnx2+2

20

故（x1x2）min=e3，

∵f（x）在（1，+∞）上是增函数，

∴f（xx）=．…………………………………………………………12分

12min13

xexex

21．解：

（1）由题意得f'（x）=e

ex（x-1）

-

2ax=x（

x

-2a），令h（x）=，

x

则h'（x）=．……………………………………………………………2分

x2

∴当01时，得h'（x）>0，此时h（x）单调递增，且x→+∞，h（x）→+∞，

∴h（x）min=h

（1）=e．

①当2a≤e，即a≤e时，f'（x）≥0，于是f（x）在（0，+∞）上是增函数，

2

从而f（x）在（0，+∞）上无极值．

②当2a>e，即a>e时，存在0

212

且当x∈（0，x1）时，f'（x）>0，f（x）在（0，x1）上是单调递增；当x∈（x1，x2）时，f'（x）<0，f（x）在（x1，x2）上是单调递减；

当x∈（x2，+∞）时，f'（x）<0，f（x）在（x2，+∞）上是单调递增，故x2是f（x）在（0，+∞）上的极小值．

综上，a>e．…………………………………………………………………6分

2

（2）要证f（x）>ax（lnx-x）即等价于证明ex>axlnx．

①当01，axlnx≤0，

显然成立；………………………………………………………………………7分

②当x>1时，则xlnx>0，

结合已知0

2

，可得0

2

xlnx．

理科数学答案第4页（共6页）

2

于是问题转化为证明ex>e

2

2ex-2

xlnx，

即证明

-lnx>0．…………………………………………………………8分

x

2ex-2

令g（x）=-lnx，x>1，

x

'2ex-2（x-1）-x

则g（x）=，

x2

令h（x）=2ex-2（x-1）-x，

则h'（x）=2xex-2-1，

易得h'（x）在（0，+∞）上单调递增.

∵h'

（1）=2-1<0，h'

（2）=3>0，

e

∴存在x∈（1，2）使得h'（x）=0，即2xex0-2=1.

000

∴h（x）在区间（1，x0）上单调递减，

在区间（x0，+∞）上单调递增，………………………………………10分又h

（1）=-1<0，h

（2）=0，

∴当x∈（1，2）时，g'（x）<0，g（x）单调递减，

当x∈（2，+∞）时，g'（x）>0，g（x）单调递增，

∴g（x）≥g

（2）=1-ln2>0，

故g（x）>0，问题得证．……………………………………………………12分

22．解：

（1）由题意得x2+y2=（cosα+

3sinα）2+（sinα-

3cosα）2=4，

∴曲线C的普通方程为x2+y2=4．…………………………………………2分

∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，

∴代入可得曲线C的极坐标方程为ρ=2．………………………………5分

（2）把θ=π

3

代入ρcos（θ-）=3中，

6

可得ρcos（

π-π）=3，

36

理科数学答案第5页（共6页）

解得ρ=2，

即B点的极径ρB=2，由

（1）易得ρA=2，

∴|AB|=|ρA-ρB|=2

-2．………………………………………………10分

23．解：

（1）当m=2时，f（x）=︱x-2︱+︱x+1︱-5．当x≤-1时，f（x）=-（x-2）-（x+1）-5≥0，

解得x≤-2；……………………………………………………………………1分当-1

无解．……………………………………………………………………………3分当x≥2时，f（x）=x-2+x+1-5≥0，

解得x≥3；……………………………………………………………………4分综上，原不等式的解集为（-∞，-2][3，+∞）．………………………………5分

（2）∵f（x）=|x-m|+|x+1|-5≥|（x-m）-（x+1）|-5

=|m+1|-5≥-2，

∴|m+1|≥3，…………………………………………………………………8分

∴m+1≥3或m+1≤-3，即m≥2或m≤-4，

∴实数m的取值范围是（-∞，-4][2，+∞）．……………………………10分

理科数学答案第6页（共6页）

2020届绵阳一诊参数处理的全面考查

16.若函数f（x）=1x2+m（lnx-x）-x只有一个零点，则实数m的取值范围为

2

【解析】（半分离）由f（x）=0，得1（x2-2x）=m（x-lnx），

2

令g（x）=1（x2-2x）,h（x）=x-lnx，则g（x）,h（x）在（0,1）单减，在（1,+∞）单增。

2

所以g（x）min=g

（1）=-2,h（x）min=h

（1）=1，

注意到x→+∞,g（x）>f（x），所以当m>0时，两个函数有唯一交点。

当m=0时，显然唯一零点。

当m<0时，两个函数有唯一交点当且仅当g

（1）=mh

（1），即

11

m=-，综上：

m=-或m≥0。

22

21.已知函数f（x）=ex-ax2,a∈R,x∈（0,+∞）。

（1）若f（x）存在极小值，求实数a的取值范围；

2

（2）若0

f（x）>ax（lnx-x）。

2

xex

ex（x-1）ex

【解析】

（1）f'（x）=e

-

2ax=x（

-2a），令g（x）=-2a，则g'（x）=，

xxx

所以g（x）在（0,1）单减，在（1,+∞）单增，则g（x）min=g

（1）=e-2a，注意到当x→0时，g（x）→+∞，当x→0时，g（x）→+∞，

若f（x）存在极小值，则g（x）min=e-2a<0，即a>2。

（2）原不等式等价于ex>axlnx，

①当x∈（0,1）时，有ex>0>axlnx；

②当x∈（1,+∞）时，有xlnx>0，

1xlnx

xlnx

1+lnx-xlnx

法一：

（分离参数）下面证明：

>，令m（x）=，则m'（x）=，

aexexex

1

令n（x）=1+lnx-xlnx，则n'（x）=-1-lnx<0,x∈（1,+∞），

x

所以n（x）在（1,+∞）单减，因为n

（2）>0,n（e）<0，所以n（x）有唯一零点，记为x0，

x0∈（2,e），且x0lnx0=1+lnx0。

故m（x）在（1,x）单减，在（x,+∞）单增，所以m（x）

=x0lnx0

=1+lnx0,x

∈（2,e），

00max

1-1-lnx

ex0

ex00

令u（x）=1+lnx,x∈（2,e），则u'（x）=x

exex

u（x）≤u

（2）=1+ln2<2≤1。

<0，从而u（x）在（2,e）单减，有

e2e2a

e2e2

法二：

（参数放缩）因为0

2

xlnx。

2

下面证明：

e

x≥e2

2

xlnx，即

2ex-2

x

-lnx≥0，∀x≥1。

2ex-2

2ex-2（x-1）-x

令h（x）=-lnx，则h'（x）=，

xx2

令ϕ（x）=2ex-2（x-1）-x，则ϕ'（x）=2xex-2-1，ϕ''（x）=2（x+1）ex-2>0，

所以ϕ'（x）在（1,+∞）单增，因为ϕ'

（1）<0,ϕ'

（2）>0，所以ϕ'（x）有唯一零点，记为x0，

x0∈（1,2），且2x0ex0-2=1。

故ϕ（x）在（1,x0）单减，在（x0,+∞）单增，

因为ϕ

（1）<0,ϕ（x0）<ϕ

（2）=0，所以h（x）在（1,2）单减，在（2,+∞）单增，从而h（x）min=h

（2）=1-ln2>0。