完整版函数的周期性练习题兼答案.docx

1、完整版函数的周期性练习题兼答案X,使f(X T) f (x)恒成立函数周期性分类解析1.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。2.重要结论1、 f x f x a，则y f x是以T a为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期3、若函数fxa f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a0)则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期f x15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= (a0)则f(x)为周期函数且2a是它

2、的一个周f x期。6 f(x a) 1 f(x)，则f x是以T 2a为周期的周期函数.1 f(x)7、f(x a)吃，则fx是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1一型(x R, a0)则f(x)为周期函数且4a是它的 1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(ba都对称，则f(x)为周期函数且2(b-a) 是它的一个周期。10、 函数y f (x) x R的图象关于两点A a,y0、B b,y0 a b都对称，则函数f(x)是以2 b a为周期的周期函数；11、 函数y f(x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a

3、 b都对称，则函数f(x)是以4 b a为周期的周期函数；12、 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期13、 若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4 a是它的一 个周期。14、 若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)a0)则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。15、 若奇函数 y=f(x)满足 f(x+T)=f(xXx R, Tm 0),则 f(T)=0.函数的周期性练习题高一一选择题(共15小题)1 .定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (- x) = - f (x), f (x

4、- 2) =f (x+2)且 x (-1, 0)时，f (x) =2x+ ,则 f (Iog220)=( )A . 1 B . C . - 1 D .-552.设偶函数f (x)对任意xR,都有f (x+3) = - ，且当x - 3,- 2f时，f (x) =4x，则 f (107.5) = ( ) A . 10 B.丄 C.- 10 D .-丄10 103. 设偶函数f (x)对任意xR都有f (x)=- - 且当x - 3,- 2时ff 3J(x) =4x，则 f (119.5) = ( ) A . 10 B.- 10 C.丄 D .丄10 104.若f (x)是R上周期为5的奇函数，且

5、满足f (1) =1, f (2) =3,则f (8)-f (4)的值为( )A. - 1 B . 1 C.- 2 D . 25.已知f (x)是定义在R上周期为4的奇函数，当x ( 0, 2时，f (x) =2x+log2x,则 f (2015) = ( ) A . - 2 B . - C . 2 D . 5 6 .设f (x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(-21/7-2/-1i2, 1上的图象，贝U f (2014) +f (2015) = ( ) |丁A . 3 B . 2 C . 1 D . 0 二 7.已知f (x)是定义在R上的偶函数，并满足： 一一f (

6、我)二-一 ,当 2 強 W, f (x) =x,则 f (5.5) r =f 一 J一一一.( )A . 5.5B . - 5.5 C . - 2.5 D . 2.5 8.奇函数 f (x)满足 f (x+2) =-f (x),当 x (0, 1)时，f (x) =3x4，则f (log354)=( )A . -2 B.-舟C . + D. 2& 69.定义在R上的函数f (x)满足f (- x) +f (x) =0,且周期是4,若f (1)=5,则 f (2015) ( ) A . 5 B . - 5 C . 0 D . 310 . f (x)对于任意实数x满足条件f (x+2) = 1

7、，若f (1) =-5,贝Uf IxJf (f (5) = ( ) A . - 5B .-_ 15C 二D . 511 .已知定义在R上的函数f (x)满足f(x+5)=f (x - 5),且0強屿时，f (x)=4 - x，则 f (1003)=( )A.-1 B . 0C . 1 D . 212 函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0喊V 2时f (x) =x2 - x, 则函数y=f (x)的图象在区间0, 6上与x轴的交点个数为( )A. 6 B. 7 C. 8 D. 913.已知函数f (x)是定义在(-3 + 上的奇函数，若对于任意的实数x刃, 都有 f (x+2) =f

8、 (x),且当 x 0, 2)时,f (x) =log2 (x+1),则 f (2014) +f(-2015) +f (2016)的值为( )A . - 1 B.- 2 C . 2 D. 114.已知f (x)是定义在R上且周期为3的函数，当x 0, 3)时，f (x) =|2x2 -4x+1|,则方程 f (x)=丄在-3, 4解的个数( )A . 4B. 8C. 9 D . 1015.已知最小正周期为2的函数f (x)在区间-1, 1上的解析式是f (x) =x2, 则函数f (x)在实数集R上的图象与函数y=g (x) =|log5x|的图象的交点的个数 是( )A. 3 B. 4 C.

9、 5 D. 6二 .填空题(共10小题)16.已知定义在R上的函数f (x),满足f (1)二，且对任意的x都有f (x+3)= -，则 f (2014) = .- f (真丿17.若y=f (x)是定义在R上周期为2的周期函数，且f (x)是偶函数，当x 0,1时，f (x) =2x- 1,则函数 g (x) =f (x)- Iog5|x|的零点个数为 .Tlogo (8 - x) ,18.定义在R上的函数f (x)满足f (x)，则 (x-O -f (m-2) , K0f (2013)的值为 .19. 定义在R上的函数f (x)的图象关于点(-三，0)对称，且满足f (x)=4-f (x+

10、土), f (1) =1, f (0) =- 2,则 f (1) +f (2) +f (3) +-+f (2010) 的值为= .20.定义在R上的函数f (x)满足:f (对，当x (0, 4)时，1+f I kJf (x) =x2 - 1,则 f (2011) = .21.定义在R上的函数f (x)满足f (x+6) =f (x).当-3喊V- 1时，f (x)= -(x+2) 2,当-1 強V3 时，f (x) =x .贝Uf (1) +f (2) +f (3) +-+f (2012) = .22.若函数f (x)是周期为5的奇函数，且满足f (1) =1, f (2) =2，则f (8

11、) -f (14) = .23.设f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f (2) 1, f (2014)则实数a的取值范围是24.设f (x )是周期为2的奇函数，当0喊勻时，f (x) =2x (1 - x),则 Ifsinx, nn TT25若 f(x+2 )= ，、 一 ，则 f(斗+2)?f(- 14)= .log2 - s) p 尺QL 43.解答题(共5小题)26.设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数 x恒有f (x+2) = - f (x), 当x q0，2时，f (x) =2x - x2 (1)求证：f (x)是周期函数；(2)当x 2，4时，求f (x)的

12、解析式；(3)计算:f (0) +f (1) +f (2) + -+f (2004).27.函数f (x)是以2为周期的偶函数，且当x如，1时，f (x) =3x- 1.(1)求f (x)在-1, 0上的解析式；(2) 求f 的值.328.已知定义域为R的函数f (x)为奇函数，且满足f (x+4) =f (x)， 当 x q0，1时，f (x) =2x- 1.(1)求f (x)在-1, 0) 上的解析式；(2) 求 f 24)的值.3,且 x 0，1时，f (x)I29.已知函数f (x)既是奇函数又是周期函数，周期为 =x2 - x+2，求 f (-2014)的值.30定义在R上的奇函数f

13、 (x)有最小正周期2, 且当 x (0, 1)时，f (x) =2x+2x.(1)求f (x)在-1, 0) 上的解析式；(2)判断f (x)在(-2,- 1) 上的单调性，并给予证明.函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析 一选择题(共15小题)1.【解答】解：定义在R上的函数f (x)满足f (- x) =-f (x), 函数f (x)为奇函数又 f (x - 2) =f (x+2)函数f (x)为周期为4是周期函数又 T Iog232 Iog220 Iog2l6 4v Iog220v 5 f (Iog220) =f (Iog220 - 4) =f (logQ) = - f (-log

14、Q) = - f (logi)又 x (- 1, 0)时，f (x) f (険)=12【解答】解：因为 f( x+3) = -.，故有 f(x+6 ) = - . =- =ff IxJ f t- 一f G)(x).函数f (x)是以6为周期的函数.(6X17+5.5) =f (5.5)=-=-1 .14X i5) 10f (107.5) =f故选B3.【解答】解：函数f (x)对任意xR都有f (x)=-1f (x-3), f (x+3)则 f (x+6)即函数f (x)的周期为6, f (119.5) =f (20X5-0.5) =f (- 0.5)=-又偶函数f (x),当 x - 3,-

15、 2时，有 f (x) =4x,1 f (119.5)=-f (2.5) f ( - 2. 5)11f ( - 0.訐3)f(2.5)111i.故选：4X ( -2. 5)=10C.4.【解答】解：f (x)是R上周期为5的奇函数，f (- x) = - f (x), f (1) = - f (- 1),可得 f (- 1) =-f (1) =- 1, 因为 f (2) =-f (2),可得 f (- 2) = - f (2) =-3,f (8) =f (8- 5) =f (3) =f (3- 5) =f (-2) =-3, f (4) =f (4 - 5) =f (- 1) = - 1,f

16、(8)- f (4) =- 3-( - 1) =-2,故选 C;5.【解答】解：tf (x)的周期为4, 2015=4X504- 1, f (2015) =f (- 1),又f (x)是定义在R上的奇函数，所以 f (2015) =-f (1) =-21 - log2l=- 2,故选:A.6【解答】解：由图象知f (1) =1, f (- 1) =2, f (x)是定义在R上的周期为3的周期函数， f (2014) +f (2015) =f (1) +f (- 1) =1+2=3,故选：A7.【解答】解:(x)f (x+4) =f (x),即函数f (x)的一个周期为4 f (5.5) =f

17、(1.5+4) =f (1.5) f (x)是定义在R上的偶函数 f (5.5) =f (1.5) =f (- 1.5) =f (- 1.5+4) =f (2.5)/ 当 2x6+4) =f (4)=f (1+3) = = - 5 故答案为：-517【解答】解：当x 0, 1时，f (x) =2x- 1,函数y=f (x)的周期为2,x - 1, 0时，f (x) =2-x- 1,可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数 y=log5|x|.函数y=g (x)的零点，即为函数图象交点横坐标，当x 5时，y=log5|x| 1,此时函数图象无交点，如图：又两函数在x 0上有4个交点，由对称性知

18、它们在x v 0上也有4个交点，且它 们关于直线y轴对称，可得函数g (x) =f (x) - log5|x|的零点个数为8；故答案为8；f (x+1) =f (x) - f (x 1) =f (x - 1)- f (x - 2)- f (x - 1), f (x+1) =- f (x-2),即 f (x+3) = - f (x),f (x+6) =f (x),即当x0时，函数的周期是6.f (2013) =f (3356+3) =f (3) =-f (0) =- log2 (8-0) =- log28=- 3, 故答案为：-3.19.【解答】解：由f(x) =- f (x+一)得f=f (x

19、).所以可得f (x)是最小正周期T=3的周期函数；由f (x)的图象关于点(-仝，0)对称，知(x, y)的对称点是(-卫-x,- 4 2而已知f (x) =-f今以x代x+一，得fy).即若 y=f (x),则必-y=f (-弓-x)，或 y= - f (-专-x).(-x) =f (x),故知f (x)又是R上的偶函数.于是有：f (1) =f (- 1)=1; f (2) =f (2-3) =f (- 1) =1; f (3) =f (0+3)=f (0) = - 2 ； f (1) +f (2) +f (3) =0，以下每连续3项之和为0. 而 2010=3670,于是 f (201

20、0) =0;函数f (x)是周期函数且T=4 , f (2011) =f (4 502+3) =f (3),当 x (0, 4)时，f (x) =x2- 1, f (3) =8.即 f (2011) =8.故答案为: 8.21.【解答】解：当-3喊V- 1 时，f (x) =-(x+2) 2, f (- 3) =- 1, f (- 2) =0,当1 f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) +f (6) +f (1) +f (2) =335+1+2=338,故答案为：33822.【解答】解：由题意可得，f (8) =f (8- 10) =f (- 2) =-f (2)

21、 =-2,f (14) =f (14 - 15) =f (- 1) = - f (1) = - 1, 故有 f (8)- f (14) =-2-( - 1) =- 1,故答案为-1.23.【解答】解：解：由f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，则 f (x+3) =f (x), f (- x) = - f (x), f (2014) =f (3 672 - 2) =f (- 2) =-f (2),又 f (2) 1 , f (2014)V- 1 ,即1V- 1,即为计V 0 ,a+1 a+1即有(3a- 2) (a+1)v 0,解得,-1vavg ,故答案为：- !a.-1 324.【解

22、答】解：t f (x)是周期为2的奇函数,当0喊 (1,)=退,故答案为：-言.25. 【解答】解：由题意可得f ( +2) =sin二J 4=sin (6n-色、=-si=-渥,4 4 2同理可得 f (- 14) =f (- 16+2) =log216=4 ,f (二+2) ?f (- 14)=-省=一也,故答案为：三.解答题(共5小题)26.【解答】(1)证明:f (x+2) =-f (x),f (x+4) =- f (x+2) =f (x),f (x )是周期为4的周期函数；(2)解：当 x - 2 , 0时，-x 0 , 2,由已知得 f (- x) =2 (- x)-( - x)

23、2=- 2x - x2 , 又f (x)是奇函数，f (- x) = - f (x) = - 2x - x2 ,f (x) =x2+2x ,又当 x 2 , 4时，x - 4q - 2 , 0,f (x - 4) = (x - 4) 2+2 (x - 4), 又f (x)是周期为4的周期函数，f (x) =f (x - 4) = (x - 4) 2+2 (x - 4) =x2 - 6x+8 , 从而求得 x 耳2, 4时，f (x) =x2 - 6x+8;(3)解：f (0) =0, f (2) =0, f (1) =1, f (3) =- 1,又f (x)是周期为4的周期函数， f (0)

24、+f (1) +f (2) +f (3) =f (4) +f (5) +f (6) +f (7) = -=f (2 000) +f (2 001) +f (2 002) +f (2 003) =0. f (0) +f (1) +f (2) +-+f (2 004) =0+f (2004) =0.27.【解答】解：(1)当x - 1, 0时，-x0, 1，又f (x)是偶函数 则 F 4)二f (-J 二 3 = 二诘厂- 1，x - 1, 0.(2)logj - lo g36= -1 - la g32f (logl6) =f (-l-lag32) =f (l-log32)331- Iog320, 1,go 唧)即f (loS16)斗28.【解答】解：(1) 令 x - 1, 0),则-x (0, 1, f (- x) =2-x- 1.又 f (x)是奇函数， f (- x) =- f (x),/ - f (x) =f (- x) =2 x -