完整版函数的周期性练习题兼答案.docx
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完整版函数的周期性练习题兼答案
X,使f（XT）f（x）恒成立
函数周期性分类解析
1.定义：
若T为非零常数，对于定义域内的任
则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
2.重要结论
1、fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；
2、若函数y=f（x）满足f（x+a）=-f（x）（a>0）,则f（x）为周期函数且2a是它的一个周期
3、若函数fxafxa，贝Ufx是以T2a为周期的周期函数
1
4、y=f（x）满足f（x+a）=（a>0）则f（x）为周期函数且2a是它的一个周期
fx
1
5、若函数y=f（x）满足f（x+a）=——（a>0）则f（x）为周期函数且2a是它的一个周
fx
期。
6f（xa）1f（x），则fx是以T2a为周期的周期函数.
1f（x）
7、f（xa）吃，则fx是以T4a为周期的周期函数
8、若函数y=f（x）满足f（x+a）=1一型（x€R,a>0）则f（x）为周期函数且4a是它的1f（x）
一个周期
9、若函数y=f（x）的图像关于直线x=a,x=b（b>a都对称，则f（x）为周期函数且2（b-a）是它的一个周期。
10、函数yf（x）xR的图象关于两点Aa,y0、Bb,y0ab都对称，则
函数f（x）是以2ba为周期的周期函数；
11、函数yf（x）xR的图象关于Aa,y0和直线xbab都对称，则函
数f（x）是以4ba为周期的周期函数；
12、若偶函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称，则f（x）为周期函数且2a是它
的一个周期
13、若奇函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称，则f（x）为周期函数且4a是它的一个周期。
14、若函数y=f（x）满足f（x）=f（x-a）+f（x+a）a>0）则f（x）为周期函数,6a是它的一个周期。
15、若奇函数y=f（x）满足f（x+T）=f（xXx€R,Tm0）,则f（T）=0.
函数的周期性练习题高一
一•选择题（共15小题）
1.定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x）,f（x-2）=f（x+2）且x€（-1,0）时，f（x）=2x+,则f（Iog220）=（）
A.1B.C.-1D.-
5
5
2.设偶函数f（x）对任意x€R,都有f（x+3）=-■，且当x€[-3,-2]
f⑴
时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A.10B.丄C.-10D.-丄
1010
3.设偶函数f（x）对任意x€R都有f（x）=--且当x€[-3,-2]时f
f3J
（x）=4x，则f（119.5）=（）A.10B.-10C.丄D.—丄
1010
4.若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f
（1）=1,f
（2）=3,则f（8）
-f（4）的值为（）A.-1B.1C.-2D.2
5.已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x€（0,2]时，f（x）=2x+log2x,
则f（2015）=（）A.-2B.-C.2D.56.设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-
2
1
/
7
-2
/
-1
i
2,1］上的图象，贝Uf（2014）+f（2015）=（）|丁
A.3B.2C.1D.0二
7.已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：
—'一一
f（我）二-一,当2強W,f（x）=x,则f（5.5）'r=
f一J—一一一.
（）A.5.5B.-5.5C.-2.5D.2.5
8.奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x）,当x€（0,1）时，f（x）=3x4，则
f（log354）=（）
A.-2B.-舟C.+D.2
&6
9.定义在R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0,且周期是4,若f
（1）
=5,则f（2015）（）A.5B.-5C.0D.3
10.f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=1，若f
（1）=-5,贝U
fIxJ
f（f（5））=（）A.-5
B.-
_1
5
C二
D.5
11.已知定义在R上的函数f（x）
满足f
（x+5）
=f（x-5）,
且0強屿时，f（x）
=4-x，则f（1003）=（）
A.-
1B.0
C.1D.2
12•函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0喊V2时f（x）=x2-x,则函数y=f（x）的图象在区间［0,6］上与x轴的交点个数为（）
A.6B.7C.8D.9
13.已知函数f（x）是定义在（-3+〜上的奇函数，若对于任意的实数x刃,都有f（x+2）=f（x）,且当x€［0,2）时,f（x）=log2（x+1）,则f（2014）+f
（-2015）+f（2016）的值为（）A.-1B.-2C.2D.1
14.已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x€［0,3）时，f（x）=|2x2-4x+1|,则方程f（x）=丄在［-3,4］解的个数（）A.4B.8C.9D.10
15.已知最小正周期为2的函数f（x）在区间［-1,1］上的解析式是f（x）=x2,则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A.3B.4C.5D.6
二.填空题（共10小题）
16.已知定义在R上的函数f（x）,满足f
（1）二，且对任意的x都有
f（x+3）=-，则f（2014）=.
-f（真丿
17.若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x€［0,
1］时，f（x）=2x-1,则函数g（x）=f（x）-Iog5|x|的零点个数为.
Tlogo（8-x）,
18.定义在R上的函数f（x）满足f（x），则
［£（x-O-f（m-2）,K>0
f（2013）的值为.
19.定义在R上的函数f（x）的图象关于点（-三，0）对称，且满足f（x）=
4
-f（x+土）,f
（1）=1,f（0）=-2,则f
（1）+f
（2）+f（3）+-+f（2010）的值为=.
20.定义在R上的函数f（x）满足:
f（对¥，当x€（0,4）时，
1+fIkJ
f（x）=x2-1,则f（2011）=.
21.定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）.当-3喊V-1时，f（x）=-（x+2）2,当-1強V3时，f（x）=x.贝U
f
（1）+f
（2）+f（3）+-+f（2012）=.
22.若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f
（1）=1,f
（2）=2，则f（8）-f（14）=.
23.设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f
（2）>1,f（2014）
则实数a的取值范围是
24.设f（x）是周期为2的奇函数，当0喊勻时，f（x）=2x（1-x）,则
…Ifsinx,nnTT
25•若f（x+2）=’，、一，则f（斗+2）?
f（-14）=.
log2\-s）p尺QL4
3.解答题（共5小题）
26.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f（x+2）=-f（x）,当xq0，2］时，f（x）=2x-x2
（1）求证：
f（x）是周期函数；
（2）当x€［2，4］时，求f（x）的解析式；
（3）计算:
f（0）+f
（1）+f
（2）+--+f（2004）.
27.函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x如，1］时，f（x）=3x-1.
（1）求f（x）在［-1,0］上的解析式；
（2）求f的值.
3
28.已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当xq0，1］时，f（x）=2x-1.
（1）求f（x）在［-1,0）上的解析式；
（2）求f［24）的值.
3,且x€［0，1］时，f（x）
I
29.已知函数f（x）既是奇函数又是周期函数，周期为=x2-x+2，求f（-2014）的值.
30•定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2,且当x€（0,1）时，f（x）=2x+2「x.
（1）求f（x）在［-1,0）上的解析式；
（2）判断f（x）在（-2,-1）上的单调性，并给予证明.
函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析一•选择题（共15小题）
1.【解答】解：
•••定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x）,•••函数f（x）为奇函数
又•••f（x-2）=f（x+2）
•••函数f（x）为周期为4是周期函数
又TIog232>Iog220>Iog2l6
•••4vIog220v5
•••f（Iog220）=f（Iog220-4）=f（logQ）=-f（-logQ）=-f（logi）
又•••x€（-1,0）时，f（x）
•f（険）=1
2【解答】解：
因为f（x+3）=-.「，故有f（x+6）=-.•=-「=f
fIxJft-£一
fG）
（x）.函数f（x）是以6为周期的函数.
（6X17+5.5）=f（5.5）=-
=-
1
.1
4Xi
£5）'
10
f（107.5）=f
故选B
3.【解答】解：
•••函数f（x）对任意x€R都有f（x）=-
1
f（x-3）,
•f（x+3）
则f（x+6）
即函数f（x）的周期为6,
•f（119.5）=f（20X5-0.5）=f（-0.5）=-
又•••偶函数f（x）,
当x€-3,-2］时，有f（x）=4x,
1
•f（119.5）=-
f（2.5）~f（-2.5）
1
1
f（-0.訐3）
f（2.5）
1
11
i.故选：
4X（-2.5）
=10
C.
4.【解答】解：
f（x）是R上周期为5的奇函数，f（-x）=-f（x）,•••f
（1）=-f（-1）,可得f（-1）=-f
（1）=-1,因为f
（2）=-f
（2）,可得f（-2）=-f
（2）=-3,
•f（8）=f（8-5）=f（3）=f（3-5）=f（-2）=-3,f（4）=f（4-5）=f（-1）=-1,
•f（8）-f（4）=-3-（-1）=-2,故选C;
5.【解答】解：
tf（x）的周期为4,2015=4X504-1,
•f（2015）=f（-1）,
又f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（2015）=-f
（1）=-21-log2l=-2,故选:
A.
6•【解答】解：
由图象知f
（1）=1,f（-1）=2,
•••f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，
•••f（2014）+f（2015）=f
（1）+f（-1）=1+2=3,
故选：
A
7.【解答】解:
（x）
f（x+4）=f（x）,即函数f（x）的一个周期为4
•••f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）
•••f（x）是定义在R上的偶函数
•••f（5.5）=f（1.5）=f（-1.5）=f（-1.5+4）=f（2.5）
■/当2^x<3,f（x）=x
•••f（2.5）=2.5
•••f（5.5）=2.5故选D
8.【解答】解：
tf[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）,
•••f（x）是以4为周期的奇函数，
又
f（log354）=f（log^3）=f（4+1堆誇）=f（log3|）=f（-log3|）二-f（log3|）
•••f（log354）=—2,故选:
A.
9.【解答】解：
在R上的函数f（x）满足f（-x）+f（x）=0则：
f（-x）=-f（x）
所以函数是奇函数由于函数周期是4,
故选：
B
所以f（2015）=f（504X4-1）=f（-1）=-f
（1）=-5
10.【解答】解：
：
f（x+2）=f（：
）
•f（x+2+2）=「：
{=f（x）
•f（x）是以4为周期的函数
•f（5）=f（1+4）=f
（1）=-5
=1-
1
=1
f（-1+25]
f⑴
f（f（5））=f（-5）=f（-5+4）=f（-1）
又•••f（-1）
二f（f（5））=-*
故选B
11.【解答】解：
Tf
（x+5）=f（x-5）,
•••f（x+10）=f（x）,
则函数f（x）是周期为10的周期函数，
C.
则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4-3=1,故选:
12.【解答】解：
当v2时，f（x）=x2-x=0解得x=0或x=1,
因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，
故f（x）=0在区间［0,6）上解的个数为6,
又因为f（6）=f（0）=0,故f（x）=0在区间［0,6］上解的个数为7,即函数y=f（x）的图象在区间［0,6］上与x轴的交点的个数为7,故选：
B.
13.【解答】解：
tf（x+2）=f（x）,•f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0,•••f（x）为R上的奇函数，•f（-2015）=-f（2015）=-f
（1）=-1.
•f（2014）+f（-2015）+f（2016）=0-1+0=-1.故选A.
14.【解答】解：
由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数,当xq0,3）时,f（x）=|2x2-4x+1|,
在同一坐标系中画出函数
f（x）与、七的图象如下图:
由图象可知：
函数y=f（x）与y==在区间［-3,4］上有10个交点（互不相同），
所以方程f（x）—在［-3,4］解的个数是10个，故选：
D.
15.【解答】解：
•••函数f（x）的最小正周期为2,
•f（x+2）=f（x）,
•••f（x）=x,y=g（x）=|log5x|
•作图如下：
•函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5,故选：
C
二•填空题（共10小题）
16.【解答】解：
•••对任意的x都有f（x+3）=
-f
1
-fCk+3）
•函数f（x）为周期函数，且周期T=6,•f（2014）=f（335>6+4）=f（4）
=f（1+3）==-5故答案为：
-5
17【解答】解：
当x€[0,1]时，f（x）=2x-1,函数y=f（x）的周期为2,
x€[-1,0]时，f（x）=2-x-1,可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|.函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，
当x>5时，y=log5|x|>1,此时函数图象无交点，
如图：
又两函数在x>0上有4个交点，由对称性知它们在xv0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，
可得函数g（x）=f（x）-log5|x|的零点个数为8；
故答案为8；
f（x+1）=f（x）-f（x—1）=f（x-1）-f（x-2）-f（x-1）,
•••f（x+1）=-f（x-2）,
即f（x+3）=-f（x）,
•f（x+6）=f（x）,即当x>0时，函数的周期是6.
•
f（2013）=f（335>6+3）=f（3）=-f（0）=-log2（8-0）=-log28=-3,故答案为：
-3.
19.【解答】解：
由f（x）=-f（x+一）得f
=f（x）.所以可得f（x）是最小正周期T=3的周期函数；
由f（x）的图象关于点（-仝，0）对称，知（x,y）的对称点是（-卫-x,-42
而已知f（x）=-f
今以x代x+一，得f
y）.即若y=f（x）,则必-y=f（-弓-x），或y=-f（-专-x）.
（-x）=f（x）,故知f（x）又是R上的偶函数.
于是有：
f
（1）=f（-1）=1;f
（2）=f（2-3）=f（-1）=1;f（3）=f（0+3）
=f（0）=-2；
•f
（1）+f
（2）+f（3）=0，以下每连续3项之和为0.而2010=3>670,于是f（2010）=0;
•函数f（x）是周期函数且T=4,•f（2011）=f（4>502+3）=f（3）,
•••当x€（0,4）时，f（x）=x2-1,•f（3）=8.即f（2011）=8.故答案为:
8.
21.【解答】解：
•••当-3喊V-1时，f（x）=-（x+2）2,
•••f（-3）=-1,f（-2）=0,
•••当—1•••f（-1）=-1,f（0）=0,f
（1）=1,f
（2）=2,
又■/f（x+6）=f（x）.
故f（3）=-1,f（4）=0,f（5）=-1,f（6）=0,
又•••2012=335^3+2,
故f
（1）+f
（2）+f（3）+・・+f（2012）=335>{f
（1）+f
（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]+f
（1）+f
（2）=335+1+2=338,故答案为：
338
22.【解答】解：
由题意可得，f（8）=f（8-10）=f（-2）=-f
（2）=-2,
f（14）=f（14-15）=f（-1）=-f
（1）=-1,故有f（8）-f（14）=-2-（-1）=-1,故答案为-1.
23.【解答】解：
解：
由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，
则f（x+3）=f（x）,f（-x）=-f（x）,
•••f（2014）=f（3>672-2）=f（-2）=-f
（2）,
又f
（2）>1,
•••f（2014）V-1,
即—1V-1,即为「计V0,
a+1a+1
即有（3a-2）（a+1）v0,解得,-1vavg,故答案为：
-!
"-13
24.【解答】解：
tf（x）是周期为2的奇函数,当0喊<1时，f（x）=2x（1-x）,•••f〔-鲁）=f（£）=-f垮）=-2>（1,）=退,故答案为：
-言.
25.【解答】解：
由题意可得f（+2）=sin二
J4
=sin（6n-色、=-si=-渥,
442
同理可得f（-14）=f（-16+2）=log216=4,
•f（二^+2）?
f（-14）=-省>=一也,故答案为：
三.解答题（共5小题）
26.【解答】
（1）证明:
:
f（x+2）=-f（x）,
•f（x+4）=-f（x+2）=f（x）,
•f（x）是周期为4的周期函数；
（2）解：
当x€[-2,0]时，-x€[0,2],
由已知得f（-x）=2（-x）-（-x）2=-2x-x2,又f（x）是奇函数，
•f（-x）=-f（x）=-2x-x2,
•f（x）=x2+2x,
又当x€[2,4]时，x-4q-2,0],
•f（x-4）=（x-4）2+2（x-4）,又f（x）是周期为4的周期函数，
•f（x）=f（x-4）=（x-4）2+2（x-4）=x2-6x+8,从而求得x耳2,4]时，f（x）=x2-6x+8;
（3）解：
f（0）=0,f
（2）=0,f
（1）=1,f（3）=-1,
又f（x）是周期为4的周期函数，
•••f（0）+f
（1）+f
（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=-=f（2000）+f（2001）+f（2002）+f（2003）=0.
•••f（0）+f
（1）+f
（2）+-+f（2004）=0+f（2004）=0.
27.【解答】解：
（1）当x€[-1,0]时，-x€[0,1]，又f（x）是偶函数则F4）二f（-J二3=二诘厂-1，x€[-1,0].
（2）
logj^-log36=-1-lag32
f（logl6）=f（-
l-lag32）=f（l-log32）
3
3
•••1-Iog32€[0,1],
go唧）
即f（loS16）斗
28.【解答】解：
（1）令x€[-1,0）,则-x€（0,1],•••f（-x）=2-x-1.
又•f（x）是奇函数，•••f（-x）=-f（x）,
/•-f（x）=f（-x）=2x-
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