解的存在定理.docx

1、解的存在定理第三章一阶微分方程解的存在定理教学目标1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。2.了解解的延拓定理及延拓条件。3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。教学重难点解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。教学方法讲授，实践。教学时间12学时教学内容解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连 续性、可微性定理及其证明。考核目标1理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。2熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。3.利用解的存在唯一性定理

2、、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所 出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是， 大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始 条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要， 从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性 在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论

3、以及其他理论的基础。例如方程dx过点(0,0)的解就是不唯一，易知 y = 0是方程过(0,0)的解，此外，容易验证， 讨或更一般地,函数丄0 0乞x乞cy = 2l(x-c) cx1都是方程过点(0,0)而且定义在区间0岂X叮 上的解，其中c是满足0 ： C ： 1的任一数。解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题， 它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而 解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯 一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所

4、求解的存在性和唯一性。1 .存在性与唯一性定理 ：(1)显式一阶微分方程(3.1 )(3.2 )dy = f(x,y) dx这里 f (x, y)是在矩形域：R：| x -x01 - a,| y - y0 |-b上连续。定理1如果函数f (x, y)满足以下条件：1 )在R上连续：2)在R上关于变量y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L 0，使对于R上任何一对点(x, y-i) ， (x, y2)均有不等式f (x, yj f(x, y2)|兰L % y2成立，则方程(3.1 )存在唯一的解y =(x)，在区间|xx任h上连续，而且满足初始条件(X。)=y(3.3)b其中 h

5、= min( a,),MM哗 f(x,y),L 称为 Lipschitz 常数.思路：1)求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程xy = y。 f (x, y)dx的连续解。2)构造近似解函数列 n(x)任取一个连续函数：0(x)，使得|o(x) - yo lb，替代上述积分方程右端的y，得到x1(X)=y f(x, o(x)dxxo如果：1(x)三叫(x)，那么：0(x)是积分方程的解，否则，又用 ：1(x)替代积分方程右端的 y，得到X2(x) *0 、f(x, l(x)dx如果：2(x)=1(x)，那么1(x)是积分方程的解，否则，继续进行，得到xn(x)=y0+j f (X,n_L(

6、X)dXx0(3.4)于是得到函数序列 n(x).3)函数序列 n(x)在区间x - h, x h上一致收敛于 (x)，即町 n(xT(x)存在，对(3.4)取极限，得到lim ：n(x) =yo lim f (x,二y f(x, (x)dxxoz(x)dxX即(x)=y + J f(x,(x)dx.(3.3)(3.6)(3.7)x4) (x)是积分方程y二乂 f (x, y)dx在x0_h,x0 h上的连续解bX0这种一步一步求出方程解的方法一一逐步逼近法在定理的假设条件下，分五个命题来证明定理为了讨论方便，只考虑区间x()_ x _ x0 h,对于区间x0 - h _ x _ x0的讨论完

7、全类似命题1 设y =(x)是方程(3.1)定义于区间 人乞X乞x0 h 上,满足初始条件:(x) = y0的解,则y = (x)是积分方程xy = y + J f (x, y)dx X。兰 X 乞 X。+ h (3.5)%的定义于X0乞X三X0 - h上的连续解反之亦然证明 因为y二(X)是方程(3.1)满足(x0)=y0的解，于是有4=f(x, (X) dx两边取X0到X的积分得到X(x)-申(x)=J f(x,W(x)dx xExX0+hX即有(x) = y0 f(x, (x)dx x0 乞 x 乞 x0 h*所以y = (X)是积分方程y = y0亠丨f (x, y)dx定义在区间x0

8、乞X乞X0 h上的连续解.反之,如果y二(X)是积分方程(35)上的连续解，则XW(x) =y + J f (x,W(x)dx X 兰 X 兰 x+h由于f(x, y)在R上连续，从而f (x, (x)连续,两边对x求导,可得d (x) .f(x, (x)dx而且 (X0)=y,故y= (x)是方程(3.1)定义在区间x0 _ x _ x0 h上，且满足初始条件，(X0)= y的解构造Picard的逐次逼近函数序列 n(x).工0(x)二 y,.x (n -1,2,HI)fn(x) =y + ( f(匚咒斗(讪匕 xn+hL x0In(x)-yo|b (3.8)证明 用数学归纳法证明X当n=1

9、时，+ l f(E,y0)d，显然% (x)在x0兰x乞x0 + h上有定义、连续且有LX0X . xi(x)-yo 闫f(y)d： |兰f( Jy) |d 兰M (x x。)兰 Mh 兰b即命题成立.假设n =k命题2成立，也就是在 x0乞x岂x。 h上有定义、连续且满足不等式I l(x) - y。|_b当n = k 1时，xLi(x)二y。 f( , k( )dxxo由于f (x,y)在R上连续，从而f ( x, k (x)在x0 x乞x0 h上连续，于是得知(x)在X。冬x乞X。 h上有定义、连续，而且有xI ：ki(x)-y。匸 Jf( ,1( )|d、M(x-X0HMhEbX0即命题

10、2对n = k 1时也成立.由数学归纳法知对所有的 n均成立.命题3函数序列 n (x)在x。乞x乞x。 h上是一致收敛的.记 lim n(x) = (x), x。_ x _ x。 hn/ :证明构造函数项级数0(x) k(x) - k4(x) x。 X _x。 h (3.9)km它的部分和为nSn(X)0(X) k(X ；k4(x)H ：n(X)km于是 n(x)的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价.为此，对级数(3.9)的通项进行估计.XIi(x)-%(x)FJ |fG%G)|ddM(x-X。) (3.10)X| 2(x)- i(x)|乞 |f( , i( )-f( ,。()|d由

11、Lipschitz 条件得知xI l(x) 一 i(x)|Li( ) 一 L( )|dExL M( -xo)dML 2!(x-x。)2设对于正整数n ,有不等式ML n /ID -X)匡(X-X)nn!成立,则由Lipschitz 条件得知，当x0 _ x _ x0 h时,有x|%+(X)- % (x)伍 J I f (匕,陈(E) - f (E,%M) I d；0X L |n( )- 2( )|dEnx - 一，x0 n(XW1.ML.ML 一(n+1)!于是由数学归纳法可知，对所有正整数k,有k _1 k J| k(x) - k(x) |乞一(xx)k hk k! k!(3.11)hk由正

12、项级数v mlk J k壬 k!的收敛性，利用Weierstrass 判别法，级数(3.9)在x0乞x乞x0 h上一致收敛.因而序列 n (x)在x0空x乞x0 h上一致收敛.设lim (x) :：(x),则(x)也在x乞x乞x h上连续,且 n -|(X)-y。命题4 :(x)是积分方程(3.5)的定义在 沧_x _x0 h上的连续解.证明 由Lipschitz 条件| f(x, ；(x) - f(x, ：(x)匡 L| n(x) -(x)|以及 ；(X)在X乞X空X * h上一致收敛于；：(X),可知f(X, ；(X)在沧空X乞X，h上一致收敛于f (X, (X).因此Xlim 申n(x)

13、 = y+lim J f (n 厂 n ： ： X)X二y。 lim f (，-；( )dx0 n -即X咒(x) = y + f(E,(E)dELX0故(x)是积分方程(3.5)的定义在x0 _ x _ x0 h上的连续解.命题 5 设 (x)是积分方程(3.5)的定义在x0乞x乞X。 h上的一个连续解，则(X)三- (x), Xo _ x _ xo h.证明 设g(x) =| :(x- (x) |,则g(x)是定义在Xo_x_xoh的非负连续函数，由于x x毋(x)=y+ f 代浮代)肚 屮(x) = y + J f(J屮(ddE而且f (x, y)满足Lipschitz 条件,可得xg(

14、x)斗(x)屮(x)冃 J f(J 屮()d|xoxx|f( , ：( ) f( ,一()|dx0x x兰L呼)-屮(|d “少呪匕x0 x0x令u(x) = L g( )d ,则u(x)是x0mxmx0h的连续可微函数，且u(x0 0 ,%0 乞 g(x)乞 u(x), u (x)二Lg(x), u (x)岂 Lu(x), (u (x) - Lu(x)e_L 0,即(udjeX) _ 0 ,于是在 x0 _ x _ x0 h 上，u(x)e_L u(x0)e_Lx 0故g(x) 3(x)乞0,即g(x)三0, x乞x岂冷 h ,命题得证. 对定理说明几点：b(1)存在唯一性定理中 h =mi

15、n(a,)的几何意义.My忍-越 忌 +a图在矩形域R中f(x,y)兰M ,故方程过(xo,y)的积分曲线y=(x)的斜率必介于-M与M之间，过点(x0, y0)分别作斜率为-M与M的直线.当M 时，即a - 一 ,(如图所示)，解y hF(x)在Xo-ax X。 a上有定义；当M 时, a M a即 一 _a,(如图()所示)，不能保证解在x。- a _x _x0 - a上有定义，它有可能在区间内就跑到矩M 形R外去，只有当x0 _x乞x0 才能保证解y二(x)在R内，故要求解的存在范围是M M|xX。| 辽 h.(2)、由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验

16、证的条件来代替他，即如果函数 f (x, y)在矩形域R上关于y的偏导数fy(x, y)存在并有界，即fy(x,y)兰L,则李普希兹条件条件成立.事实上乞 L| yi 一 y21这里(x, yi),(x, y2)R,0 ：1.如果fy(x,y)在R上连续，它在R上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数 f(x,y)不一定有偏导数存在.例如函数f (x, y) =| y |在任何区域都满足李普希兹条件，但它在y = 0处没有导数.(3)、设方程(3.1)是线性的，即方程为业=P(x)y Q(x)dx易知，当P(x),Q(x)在区间:，订上连续时，定理1的条件就能满足,且对任一初值(x

17、0, y0),x0 ，一： 所确定的解在整个区间二订上有定义、连续.实际上，对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在 | x - x0 |- h 上,是因为在构造逐步(4)、Lipschitz 条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件例如试证方程虬dx yl n |y |y=0经过xoy平面上任一点的解都是唯一的证明 y = 0时，f(x, yHyln |y |,在 y = 0上连续，fy(x,y) =1 In | y |也在 y = 0上连续,因此对x轴外的任一点(x0, y0),方程满足y(x。)= y。的解都是唯一存在的又由解，它们不可能与y = 0相交注意到y = 0

18、是方程的解，因此对x轴上的任一点(X0,0)，只有y =0通过， 从而保证xoy平面上任一点的解都是唯一的 但是I f (x，y) - f (x,0) |=| yl n|y|=|ln |y|y | f(x, y)-f(x,0) |L|y|所以方程右端函数在 y = 0的任何邻域并不满足 Lipschitz 条件此题说明Lipschitz 条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件2) 考虑一阶隐方程F(x, y, y )=0 (3.12)F由隐函数存在定理，若在(x0,y0,y0)的某一邻域内F连续且F(x0,y0,y0) =0,而 0,则必可把y唯一地表为x, y的函数y = f(x,

19、 y) (3.13)并且f (x，y)于(x0, y0)的某一邻域连续，且满足y0二f(X0, y0)如果F关于所有变元存在连续的偏导数 ，则f(x,y)对x,y也存在连续的偏导数，并且(3.15 )对方程的第n次近似解：n(x)和真正解(x)在|x-X0|_h内的误差估计式| ：n(X)-(X)匸此式可用数学归纳法证明.x|%(x) 9(x)1 兰 J I f (匕严() |d：兰 M (x X0)兰 Mhx0设有不等式MLn!n 4| z(x)(x)| 乞 (X-X0)n n!成立,则I ：n(X)- “x)|乞 x| f( , 2( )-f( , ()|dx0x4 J)-()dEx0ML

20、n m时，(x,(X)趋于区域G 的边界。证明 (Xo,yo：T G，由解的存在唯一性定理，初值问题菩(約).y。二 y(x。)存在唯一的解y二(x)，解的存在唯一区间为| x - x0 |_ h0.取捲=x0 h0,yi =(x)以(知力)为中心作一小矩形 R G ,则初值问题yi = y(xd存在唯一的解y(x)，解的存在唯一区间为|x_xm.因为 :(x1 (x-i),有唯一性定理，在两区间的重叠部分应有 (x)=(x),即当为一辽乂辽为时(x (x).定义函数F(x),x+ho 兰x 兰 x。十1%十0则y =y(x)是方程(3.1)满足(1)(或(2)的，在X。-h,Xi 0上有定义

21、的唯一的解.这样，把方程(3.1)满足(1)的解y二(x)在定义区间上向右延伸了一段 .即把解y = (X)看作方程(3.1)的解y = ：(x)在定义区间| x - x。匸h。的向右延拓，延拓到更大区间x。-h。乞x乞X。 h。 g.同样的方法，也可把解y =F:(x)向左延拓.这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去 ，最后将得到一个解y =:(x)，不能再向左右延拓了 .这个解称为方程(3.1)的饱和解.推论1对定义在平面区域G上的初值问题其中(x。”。)，Gy。二 y(x。)若f (x，y)在区域G内连续且关于y满足局部Lipschtiz条件，则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解 推论2

22、 设y = (x)是初值问题其中(x。)，Gy。二 y(x。)证明 若饱和区间I不是开区间，不妨设I =(o(,B,则(B,W(0)eG,这样解y = (x)还可以向右延 拓,从而y =(X)是非饱和解,矛盾对I =_:,：)时,同样讨论,即X J (或Xr J)时, (X, (x)推论3如果G是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下 ，方程(3.1)通过(x0,y0)点的解y二(x)可以延拓，以向x增大(减小)一方的延拓来说，有以下两种情况：(1)解y= (x)可以延拓到区间x0：)(或(y, xj)；(2)解y二(x)只可延拓到区间x,m)(或(m,x。)，其中为有限数，则当 x m时，或者

23、洩=1 1分别通过点(0,0)和点(In 2, -3)的解的存在区间dx 2y = (x)无界,或者点(x, :(x) - G .解此方程右端函数y2 -1f(x, y) 在整个xy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理2的条件易知方程的通解为1 +cex y X1 -ce例1讨论方程故通过点(0,0)的解为y二(1 ex)/(1 ex),这个解的存在区间为-：x ;x x通过点(In 2, -3)的解为y = (1 e )/(1 -e ),这个解的存在区间为 0 ： x ：:(如图所示).注意，过点(In 2,-3)的解为y = (1 ex)/(1-ex)向右方可以延拓到：-,但向左方只

24、能延拓到 0 ,因为当Xr 0 .时，yr - St-In 21-I-3厂例2讨论方程dy -1 In X过(1,0)点的解的存在区间dx理的条件区域G(右半平面)是无界开域，y轴是它的边界.易知问题的解为y=xl nx,它于区间0 ： x 上有定义、连续且当x 0时,y； 0,即所求问题的解向右方可以延拓到 :,但向左方只能延拓到 0,且当x 0时积分曲线上的点(x,y)趋向于区域G的边界上的点.例3考虑方程dy = ( ya2) f (x, y),假设f (x, y)和fy(x, y)在xoy平面上连续，试证明：对 dx于任意x0及y0| ca，方程满足y(x0) =y0的解都在(亠，垃)

25、上存在.证明根据题设，易知方程右端函数在整个 xoy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.又y= a为方程在(一立，：)上的解，由延拓定理可知，对-x0,|y0|：a,满足y(x0) = y0的解 y二y(x)应当无限远离原点，但是,由解的唯一性,y二y(x)又不能穿过直线 y = a,故只能向两侧 延拓，而无限远离原点，从而解应在(-；：)存在.注：如果函数f (x, y)于整个xoy平面上定义、连续和有界 ，同时存在关于 y的一阶连续偏导数，则方程(3.1)的任一解均可以延拓到区间 -：:x ： :.练习 试证对任意X。，y0，方程 史= 满足初始条件y(x) = y的解都在(

26、-：,=：)上dx x+ y+1存在. 3解对初值的连续性和可微性定理f (x, y)经过点(x, y)的解.但是假如(x, y)变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是 dxx和初始条件(x0,y)的说初值问题的解不仅依赖于自变量 x ,还依赖于初值(x0, y0).例如：f (x, y) = y时,方程y = y的解函数.因此将对初值问题史=f (x y)dx 的解记为 y 二(x, X0,y),它满足 y = (X0,X0,y).乂二 y(X0)是y = cex，将初始条件y( x) = y带入，可得y = ye f.很显然它是自变量当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时， 方程解的变化是否也很小呢?为此就要讨论解对初值的一些