n
x」-一
,x0「
n
(XW1
.ML
..ML一(n+1)!
于是由数学归纳法可知,对所有正整数k,有
k_1kJ
|k(x)-k」(x)|乞一^(x—x°)k<——hkk!
k!
(3.11)
hk
由正项级数vmlkJ—k壬k!
的收敛性,利用Weierstrass判别法,级数(3.9)在x0乞x乞x0h上一致收
敛.因而序列{■n(x)}在x0空x乞x0h上一致收敛.
设lim\(x)^:
':
:
(x),则(x)也在x°乞x乞x°h上连续,且n—'-
|「(X)-y。
"
命题4:
(x)是积分方程(3.5)的定义在沧_x_x0•h上的连续解.
证明由Lipschitz条件
|f(x,;(x))-f(x,:
(x))匡L|n(x)-「(x)|
以及{;(X)}在X°乞X空X°*h上一致收敛于;:
(X),可知f(X,;(X))在沧空X乞X°,h上一致收敛于
f(X,(X)).因此
X
lim申n(x)=y°+limJf(©
n厂n:
:
X)
X
二y。
limf(,-;^())d
x0n-
即
X
咒(x)=y°+〔f(E,®(E))dE
LX0
故(x)是积分方程(3.5)的定义在x0_x_x0h上的连续解.
命题5设'■(x)是积分方程(3.5)的定义在x0乞x乞X。
•h上的一个连续解,则
「(X)三‘-(x),Xo_x_xoh.
证明设g(x)=|:
(x^'-(x)|,则g(x)是定义在Xo_x_xo・h的非负连续函数,由于
xx
毋(x)=y°+[f代浮代))肚屮(x)=y°+Jf(J屮(ddE
而且f(x,y)满足Lipschitz条件,可得
x
g(x)斗®(x)—屮(x)冃Jf(J屮(®)]d©|
xo
x
「x|f(,:
())—f(,一())|d
x0
xx
兰L[呼)-屮(®|d—“少呪匕
x0■x0
x
令u(x)=Lg()d,则u(x)是x0mxmx0・h的连续可微函数,且u(x0^0,
%
0乞g(x)乞u(x),u(x)二Lg(x),u(x)岂Lu(x),(u(x)-Lu(x))e_L^0,
即(udje^X)_0,于是在x0_x_x0h上,u(x)e_L^u(x0)e_Lx^0
故g(x)3(x)乞0,即g(x)三0,x°乞x岂冷h,命题得证.对定理说明几点:
b
(1)存在唯一性定理中h=min(a,—)的几何意义.
M
y
忍-越忌+a
图⑷
在矩形域R中f(x,y)兰M,故方程过(xo,y°)的积分曲线y=®(x)的斜率必介于-M与M之间,过
点(x0,y0)分别作斜率为-M与M的直线.
当M——时,即a-一,(如图⑻所示),解yhF(x)在Xo-a—x—X。
a上有定义;当M——时,aMa
—
即一_a,(如图(—)所示),不能保证解在x。
-a_x_x0-a上有定义,它有可能在区间内就跑到矩
M
——
形R外去,只有当x0—_x乞x0—才能保证解y二(x)在R内,故要求解的存在范围是
MM
|x「X。
|辽h.
(2)、由于李普希兹条件的检验是比较费事的,而我们能够用一个较强的,但却易于验证的条件
来代替他,即如果函数f(x,y)在矩形域R上关于y的偏导数fy(x,y)存在并有界,即fy(x,y)兰L,
则李普希兹条件条件成立.事实上
乞L|yi一y21
这里(x,yi),(x,y2)・R,0—:
:
1.如果fy(x,y)在R上连续,它在R上当然满足李普希兹条件.但是,
满足李普希兹条件的函数f(x,y)不一定有偏导数存在.例如函数f(x,y)=|y|在任何区域都满足李普
希兹条件,但它在y=0处没有导数.
(3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为
业=P(x)yQ(x)
dx
易知,当P(x),Q(x)在区间[:
•,订上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值(x0,y0),x0•[〉,一:
]所确定的解在整个区间[二订上有定义、连续.
实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在|x-x0|-h上,是因为在构造逐步
(4)、Lipschitz条件是保证初值问题解惟一的充分条件,而非必要条件
例如试证方程
虬°
dxyln|y|
y=0
经过xoy平面上任一点的解都是唯一的
证明y=0时,f(x,yHyln|y|,在y=0上连续,fy(x,y)=1In|y|也在y=0上连续,
因此对x轴外的任一点(x0,y0),方程满足y(x。
)=y。
的解都是唯一存在的•又由
解,它们不可能与y=0相交•注意到y=0是方程的解,因此对x轴上的任一点(X0,0),只有y=0通过,从而保证xoy平面上任一点的解都是唯一的•
但是
If(x,y)-f(x,0)|=|yln|y||=|ln|y|||y|
|f(x,y)-f(x,0)|^L|y|
所以方程右端函数在y=0的任何邻域并不满足Lipschitz条件•
此题说明Lipschitz条件是保证初值问题解惟一的充分条件,而非必要条件
2)考虑一阶隐方程
F(x,y,y)=0(3.12)
£F
由隐函数存在定理,若在(x0,y0,y0)的某一邻域内F连续且F(x0,y0,y0)=0,而0,则必可把y
唯一地表为x,y的函数
y'=f(x,y)(3.13)
并且f(x,y)于(x0,y0)的某一邻域连续,且满足y0二f(X0,y0)
如果F关于所有变元存在连续的偏导数,则f(x,y)对x,y也存在连续的偏导数,并且
(3.15)
对方程的第n次近似解:
n(x)和真正解(x)在|x-X0|_h内的误差估计式
|:
n(X)-「(X)匸
此式可用数学归纳法证明.
x
|%(x)—9(x)1兰JIf(匕严(®)|d:
兰M(x—X0)兰Mh
x0
设有不等式
ML
n!
n4
|z(x)「(x)|乞^(X-X0)nn!
成立,则
I:
n(X)-“x)|乞x|f(,2())-f(,())|d
x0
x
4J』)-()dE
x0
MLn
<
解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,
R:
-1
差估计式(3.佝
可知n=3.于是
x22
1(x)「0[x0(x)]dx二
X3
§2解的延拓
果是局部的,也就是说解的存在区间是很小的•可能随着f(x,y)的存在区域的增大,而能肯定的解得存在区间反而缩小。
例如,上一节的例1,当定义区域变为R:
_2乞x乞2,一2乞y乞2时,
211
M=8,h=min{2,},解的范围缩小为|x-x°|.在实际引用中,我们也希望解的存在区间
844
能尽量扩大,下面讨论解的延展概念,尽量扩大解的存在区间,把解的存在唯一性定理的结果由局部
的变成大范围的•
1、饱和解及饱和区间
定义1对定义在平面区域G上的微分方程
dx
(3.1)
设y=「(X)是方程(3.1)定义在区间I1R上的一个解,如果方程(3.1)还有一个定义在区间12R
上的另一解yJ:
(x),且满足
(1)hI2;但是h=丨2
(2)当X」时,:
:
(x)三(x)
则称y二(x),X•I1是可延拓的,并称y=J(x)是y二(x)在*上的延拓.否则如果不存在满足上述条件的解y(x),则称y=护(x),x•丨1是方程(3.1)的不可延拓解或饱和解,此时把不可延拓解的区间I1称为一个饱和区间.
2、局部李普希兹条件
定义2若函数f(x,y)在区域G内连续,且对G内每一点P,都存在以P点为中心,完全含在G内的闭矩形域Rp,使得在Rp上f(x,y)关于y满足李普希兹条件(对于不同的点,闭矩形域Rp的大
小和李普希兹常数L可能不同),则称f(x,y)在G上关于y满足局部李普希兹条件.
dx
定理3(延拓定理)如果方程-f(x,y)的右端函数f(x,y)在(有界或无界)区域GR2上
dx
连续,且在关于y满足局部李普希兹条件,则对任意一点(x0,y0)EG,方程3=f(x,y)以(x0,y0)
为初值的解(x)均可以向左右延展,直到点(X,「(X))任意接近区域G的边界.
以向x增大的一方来说,如果y二(x)只能延拓到区间上,则当x>m时,(x,「(X))趋于区域G的边界。
证明—(Xo,yo:
TG,由解的存在唯一性定理,初值问题
菩(約)
.y。
二y(x。
)
存在唯一的解y二(x),解的存在唯一区间为|x-x0|_h0.取捲=x0h0,
yi=「(x)以(知力)为中心作一小矩形RG,则初值问题
yi=y(xd
存在唯一的解y」『(x),解的存在唯一区间为|x_xm.
因为:
(x1^■(x-i),有唯一性定理,在两区间的重叠部分应有「(x)==(x),即当为一⑴辽乂辽为
时(x^(x).定义函数
F(x),x°+ho兰x兰x。
十1%十0
则y=y(x)是方程(3.1)满足
(1)(或
(2))的,在[X。
-h°,Xi•0]上有定义的唯一的解.这样,把方程
(3.1)满足
(1)的解y二(x)在定义区间上向右延伸了一段.即把解y="(X)看作方程(3.1)的解
y=:
(x)在定义区间|x-x。
匸h。
的向右延拓,延拓到更大区间x。
-h。
乞x乞X。
•h。
•g.同样的方法,
也可把解y=F:
(x)向左延拓.这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去,最后将得到一个解
y=€:
(x),不能再向左右延拓了.这个解称为方程(3.1)的饱和解.
推论1对定义在平面区域G上的初值问题
其中(x。
”。
),G
y。
二y(x。
)
若f(x,y)在区域G内连续且关于y满足局部Lipschtiz条件,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解推论2设y=(x)是初值问题
其中(x。
"。
),G
y。
二y(x。
)
证明若饱和区间I不是开区间,不妨设I=(o(,B],则(B,W(0))eG,这样解y=®(x)还可以向右延拓,从而y=(X)是非饱和解,矛盾•对I=[_:
>,:
)时,同样讨论,即XJ(或XrJ')时,(X,(x))
推论3如果G是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)通过(x0,y0)点的解y二(x)可
以延拓,以向x增大(减小)一方的延拓来说,有以下两种情况:
(1)解y=(x)可以延拓到区间[x0「:
)(或(y,xj);
(2)解y二(x)只可延拓到区间[x°,m)(或(m,x。
]),其中为有限数,则当x>m时,或者
洩=11分别通过点(0,0)和点(In2,-3)的解的存在区间
dx2
y=(x)无界,或者点(x,:
(x)^-G.
解此方程右端函数
y2-1
f(x,y)在整个xy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理
2
的条件•易知方程的通解为
1+cexyX
1-ce
例1讨论方程
故通过点(0,0)的解为y二(1—ex)/(1•ex),这个解的存在区间为-:
:
:
:
:
x;
xx
通过点(In2,-3)的解为y=(1e)/(1-e),这个解的存在区间为0:
:
x:
:
:
(如图所示).注意,过点(In2,-3)的解为y=(1•ex)/(1-ex)向右方可以延拓到
:
-,但向左方只能延拓到0,因为当Xr0.时,yr•-'•
St-
In2
1
-I
-3
厂
例2讨论方程dy-1InX过(1,0)点的解的存在区间
dx
理的条件•区域G(右半平面)是无界开域,y轴是它的边界.
易知问题的解为y=xlnx,它于区间0:
:
:
x上有定义、连续且当x—0时,y—;0,即所求问题
的解向右方可以延拓到:
但向左方只能延拓到0,且当x—0时积分曲线上的点(x,y)趋向于区域
G的边界上的点.
例3考虑方程dy=(y^a2)f(x,y),假设f(x,y)和fy(x,y)在xoy平面上连续,试证明:
对dx
于任意x0及y0|ca,方程满足y(x0)=y0的解都在(亠,垃)上存在.
证明根据题设,易知方程右端函数在整个xoy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理
的条件.又y=a为方程在(一立,•:
:
)上的解,由延拓定理可知,对-x0,|y0|:
:
:
a,满足y(x0)=y0的解y二y(x)应当无限远离原点,但是,由解的唯一性,y二y(x)又不能穿过直线y=a,故只能向两侧延拓,而无限远离原点,从而解应在(-";•:
:
)存在.
注:
如果函数f(x,y)于整个xoy平面上定义、连续和有界,同时存在关于y的一阶连续偏导数,
则方程(3.1)的任一解均可以延拓到区间-:
:
:
:
:
x:
:
:
•:
:
.
练习试证对任意X。
,y0,方程史=—满足初始条件y(x°)=y°的解都在(-:
:
=:
)上
dxx+y+1
存在.
§3解对初值的连续性和可微性定理
f(x,y)经过点(x°,y°)的解.但是假如(x°,y°)变动,则相应初值问题的解也随之变动,也就是dx
x和初始条件(x0,y°)的
说初值问题的解不仅依赖于自变量x,还依赖于初值(x0,y0).例如:
f(x,y)=y时,方程y'=y的解
函数.因此将对初值问题
史=f(xy)
dx"的解记为y二(x,X0,y°),它满足y°=(X0,X0,y°).
乂二y(X0)
是y=cex,将初始条件
y(x°)=y°带入,可得y=y°ef.很显然它是自变量
当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?
当初始值微小变动时,方程解的变化是否也很小呢?
为此就要讨论解对初值的一些