n
x」-一
，x0「
n
（XW1
.ML
..ML一（n+1）!
于是由数学归纳法可知，对所有正整数k,有
k_1kJ
|k（x）-k」（x）|乞一^（x—x°）k<——hkk!
k!
（3.11）
hk
由正项级数vmlkJ—k壬k!
的收敛性，利用Weierstrass判别法，级数（3.9）在x0乞x乞x0h上一致收
敛.因而序列｛■n（x）｝在x0空x乞x0h上一致收敛.
设lim\（x）^:
':
：
（x）,则（x）也在x°乞x乞x°h上连续,且n—'-
|「（X）-y。
"
命题4:
（x）是积分方程（3.5）的定义在沧_x_x0•h上的连续解.
证明由Lipschitz条件
|f（x,；（x））-f（x,：
（x））匡L|n（x）-「（x）|
以及｛；（X）｝在X°乞X空X°*h上一致收敛于；：
（X）,可知f（X,；（X））在沧空X乞X°，h上一致收敛于
f（X,（X））.因此
X
lim申n（x）=y°+limJf（©
n厂n：
：
X）
X
二y。
limf（，-；^（））d
x0n-
即
X
咒（x）=y°+〔f（E,®（E））dE
LX0
故（x）是积分方程（3.5）的定义在x0_x_x0h上的连续解.
命题5设'■（x）是积分方程（3.5）的定义在x0乞x乞X。
•h上的一个连续解，则
「（X）三‘-（x）,Xo_x_xoh.
证明设g（x）=|:
（x^'-（x）|,则g（x）是定义在Xo_x_xo・h的非负连续函数，由于
xx
毋（x）=y°+[f代浮代））肚屮（x）=y°+Jf（J屮（ddE
而且f（x,y）满足Lipschitz条件,可得
x
g（x）斗®（x）—屮（x）冃Jf（J屮（®）]d©|
xo
x
「x|f（,：
（））—f（,一（））|d
x0
xx
兰L[呼）-屮（®|d—“少呪匕
x0■x0
x
令u（x）=Lg（）d,则u（x）是x0mxmx0・h的连续可微函数，且u（x0^0,
%
0乞g（x）乞u（x）,u（x）二Lg（x）,u（x）岂Lu（x）,（u（x）-Lu（x））e_L^0,
即（udje^X）_0,于是在x0_x_x0h上，u（x）e_L^u（x0）e_Lx^0
故g（x）3（x）乞0,即g（x）三0,x°乞x岂冷h,命题得证.对定理说明几点：
b
（1）存在唯一性定理中h=min（a,—）的几何意义.
M
y
忍-越忌+a
图⑷
在矩形域R中f（x,y）兰M,故方程过（xo,y°）的积分曲线y=®（x）的斜率必介于-M与M之间，过
点（x0,y0）分别作斜率为-M与M的直线.
当M——时，即a-一,（如图⑻所示），解yhF（x）在Xo-a—x—X。
a上有定义；当M——时,aMa
—
即一_a,（如图（—）所示），不能保证解在x。
-a_x_x0-a上有定义，它有可能在区间内就跑到矩
M
——
形R外去，只有当x0—_x乞x0—才能保证解y二（x）在R内，故要求解的存在范围是
MM
|x「X。
|辽h.
（2）、由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件
来代替他，即如果函数f（x,y）在矩形域R上关于y的偏导数fy（x,y）存在并有界，即fy（x,y）兰L,
则李普希兹条件条件成立.事实上
乞L|yi一y21
这里（x,yi）,（x,y2）・R,0—：
：
1.如果fy（x,y）在R上连续，它在R上当然满足李普希兹条件.但是,
满足李普希兹条件的函数f（x,y）不一定有偏导数存在.例如函数f（x,y）=|y|在任何区域都满足李普
希兹条件，但它在y=0处没有导数.
（3）、设方程（3.1）是线性的，即方程为
业=P（x）yQ（x）
dx
易知，当P（x）,Q（x）在区间［:
•，订上连续时，定理1的条件就能满足,且对任一初值（x0,y0）,x0•［〉，一：
］所确定的解在整个区间［二订上有定义、连续.
实际上，对于一般方程（3.1）,由初值所确定的解只能定义在|x-x0|-h上,是因为在构造逐步
（4）、Lipschitz条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件
例如试证方程
虬°
dxyln|y|
y=0
经过xoy平面上任一点的解都是唯一的
证明y=0时，f（x,yHyln|y|,在y=0上连续，fy（x,y）=1In|y|也在y=0上连续,
因此对x轴外的任一点（x0,y0）,方程满足y（x。
）=y。
的解都是唯一存在的•又由
解，它们不可能与y=0相交•注意到y=0是方程的解，因此对x轴上的任一点（X0,0），只有y=0通过，从而保证xoy平面上任一点的解都是唯一的•
但是
If（x，y）-f（x,0）|=|yln|y||=|ln|y|||y|
|f（x,y）-f（x,0）|^L|y|
所以方程右端函数在y=0的任何邻域并不满足Lipschitz条件•
此题说明Lipschitz条件是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件
2）考虑一阶隐方程
F（x,y,y）=0（3.12）
£F
由隐函数存在定理，若在（x0,y0,y0）的某一邻域内F连续且F（x0,y0,y0）=0,而0,则必可把y
唯一地表为x,y的函数
y'=f（x,y）（3.13）
并且f（x，y）于（x0,y0）的某一邻域连续，且满足y0二f（X0,y0）
如果F关于所有变元存在连续的偏导数，则f（x,y）对x,y也存在连续的偏导数，并且
（3.15）
对方程的第n次近似解：
n（x）和真正解（x）在|x-X0|_h内的误差估计式
|：
n（X）-「（X）匸
此式可用数学归纳法证明.
x
|%（x）—9（x）1兰JIf（匕严（®）|d：
兰M（x—X0）兰Mh
x0
设有不等式
ML
n!
n4
|z（x）「（x）|乞^（X-X0）nn!
成立,则
I：
n（X）-“x）|乞x|f（,2（））-f（,（））|d
x0
x
4J』）-（）dE
x0
MLn
<
解的存在唯一性区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解，其中,
R:
-1
差估计式（3.佝
可知n=3.于是
x22
1（x）「0[x0（x）]dx二
X3
§2解的延拓
果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的•可能随着f（x,y）的存在区域的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。
例如，上一节的例1，当定义区域变为R:
_2乞x乞2,一2乞y乞2时，
211
M=8,h=min{2,}，解的范围缩小为|x-x°|.在实际引用中，我们也希望解的存在区间
844
能尽量扩大，下面讨论解的延展概念，尽量扩大解的存在区间，把解的存在唯一性定理的结果由局部
的变成大范围的•
1、饱和解及饱和区间
定义1对定义在平面区域G上的微分方程
dx
（3.1）
设y=「（X）是方程（3.1）定义在区间I1R上的一个解，如果方程（3.1）还有一个定义在区间12R
上的另一解yJ：
（x）,且满足
（1）hI2；但是h=丨2
（2）当X」时，：
:
（x）三（x）
则称y二（x）,X•I1是可延拓的，并称y=J（x）是y二（x）在*上的延拓.否则如果不存在满足上述条件的解y（x）,则称y=护（x）,x•丨1是方程（3.1）的不可延拓解或饱和解，此时把不可延拓解的区间I1称为一个饱和区间.
2、局部李普希兹条件
定义2若函数f（x,y）在区域G内连续，且对G内每一点P，都存在以P点为中心，完全含在G内的闭矩形域Rp，使得在Rp上f（x,y）关于y满足李普希兹条件（对于不同的点，闭矩形域Rp的大
小和李普希兹常数L可能不同），则称f（x,y）在G上关于y满足局部李普希兹条件.
dx
定理3（延拓定理）如果方程-f（x,y）的右端函数f（x,y）在（有界或无界）区域GR2上
dx
连续，且在关于y满足局部李普希兹条件，则对任意一点（x0,y0）EG，方程3=f（x,y）以（x0,y0）
为初值的解（x）均可以向左右延展，直到点（X,「（X））任意接近区域G的边界.
以向x增大的一方来说，如果y二（x）只能延拓到区间上，则当x>m时，（x,「（X））趋于区域G的边界。
证明—（Xo,yo：
TG，由解的存在唯一性定理，初值问题
菩（約）
.y。
二y（x。
）
存在唯一的解y二（x），解的存在唯一区间为|x-x0|_h0.取捲=x0h0,
yi=「（x）以（知力）为中心作一小矩形RG,则初值问题
yi=y（xd
存在唯一的解y」『（x），解的存在唯一区间为|x_xm.
因为:
（x1^■（x-i）,有唯一性定理，在两区间的重叠部分应有「（x）==（x）,即当为一⑴辽乂辽为
时（x^（x）.定义函数
F（x）,x°+ho兰x兰x。
十1%十0
则y=y（x）是方程（3.1）满足
（1）（或
（2））的，在［X。
-h°,Xi•0］上有定义的唯一的解.这样，把方程
（3.1）满足
（1）的解y二（x）在定义区间上向右延伸了一段.即把解y="（X）看作方程（3.1）的解
y=：
（x）在定义区间|x-x。
匸h。
的向右延拓，延拓到更大区间x。
-h。
乞x乞X。
•h。
•g.同样的方法，
也可把解y=F:
（x）向左延拓.这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去，最后将得到一个解
y=€:
（x），不能再向左右延拓了.这个解称为方程（3.1）的饱和解.
推论1对定义在平面区域G上的初值问题
其中（x。
”。
），G
y。
二y（x。
）
若f（x，y）在区域G内连续且关于y满足局部Lipschtiz条件，则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解推论2设y=（x）是初值问题
其中（x。
"。
），G
y。
二y（x。
）
证明若饱和区间I不是开区间，不妨设I=（o（,B］,则（B,W（0））eG,这样解y=®（x）还可以向右延拓,从而y=（X）是非饱和解,矛盾•对I=［_:
>,：
）时,同样讨论,即XJ（或XrJ'）时,（X,（x））
推论3如果G是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程（3.1）通过（x0,y0）点的解y二（x）可
以延拓，以向x增大（减小）一方的延拓来说，有以下两种情况：
（1）解y=（x）可以延拓到区间［x0「：
）（或（y,xj）；
（2）解y二（x）只可延拓到区间［x°,m）（或（m,x。
］），其中为有限数，则当x>m时，或者
洩=11分别通过点（0,0）和点（In2,-3）的解的存在区间
dx2
y=（x）无界,或者点（x,:
（x）^-G.
解此方程右端函数
y2-1
f（x,y）在整个xy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理
2
的条件•易知方程的通解为
1+cexyX
1-ce
例1讨论方程
故通过点（0,0）的解为y二（1—ex）/（1•ex）,这个解的存在区间为-：
：
：
：
：
x;
xx
通过点（In2,-3）的解为y=（1e）/（1-e）,这个解的存在区间为0：
：
x：
:
:
（如图所示）.注意，过点（In2,-3）的解为y=（1•ex）/（1-ex）向右方可以延拓到
：
-,但向左方只能延拓到0,因为当Xr0.时，yr•-'•
St-
In2
1
-I
-3
厂
例2讨论方程dy-1InX过（1,0）点的解的存在区间
dx
理的条件•区域G（右半平面）是无界开域，y轴是它的边界.
易知问题的解为y=xlnx,它于区间0：
：
：
x上有定义、连续且当x—0时,y—；0,即所求问题
的解向右方可以延拓到:
但向左方只能延拓到0,且当x—0时积分曲线上的点（x,y）趋向于区域
G的边界上的点.
例3考虑方程dy=（y^a2）f（x,y）,假设f（x,y）和fy（x,y）在xoy平面上连续，试证明：
对dx
于任意x0及y0|ca，方程满足y（x0）=y0的解都在（亠，垃）上存在.
证明根据题设，易知方程右端函数在整个xoy平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理
的条件.又y=a为方程在（一立，•：
：
）上的解，由延拓定理可知，对-x0,|y0|：
：
：
a,满足y（x0）=y0的解y二y（x）应当无限远离原点，但是,由解的唯一性,y二y（x）又不能穿过直线y=a,故只能向两侧延拓，而无限远离原点，从而解应在（-"；•：
：
）存在.
注：
如果函数f（x,y）于整个xoy平面上定义、连续和有界，同时存在关于y的一阶连续偏导数，
则方程（3.1）的任一解均可以延拓到区间-：
：
:
:
:
x：
：
：
•:
:
.
练习试证对任意X。
，y0，方程史=—满足初始条件y（x°）=y°的解都在（-：
：
=：
）上
dxx+y+1
存在.
§3解对初值的连续性和可微性定理
f（x,y）经过点（x°,y°）的解.但是假如（x°,y°）变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是dx
x和初始条件（x0,y°）的
说初值问题的解不仅依赖于自变量x,还依赖于初值（x0,y0）.例如：
f（x,y）=y时,方程y'=y的解
函数.因此将对初值问题
史=f（xy）
dx"的解记为y二（x,X0,y°）,它满足y°=（X0,X0,y°）.
乂二y（X0）
是y=cex，将初始条件
y（x°）=y°带入，可得y=y°ef.很显然它是自变量
当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？
当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢?
为此就要讨论解对初值的一些
升级会员 