学生版第7讲平行四边形.docx

1、学生版第7讲 平行四边形第7讲 平行四边形知识点1 一般的平行四边形1. 平行四边形的性质与判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质：如图，已知ABCD.则ABCD，ADBC，AB=CD，AD=BC; DAB=DCB,ADC=ABC;OA=OC,OB=OD.拓展：平行四边形的邻角互补；平行四边形具有中心对称性（自身旋转180后与原图形重合）.平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2. 两条平行线之

2、间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：ABCD，EFCD.EF是平行线AB，CD之间的距离.结论：两条平行线之间的距离处处相等.拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等.3. 三角形的中位线图形：D，E分别为ABC的边AB，AC的中点.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（DEBC，且DE=BC）注：三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定进行证明.（见课本P48探究）拓展：梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半.

3、（连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）【典例】1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N求证：BME=CNE.（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）2.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G求证：（1）四边形AECF是平行四边形（2）EF与GH互相平分【方法总结】经典模型：如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N若AB=CD，则BME=CNE.方法：要证明线段（或

4、角）相等、两直线平行等，若这两条线段在一个四边形中，一般先判定这个四边形为平行四边形，然后再利用平行四边形的性质去解决.【随堂练习】1.如图，四边形ABCD中，ADBC，AC与BD相交于点O，若SABD=10cm2，SACD为（）A. 5 B. 10 C. 20 D. 无法确定2.如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点则PMN的形状是（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 任意三角形3.如图，ABC的周长为19，点D，E在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC

5、=7，则MN的长度为（）A. B. 2 C. D. 34.如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ABAC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A. 8 B. 9 C. 10 D. 115.如图，ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PDAB，PEBC，PFAC，若ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（）A. 8 B. 6 C. 4 D. 36.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在AD 边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止 （同时点Q也停止），

6、在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（）A. 1 次 B. 2次 C. 3次 D. 4次知识点2 矩形矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图：矩形ABCD.1. 矩形的性质矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下： 矩形的四个角都是直角；（BAD=ADC=DCB=CBA=90）矩形的对角线相等；（AC=BD）对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是对边中点的连线）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在RtADC中，DO为斜边AC的中线，则DO=AC）拓展：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形.2.

7、矩形的判定 矩形的判定方法：有一个角时直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形.3. 拓展矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形.【典例】1.如图，在ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PGAC于点G，PHAB于点H（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由【方法总结】方法：矩形的两条对角线相等，当求其中一条对角线的长（最小值或取值范围）时，可以转化为求另一条对角线的长（最小值或取值范围）.总结：证明一个四边形是不是矩形，有两条

8、证明思路：直接证明（证明该四边形有3个直角）；先证该四边形为平行四边形，再证明它是矩形（有一个角相等或对角线相等）.【随堂练习】1.如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1若AFC=90，则BC的长度为（）A. 10 B. 12 C. 14 D. 162.如图，在RtABC中，ACB=90，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A. ACD=BCD B. AD=BD C. CDAB D. CD=AC 3.矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线

9、，连接AF，取AF的中点H，连接GH若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH的值为（）A. 1 B. C. D. 4.如图：点P是RtABC斜边AB上的一点，PEAC于E，PFBC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A. 12 B. 6 C. 12.5 D. 25知识点3 菱形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 如图：菱形ABCD.1. 菱形的性质菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下： 菱形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（ACBD，AC是DAB和DCB的角平分线，BD是ADC

10、和CBA的角平分线）对称性：菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直线（AC，BD）2. 菱形的判定菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是矩形.3. 拓展 菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形； 菱形的面积等于两对角线乘积的一半.【典例】1.如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AEBD，BEAC，OE=CD.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若OE=2，OA=1，求四边形ABCD的面积【方法总结】方法：判定一个四边形是不是菱形，从2个角度出发：四边形，直接证明四条边都相等或

11、对角线互相垂直平分；先证四边形为平行四边形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直.【随堂练习】1.如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM=AB，则C为（）A. 100 B. 105 C. 110 D. 1202.如图，在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交BC于点E，ABC的平分线交AD于点F若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A. 10 B. 12 C. 16 D. 183.如图，ABC是边长为2的等边三角形，将ABC沿射线BC向右平移到DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（）A. AD=BC B. BDDEC. 四边形ACED是菱形

12、D. 四边形ABCD的面积为4知识点4 正方形正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形ABCD.1. 正方形的性质正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下： 正方形的对边平行且相等；（ABCD，AB=CD；BCAD，BC=AD）正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）正方形的四个角都是直角；（BAD=ADC=DCB=CBA=90）正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD，ACBD，OA=OB=OC=OD，AC是DAB和DCB的角平分线，BD是ADC和CBA的角平分线）对称性：正方

13、形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它的两条对角线所在的直线（AC，BD）2. 正方形的判定正方形的判定方法：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.判定正方形的思路图：3. 拓展正形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.【典例】1.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EFDE交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由【方法总结】正方形的证明思路：先判定四边

14、形是矩形，再判定这个矩形是菱形；先判定四边形是菱形，在判定这个菱形是矩形.【随堂练习】1.平行四边形ABCD的对角线交于点O，有五个条件：AC=BD，ABC=90，AB=AC，AB=BC，ACBD，则下列哪个组合可判别这个四边形是正方形（）A. B. C. D. 2.如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，得到下面四个结论：OA=OD；ADEF；当BAC=90时，四边形AEDF是正方形；AE2+DF2=AF2+DE2其中正确的是（）A. B. C. D. 3.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论AE=BF；

15、AEBF；AO=OE；SAOB=S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，AED=45，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（）A. 4 B. C. 2+2 D. 2+2知识点4 中点四边形1. 中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH为中点四边形.2. 常见中点四边形 四边形的中点四边形为平行四边形；矩形的中点四边形为菱形； 菱形的中点四边形为矩形； 正方形的中点四边形为正方形；等腰

16、梯形的中点四边形为菱形；对角线相等的中点四边形为菱形；对角线互相垂直的中点四边形为矩形.【典例】1.观察探究，解决问题在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做中点四边形（1）如图，求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）请你探究并填空：当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是_；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是_；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是_；【方法总结】总结：依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系有关.若两对角线相等，新四边形为菱形；若两对

17、角线互相垂直，新四边形为矩形；若两对角线相等且互相垂直，新四边形为正方形.【随堂练习】1.已知E、F、G、H四点分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，若四边形EFGH是菱形，则下列结论：A=90；AB=BC；AC=BD；ACBD.其中正确的是（）A. B. C. D. 2.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC的长度为（）A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 5cm3. 如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形

18、EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B. 当E，F，G，H是各边中点，且ACBD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形综合运用1.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE请根据上述条件，写出一个正确结论”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边

19、形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：ACE=CAF这四位同学写出的结论中不正确的是_.2.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=9，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，EG2+FH2=_.3.如图，在ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，FEC=45，求FE的长度（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）4.如图，等边ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）求四边形BDEF的

20、周长5.在ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，求菱形ABCD的面积7.如图，在RtABC中，ABC=90，点D，F分别是AC，AB的中点，CEDB，BEDC.（1）求证：四边形DBEC是菱形；（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积8.如图，在矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求FCG的面积