学生版第7讲平行四边形.docx

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学生版第7讲平行四边形

第7讲平行四边形

知识点1一般的平行四边形

1.平行四边形的性质与判定

定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

平行四边形的性质：

如图，已知▱ABCD.

则①AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC;

②∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC;

③OA=OC,OB=OD.

拓展：

①平行四边形的邻角互补；

②平行四边形具有中心对称性（自身旋转180°后与原图形重合）.

平行四边形的判定方法：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

④对角线互相平分的四边形是平行四边形；

⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

2.两条平行线之间的距离

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：

AB∥CD，EF⊥CD.

EF是平行线AB，CD之间的距离.

结论：

两条平行线之间的距离处处相等.

拓展：

同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等.

3.三角形的中位线

图形：

D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.

定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE）

中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（DE∥BC，且DE=

BC）

注：

三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定进行证明.（见课本P48探究）

拓展：

梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半.（连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）

【典例】

1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：

∠BME=∠CNE.

（提示：

取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）

2.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．

求证：

（1）四边形AECF是平行四边形．

（2）EF与GH互相平分．

【方法总结】

经典模型：

如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．

若AB=CD，则∠BME=∠CNE.

方法：

要证明线段（或角）相等、两直线平行等，若这两条线段在一个四边形中，一般先判定这个四边形为平行四边形，然后再利用平行四边形的性质去解决.

【随堂练习】

1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S△ACD为（　　）

A.5B.10C.20D.无法确定

2.如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．则△PMN的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.任意三角形

3.如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　）

A.

B.2C.

D.3

4.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（　　）

A.8B.9C.10D.11

5.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（　　）

A.8B.6C.4D.3

6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（　　）

A.1次B.2次C.3次D.4次

知识点2矩形

矩形：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图：

矩形ABCD.

1.矩形的性质

矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：

①矩形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）

②矩形的对角线相等；（AC=BD）

③对称性：

矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是对边中点的连线）

推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在Rt△ADC中，DO为斜边AC的中线，

则DO=

AC）

拓展：

若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形.

2.矩形的判定

矩形的判定方法：

①有一个角时直角的平行四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形；

③三个角都是直角的四边形是矩形.

3.拓展

矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形.

【典例】

1.如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．

（1）求证：

四边形AGPH是矩形；

（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？

若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

【方法总结】

方法：

矩形的两条对角线相等，当求其中一条对角线的长（最小值或取值范围）时，可以转化为求另一条对角线的长（最小值或取值范围）.

总结：

证明一个四边形是不是矩形，有两条证明思路：

①直接证明（证明该四边形有3个直角）；②先证该四边形为平行四边形，再证明它是矩形（有一个角相等或对角线相等）.

【随堂练习】

1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（　　）

A.10B.12C.14D.16

2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（　　）

A.∠ACD=∠BCDB.AD=BDC.CD⊥ABD.CD=AC

3.矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH的值为（　　）

A.1B.

C.

D.

4.如图：

点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（　　）

A.12B.6C.12.5D.25

知识点3菱形

菱形：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图：

菱形ABCD.

1.菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：

①菱形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）

②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（AC⊥BD，AC是∠DAB

和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA的角平分线）

③对称性：

菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直

线（AC，BD））

2.菱形的判定

菱形的判定方法：

①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边相等的四边形是矩形.

3.拓展

①菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形；

②菱形的面积等于两对角线乘积的一半.

【典例】

1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE=CD.

（1）求证：

四边形ABCD是菱形；

（2）若OE=2，OA=1，求四边形ABCD的面积．

【方法总结】

方法：

判定一个四边形是不是菱形，从2个角度出发：

①四边形，直接证明四条边都相等或对角线互相垂直平分；②先证四边形为平行四边形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直.

【随堂练习】

1.如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM=AB，则∠C为（　　）

A.100°B.105°C.110°D.120°

2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（　　）

A.10B.12C.16D.18

3.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（　　）

A.AD=BCB.BD⊥DE

C.四边形ACED是菱形D.四边形ABCD的面积为4

知识点4正方形

正方形：

有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.如图：

正方形ABCD.

1.正方形的性质

正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下：

①正方形的对边平行且相等；（AB∥CD，AB=CD；BC∥AD，BC=AD）

②正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）

③正方形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）

④正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD，

AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA

的角平分线）

⑤对称性：

正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它

的两条对角线所在的直线（AC，BD））

2.正方形的判定

正方形的判定方法：

①有一组邻边相等的矩形是正方形；

②有一个角是直角的菱形是正方形.

判定正方形的思路图：

3.拓展

正形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

【典例】

1.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=

，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

（1）求证：

矩形DEFG是正方形；

（2）探究：

CE+CG的值是否为定值？

若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【方法总结】

正方形的证明思路：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；

②先判定四边形是菱形，在判定这个菱形是矩形.

【随堂练习】

1.平行四边形ABCD的对角线交于点O，有五个条件：

①AC=BD，②∠ABC=90°，③AB=AC，④AB=BC，⑤AC⊥BD，则下列哪个组合可判别这个四边形是正方形（　　）

A.①②B.①③C.①④D.④⑤

2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：

①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（　　）

A.②③B.②④C.②③④D.①③④

3.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，∠AED=45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（　　）

A.4

B.

C.2+2

D.2+2

知识点4中点四边形

1.中点四边形：

顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.

如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH为中点四边形.

2.常见中点四边形

①四边形的中点四边形为平行四边形；

②矩形的中点四边形为菱形；

③菱形的中点四边形为矩形；

④正方形的中点四边形为正方形；

⑤等腰梯形的中点四边形为菱形；

⑥对角线相等的中点四边形为菱形；

⑦对角线互相垂直的中点四边形为矩形.

【典例】

1.观察探究，解决问题．在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．

（1）如图，求证：

中点四边形EFGH是平行四边形；

（2）请你探究并填空：

①当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是_______________；

②当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是__________________；

③当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是________________；

【方法总结】

总结：

依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系有关.

①若两对角线相等，新四边形为菱形；

②若两对角线互相垂直，新四边形为矩形；

③若两对角线相等且互相垂直，新四边形为正方形.

【随堂练习】

1.已知E、F、G、H四点分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，若四边形EFGH是菱形，则下列结论：

①∠A=90°；②AB=BC；③AC=BD；④AC⊥BD.其中正确的是（　　）

A.①②B.①③C.②④D.③④

2.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC的长度为（　　）

A.20cmB.15cmC.10cmD.5cm

3.如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　）

A.当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形

B.当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形

C.当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D.当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形

综合运用

1.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：

“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：

小青：

OE=OF；小何：

四边形DFBE是正方形；

小夏：

S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：

∠ACE=∠CAF．

这四位同学写出的结论中不正确的是__________.

2.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=9，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，EG2+FH2=____________.

3.如图，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE的长度．

（提示：

取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）

4.如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=

BC，连接CD和EF．

（1）求证：

四边形CDEF是平行四边形；

（2）求四边形BDEF的周长．

5.在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．

（1）求证：

四边形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．

（1）求证：

四边形OCED是矩形；

（2）若CE=1，DE=2，求菱形ABCD的面积．

7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC.

（1）求证：

四边形DBEC是菱形；

（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．

8.如图，在矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．

（1）若DG=2，求证：

四边形EFGH为正方形；

（2）若DG=6，求△FCG的面积．