第三版常微分方程答案1.docx

1、第三版常微分方程答案1习题1.21. dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dx解：d =2xdx 两边积分有：In |y|=x 2 +cy2y=e x +ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1时c=12特解为y= e x .2. x=0,y=1的特解。y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:解：y 2 dx=-(x+1)dy卑 dy=-ydx1 1两边积分：- =-ln|x+1|+ln|c| y=y In | c(x +1) |另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1 时c=e特解:y=

2、1In |c(x 1)|dy = 1 +y2 dx xy x3y2解：原方程为： 型=1 y 飞dx y x + xdy =- x ydx x y令.X =u 贝y d =u+x-du 代入有: x dx dx1du= dxx2 2ln(u +1)x =c-2arctgu即 ln(y 2 +x2 )=c-2arctg 当x6. x d -y+ x2 - y2 =0dx解：原方程为:dz=_y +凶dx x x则令=u虬u+ xdxdudx du=sgnx.1 -u2丄dxarcsin =sg nx In |x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0解：原方程为： 业=-tgy ctgx两边积

3、分：ln |si ny|=-l n|cosx|-l n|c|1 csiny= = 另外y=0也是原方程的解，而 c=0时，y=0.ccosx cosx所以原方程的通解为 siny cosx=c.dy+ ey2 3x=0dx y2解：原方程为：eye3xdxy2 e 3x-3e=c.9.x(l nx-l ny )dy-ydx=O解：原方程为：dy :lnydxxx令=u ,则矽=u+ xduxdxdxdu ,u+ x =ulnudxln(ln u-1)=-l n|cx|y1+ln =cy.xdy x_y10. =edx解：原方程为:y=exe-ydxy =ce11哭=(x+y) 2解：令 x+y

4、=u,贝卩 砂=理 -1dx dx巴-1=udx2 du=dx1 uarctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dy = 12dx (x y)解：令 x+y=u,贝卩 业=屯 -1dx dxdu彳1-1=Pdx uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13. dy =2x_y +1 dx x 2y +1解：原方程为：(x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=02 2dxy-d(y -y)-dx +x=c xy-y +y-x 2 -x=c14： dy = x -y 5dx x - y - 2解：原方程为：(x-

5、y-2 ) dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=01 2 1 2dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=02 2y +4y+x +10x-2xy=c.15: 巴=(x+1) 2 +(4y+1) 2+8xy Tdx解：原方程为:令 x+4y=u翌=(x+4y)dx则 dy=idu dx 4 dx2+31 du 1=u2+34 dx 4 巴=4 u2+13 dx3u= tg(6x+c)-122tg(6x+c)= (x+4y+1).316:证明方程 d =f(xy),经变换y dxxy=u可化为变量分离方程,并由此求下列方程:2 21) y(1+x y )

6、dx=xdy2) x dy =2 x2 y22 2y dx 2-x y证明： 令 xy=u,贝U x 鱼 +y= du dx dx 则矽=丄理-目，有: dx x dx xx du ,=f(u)+1u dx1u(f(u) 1)du= 1 dx所以原方程可化为变量分离方程。dy 1 du u /八1)令 xy=u 贝 U = - - (1)dx x dx x原方程可化为： = 1+ (xy) 2 (2)dx x将1代入2式有：1屯-耳=丄(1+口 2)x dx x x2u= . u 2 +cx17. y=y (x- x )+ y求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。 解：设(x

7、 +y )为所求曲线上任意一点，则切线方程为： 则与x轴，y轴交点分别为：x= X 0 -也 y= y 0 - x 0 yy贝U x=2 x 0 = x 0 - -y 所以 xy=cyTT18. 求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为 0的曲线方程，其中:=-4v 1 1解：由题意得：y = dy= dxx y xIn |y|=l n|xc| y=cx.j.= 贝U y=tg、丄 x 所以 c=1 y=x.419. 证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则 y =kx贝V: y=kx 2 +c即为所求。常微分方程习题2.11.鱼=2

8、xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx解：对原式进行变量分离得2 2In |y=x 亠 c,即 y=c ex 把 x = 0, y = 1 代入得1dy = 2 xdx ,两边同时积分得： y2c =1,故它的特解为 y =ex。22. y dx (x - 1)dy二0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：1dx 2 dy, 当 y = 0时,两边同时积分得1In x +1 =_ + c,即y =y1c Inx 1当y二0时显然也是原方程的解。当x = 0, y = 1时，代入式子得c二1,故特解是 1 1+1 n” +x2dy 一 1 ydx3xy

9、 x y解：原式可化为:dydxy - 0,故分离变量得 dy = 13 dxy 1 y x x两边积分得；ni+y2In1x 一In 12+ x2 +l nc(cO),即(1 +2 2 2 y )(1 X)二 cX、, 2 2 2故原方程的解为（1 y）（X）=CX5:(y x)dy (y _x)dx =0解型=口,令ydx y x x訴y-ux-udxdu x - dx则u 二变量分离，得：-d-dxdx u +1 u +1 x两边积分得:1 2arctgu - ln(1 u)二-In x c。6 xdby x-y2解：令,u，y,鴛十嚨则原方程化为:2 2du .X(1-U)dx x,分

10、离变量得:1du1=sgnx *-xdx两边积分得：arcsinu =sgnx ln x c 代回原来变量，得 arcsin= =sgnx ln x cx2 2另外，y=x也是方程的解。7: tgydx-ctgxdy = 0解：变量分离，得：ctgydy二tgxdx 两边积分得：In siny - -In cosx c.8:2dy = eydx y解：变量分离，得y dy 1 3xy 3ey9 : x(ln x -In y)dy -ydx =0解：方程可变为：-In 乂dy-ydx=0x x令口 =y,贝V有In u d Inux x 1 I n u代回原变量得：cy =1 I n#。x10轨

11、dx d解：变量分离 e dy = e dx两边积分ey =ex c4:(1 x)ydx (1y)xdy =0解：由y = 0或x = 0是方程的解，当xy = 0时，变量分离-一X dx =上 dy = 0x y两边积分 In x +x +ln y - y = c,即卩In xy + x y = c,故原方程的解为In xy = x 一 y = c; y = 0; x = 0.dy x _ydx=e解：变量分离，J dy二e dx 两边积分得：e ex c2=(x y)解：令 x y ，则 =-dt 1dx dx变量分离得：12 dt - dx,两边积分 arctgt - x c t 1代回

12、变量得：arctg (x y) = x c原方程可变为：史=$ 1dx ?12.dy 1_ 2 dx (x y)令x y二t，则3=0 -1,原方程可变为生 1dx dx dx t、 t2 、 变量分离 dt =dx，两边积分t -arctgt =x c,代回变量 t2 +1x y _ arctg(x y)二 x cc,13.dy _ 2x _ y _1dx x -2y 11 1解：方程组 2x -y -1 = 0,x -2y 1 = 0;的解为x ,y =3 3令x汰丄厂丫则有空二g，3 3 dX X - 2Y2令=U，则方程可化为：二生空 2U-X dX 1 - 2U变量分离仇dy _x-

13、y+5dx x - y - 2解：令 x -y =5 二t,则 dy =1-2,dx dx原方程化为：1 -史=，变量分离(t- 7)dt- 7dxdx t 71 2两边积分t -7t二-7x c2t代回变量(x- y 5)2 -7(x -y 5) = -7x c.15.2 2(x 1) (4y 1) 8xy 1dx解：方程化为 dy = x2 2x1 16y2 8y 1 8xy (x 4y 1)2 2dx令1 x 4 u，贝U关于x求导得1 - 4 = dU，所以1旦=u2 9,dx dx 4 dx 41 2 2 8 一分离变量 一z du二dx,两边积分得arctg ( x y) = 6x

14、 c,是4u2 +9 3 3 3原方程的解。16.dydx6 2y -2x5 222xy x y解:dydx(y3)2 -2x2 叵y2(2xy3 x2 dx3(y3)2-2x22xy3 x2令y3 =u,则原方程化为dudx3u2-6x22xu x23u2 6厂一6xu2 1xx空，所以dx=乙则屯二zdx-6 = 0,得 z = 3或 z3z2 -62z 1z22z - z - 62z 1=3x或y3 - -2x是方程的解。dzx 一dx3ydzx 一,dx=-2是（1）方程的解。1 dz 二一dx,x-3x或 y3(1)2z 1z2 _ z _ dy3 -3x)7(y3 2x)3 二 x

15、5c,又因为 y3的解为(y3 -3x)7(y3 2x)x15c当z2即（z6 = 0时，变量分离两边积分的(z-3)7(z 2)3 = x5c,=-2x包含在通解中当c = 0时。故原方程317 dy 2x +3xy+x1 * dx 3x2y 2y - ydy x(2x2+3y2+1)dy2 2x2+3y2+1解：原方程化为2 2 ； 2 2 2dx y(3x 2y -1) dx 3x 2y -1方程组2U, ； ； ； ； ； xduv 贝ydv2v 3u 13v 2u -1(1)2v + 3u +1 = 0+2u 1 =0的解为（1, -1）令Z =v-1, Y =u 1,则有曲二,从而

16、方程d 2+31)化为鱼 zdz 3 + 2#zz生 dz dz,所以 t z-dt-=dz2 3t3 2t2dt 2 - 2t zdz 3 2t当 2 -2t2 =0时，即t 1,是方程（2）的解。得y2 =x2 -2或y2 - -x2是原方程的解 当2 3 亠 2t1 222252 -2t =0时，分离变量得 2dt dz两边积分的y =（y -x ，2）c2 -2t2 z另外y2 =x2 -2,或y2 = -x2,包含在其通解中，故 原方程的解为 屮 x2 =（y2 -x2 2）5c18证明方程-= = f(xy)经变换xy =u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程 y dx(1) .

17、y(1 x2y2)dx 二 xdy2 2(2) xdy _2 +x y(2). 22y dx 2 - x y证明：因 为xy = u,关于x求导导得y - x = ,所以x =d -y dx dx dx dx得:y dx-仁 f(u),du-y(f(u) 1)=(f(u) 1) =1 (uf(u) u)x x故此方程为此方程为变程解(1):当x =0或y =0是原方程的解，当xy =0s时，方程化为凹=1 - x2y2y dx 八丿du 1 ,3 dx2u u x令则方程化为舄2两边同时积分得：一2u +22= -(2u u3),变量分离得：x2,即二呂 cx2,y =0也包含在此通解中。x2

18、y 24=cx故原方程的解为一 2 2x y +22 u22解令xy二u，则原方程化为d =-(udx x 2uy分离变量得口2du 4u=dx，两边积分得ln =xu)Vx 2 u2c，这也就是方程的解。4c，x19.已知f(x) f (x)dt =1,x = 0,试求函数f (x)的一般表达式0解：设 f(x)=y,则原方程化为f (x)dt0 y两边求导得yy3-ydydx； dx1 1 1 1；两边积分得 x+c = = -7；;所以 y = ( y dy 2 y 2x c扌巴y = 代入*2x +cx1 f (x)dt0 yx 1 +济 dt2x+c;；-(2x cc)-2x c得c

19、 二 0,所以y 二12x20.求具有性质 x(t+s)= -X(t) X(S的函数x(t),已知x (0)存在。x(t)x(s)解：令 t=s=0 x(0)= 乞0 x(0) = 2x(0) 若 x(0)工 0 得 x =-1 矛盾。1 -x(0) 1 -x(0)x(0)2x(t 二 t)x(t) x(. ：t)(1 x (t) 2.所以 x(0)=0. x (t)= lim lim x(0)(1 x2(t)At At1 x(t)x(At)dx) =x(0)(1 x2(t) dx?) x(0)dt 两边 积分得 arctg x(t)=x (0)t+cdt 1 x (t)x(t)=tgx (0

20、)t+c 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以x(t)=tgx (0)t习题2.2求下列方程的解1. dy = y sin x dx|dx . . dx解：y=e ( sinxe dx c)Xr1 -K , - 丄 、=e - e (sinx cosx )+c21x=c e解:虫=-3x+e 2tdtf.J3dt所以：x=e (原方程可化为:2t _ -3dte e dt c)(sinx cosx)是原方程的解。 2=e t ( le5t +c)51=c e te2t是原方程的解。5_ ds 一 1 . c3. =-s cost + sin2tdt 2|- costdt 1 |3dt

21、解：s=e ( sin 2t e dt c )，2=e _sint ( sintcostesintdt c)-si ntsin t(sinte-esin t sin t=cesint -1 是原方程的解。4- dy - y 二 exxn , n 为常数. dx n解：原方程可化为： y exxndx n(exxne4dx c)= xn(ex c)是原方程的解dy 1 -2x5. +2 y -1 =0dx x2解：原方程可化为： 矽=-1 一严y 1dx x21 _2x.Fdx宀dx c)Jn x2(e1dx c)12=x (1 cex)是原方程的解dy x4 x3dx xy2解:dy x4 x

22、3dx xy23业=u X屯 dx dx=x_+I y2 x令=u 贝y y 二 uxxdu x 因此：u X =p dx udu dx u 2du = dx 1 3u3 二 x c3u3 -3x = x c (*)将-u带入 (*)中 得：y3-3x4二CX3是原方程的解x理一空=(x 1)3dx x 1解空二空(xl)3dx x 1P(x) ax) =(x 1)38.型dx解:dyX +1 eP(x)Sex=(x1)2 方程的通解为：y=eP(x)dx _P(x)dx (Je Q(x)dx+c)=(x+1)(2 - 2*(x+1)dx+c)(x 1)2=(x+1)(2(x+ 1)dx+c)

23、=(x+1)22(x c)2即：2y=c(x+1) 2+(x+1)4为方程的通解yx y3 x+y 1 2x y y y1则P(y)=丄,Q(y) *2yP(y)dy Jydye = e y方程的通解为：x=eP(y)dy_p(y)dy(eQ(y)dy c)9.dL=aydx x解：R x) =a,Q(x) =x x(x)dx=xdy 310.x y = xdxdy 1解：- y xdx x方程的通解为：1y=ef(x)dx(e*)dxQ(x)dx+c)P(x)=-Q(x)=x3aa, 1 x+1 ,、=x ( a dx+c)x x当a =0时，方程的通解为y=x+In /x/+c当a = 1

24、时，方程的通解为y=cx+x ln/x/-1当a =0,1时，方程的通解为a x 1 y=cx + 1- a aP(x) dx - -dx 1e =e xx方程的通解为：p(x)dx P(x)dxy= e ( e Q(x)dx c)3= (x* x dx c)x3= c4 x3方程的通解为： y=-+-4 x-dy 3 311. xy =x y dx解:理=-xy x3y3dx两边除以y 3dy 2 3 xy x y dxdy _2 32(-xy x3)dx令宀z匹=_2(-xz x3) dx3P(x) =2x, Q(x)二-2x二exepxdx 二e2xdx方程的通解为：z=e=x故方程的通

25、解为:ePXdxleSdxQgdxX2 _x2 3(.e ( -2x )dx c)2 x2ce 1y2(x2 cex 7)=1，且y=0也是方程的解。c)c In x i12.( y I nx_2)ydx =xdy-x24 2 4解型二哑丫22!dx x x两边除以y21dy _ In x 2yy2dx x x1 1dy In x 2ydx x x令yzdz 2 In xz dx x x2 In xP(x) ,Q(x)二x x方程的通解为：P(x) dx _ P(x)dxz 二e ( e Q(x)dx c)dx dx In x 2 1 In xz=e、x ( e .x ( )dx+c) = x

26、 ( -y( )dx+c)x XX方程的通解为:y(cx2 - -) =1,且y=0也是解。4 2 41322xydy = (2y -x)dxdy 2y -x y 1 := = dx 2xy x 2y这是n=-1时的伯努利方程。1两边同除以1 ,令y2dz dy2y dx dxdz2y2-1dx xP(x)= - Q(x)=-1x由一阶线性方程的求解公式2dx _2z 心(-e x dx c)dx两边同乘以ey(ey)2 3xeydxx2令eydzdxdxdzz2 3xzdxx2x x2这是n=2时的伯努利方程。两边同除以1 dzdTdzz2 dxdT3 1 +2xz x-3Tdx z2 dxP(x)= Q(x)=dx x丄x2x x2c=x x2cey 3xdxx2由一阶线性方程的求解公式*dxdxdx c)3 1 2x ( x c)1 1 . -3= x cx22y 1 4e ( x2cx 3) =1z-x4 CX J) =11 2 y y 3x e ce x21 2 3 -yx x e c2dy =1 _ dx xy x3y3dx 3 3yx y xd