第三版常微分方程答案1.docx
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第三版常微分方程答案1
习题1.2
1.dy=2xy,并满足初始条件：
x=0,y=1的特解。
dx
解：
d^=2xdx两边积分有：
In|y|=x2+c
y
2
y=ex+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y=cex2,x=0y=1时c=1
2
特解为y=ex.
2.
x=0,y=1的特解。
y2dx+（x+1）dy=0并求满足初始条件:
解：
y2dx=-（x+1）dy
卑dy=-
y
dx
11
两边积分：
-=-ln|x+1|+ln|c|y=
yIn|c（x+1）|
另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e
特解:
y=
1
In|c（x1）|
dy=1+y2dxxyx3y
2
解：
原方程为：
型=1y飞
dxyx+x
dy=-x—y
dxxy
令.X=u贝yd^=u+x-du代入有:
xdxdx
1
du=dx
x
22
ln（u+1）x=c-2arctgu
即ln（y2+x2）=c-2arctg当
x
6.xd^-y+x2-y2=0
dx
解：
原方程为:
dz=_y+凶
dxxx
则令—=u
虬u+x
dx
du
dx
du=sgnx
.1-u2
丄dx
arcsin—=sgnxIn|x|+c
x
7.tgydx-ctgxdy=0
解：
原方程为：
业=-^
tgyctgx
两边积分：
ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|
1c
siny==另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.
ccosxcosx
所以原方程的通解为sinycosx=c.
dy+e
y23x
=0
dxy
2
解：
原方程为：
ey
e
3x
dx
y
2e3x-3e
=c.
9.x（lnx-lny）dy-ydx=O
解：
原方程为：
dy:
』ln
y
dx
x
x
令—=u,
则矽
=u+x
du
x
dx
dx
du,
u+x=ulnu
dx
ln（lnu-1）=-ln|cx|
y
1+ln=cy.
x
dyx_y
10.=e
dx
解：
原方程为:
^y=exe-y
dx
y=ce
11
哭=（x+y）2
解：
令x+y=u,贝卩砂=理-1
dxdx
巴-1=u
dx
2du=dx
1u
arctgu=x+carctg（x+y）=x+c
12.
dy=1
2
dx（xy）
解：
令x+y=u,贝卩业=屯-1
dxdx
du彳1
-1=P
dxu
u-arctgu=x+c
y-arctg（x+y）=c.
13.dy=2x_y+1dxx—2y+1
解：
原方程为：
（x-2y+1）dy=（2x-y+1）dxxdy+ydx-（2y-1）dy-（2x+1）dx=0
22
dxy-d（y-y）-dx+x=cxy-y+y-x2-x=c
14：
dy=x-y5
dxx-y-2
解：
原方程为：
（x-y-2）dy=（x-y+5）dx
xdy+ydx-（y+2）dy-（x+5）dx=0
1212
dxy-d（y+2y）-d（x+5x）=0
22
y+4y+x+10x-2xy=c.
15:
巴=（x+1）2+（4y+1）2+8xyT
dx
解：
原方程为:
令x+4y=u
翌=（x+4y）
dx
则dy=idudx4dx
2+3
1du1
=u2+3
4dx4巴=4u2+13dx
3
u=tg（6x+c）-1
2
2
tg（6x+c）=（x+4y+1）.
3
16:
证明方程—d^=f（xy）,经变换
ydx
xy=u可化为变量分离方程,
并由此求下列方程:
22
1）y（1+xy）dx=xdy
2）xdy=2x2y2
22
ydx2-xy
证明：
令xy=u,贝Ux鱼+y=dudxdx则矽=丄理-目，有:
dxxdxx
xdu,
=f（u）+1
udx
1
u（f（u）1）
du=1dx
所以原方程可化为变量分离方程。
dy1duu/八
1）令xy=u贝U=--
（1）
dxxdxx
原方程可化为：
—=—[1+（xy）2]
（2）
dxx
将1代入2式有：
1屯-耳=丄（1+口2）
xdxxx
2
u=..u2+cx
17.
y=y'（x-x）+y
求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：
设（x+y）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：
则与x轴，y轴交点分别为：
x=X0-也y=y0-x0y'
y'
贝Ux=2x0=x0--y°所以xy=c
y'
TT
18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中:
■='-
4
v11
解：
由题意得：
y'=dy=dx
xyx
In|y|=ln|xc|y=cx.
j.=—贝Uy=tg、丄x所以c=1y=x.
4
19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明：
设（x,y）为所求曲线上的任意一点，则y'=kx
贝V:
y=kx2+c即为所求。
常微分方程习题2.1
1.鱼=2xy,并求满足初始条件：
x=0,y=1的特解.dx
解：
对原式进行变量分离得
22
In|y=x亠c,即y=cex把x=0,y=1代入得
1
—dy=2xdx,两边同时积分得：
y
2
c=1,故它的特解为y=ex。
2
2.ydx（x-1）dy二0,并求满足初始条件：
x=0,y=1的特解.
解：
对原式进行变量分离得：
1
dx2dy,当y=0时,
两边同时积分得
1
Inx+1=_+c,即y=
y
1
cInx1
当y二0时显然也是原方程的解。
当x=0,y=1时，代入式子得c二1,故特解是
1
1+1n”+x
2
dy一1y
dx
3
xyxy
解：
原式可化为:
dy
dx
y-■0,故分离变量得dy=—1―3dx
y1yxx
两边积分得
；ni+y2
In
1
x—一In1
2
+x2+lnc（c^O）,即（1+
222y）（1X）二cX
、,222
故原方程的解为（1y）（「X）=CX
5:
（yx）dy（y_x）dx=0
解型=口,令y
dxyxx
訴y-ux^-u
dx
dux-dx
则u二变量分离，得：
—-^d^-dx
dxu+1u+1x
两边积分得:
12
arctgu-ln（1u）二
-Inxc。
6xdbyx-y2
解：
令,u，y",鴛十嚨则原方程化为:
22
du.X（1-U）
dxx
分离变量得:
1
du
1
=sgnx*-
x
dx
两边积分得：
arcsinu=sgnx«lnxc代回原来变量，得arcsin==sgnx«lnxc
x
22
另外，y=x也是方程的解。
7:
tgydx-ctgxdy=0
解：
变量分离，得：
ctgydy二tgxdx两边积分得：
Insiny--Incosxc.
8:
2
dy=ey
dxy
解：
变量分离，得
ydy13x
y3
ey
9:
x（lnx-Iny）dy-ydx=0
解：
方程可变为：
-In乂・dy-ydx=0
xx
令口=y,贝V有InudInu
xx1Inu
代回原变量得：
cy=1In#。
x
10轨「
dxd
解：
变量分离edy=edx
两边积分ey=exc
4:
（1x）ydx（1「y）xdy=0
解：
由y=0或x=0是方程的解，当xy=0时，变量分离-一Xdx=上^dy=0
xy
两边积分Inx+x+lny-y=c,即卩Inxy+x—y=c,
故原方程的解为Inxy=x一y=c;y=0;x=0.
dyx_y
dx=e
解：
变量分离，Jdy二edx两边积分得：
e^ex■c
2
=（xy）
解：
令xy"，则=-dt1
dxdx
变量分离得：
1
2dt-dx,两边积分arctgt-xct1
代回变量得：
arctg（xy）=xc
原方程可变为：
史=$•1
dx?
12.
dy1
_2dx（xy）
令x•y二t，则3=0-1,原方程可变为生•1
dxdxdxt
、t2、变量分离——dt=dx，两边积分t-arctgt=x■c,代回变量t2+1
xy_arctg（xy）二xc
c,
13.
dy_2x_y_1
dxx-2y1
11
解：
方程组2x-y-1=0,x-2y•1=0;的解为x,y=
33
令x汰丄厂丫」则有空二g，
33dXX-2Y
2
令—=U，则方程可化为：
二生空2U-
XdX1-2U
变量分离
仇dy_x-y+5
'dxx-y-2
解：
令x-y=5二t,则dy=1-2,
dxdx
原方程化为：
1-史=—，变量分离（t-7）dt-7dx
dxt—7
12
两边积分—t-7t二-7xc
2t
代回变量—（x-y5）2-7（x-y5）=-7xc.
15.
22
（x1）（4y1）8xy1
dx
解：
方程化为dy=x22x116y28y18xy（x4y1）22
dx
令1x4^u，贝U关于x求导得1-4^^=dU，所以1旦=u29,
dxdx4dx4
1228一
分离变量一zdu二dx,两边积分得arctg（xy）=6x•c,是
4u2+9333
原方程的解。
16.
dy
dx
62
y-2x
52~2
2xyxy
解:
dy
dx
（y3）2-2x2叵
y2（2xy3x2dx
3（y3）2-2x2]
2xy3x2
令y3=u,则原方程化为
du
dx
3u2
-6x2
2xux2
3u26
厂一6
x
u
2—1
x
x空，所以
dx
=乙则屯二z
dx
-6=0,得z=3或z
3z2-6
2z1
z2
2
z-z-6
2z1
=3x或y3--2x是方程的解。
dz
x一
dx
3
y
dz
x一,
dx
=-2是
（1）方程的解。
1dz二一dx,
x
-3x或y3
（1）
2z1
z2_z_d
y3-3x）7（y32x）3二x5c,又因为y3
的解为（y3-3x）7（y32x）^x15c
当z2
即（
「z
「6=0时，变量分离
两边积分的（z-3）7（z•2）3=x5c,
=-2x包含在通解中当c=0时。
故原方程
3
17dy2x+3xy+x
1*■~~
dx3x2y2y-y
dyx（2x2+3y2+1）……dy22x2+3y2+1
解：
原方程化为
22；；；；；222
dxy（3x2y-1）dx3x2y-1
方程组
2
—U,；；；；；x
du
v贝y
dv
2v3u1
3v2u-1
（1）
2v+3u+1=0
+2u—1=0
的解为（1,-1）
令Z=v-1,,Y=u1,
则有曲二,…从而方程
d2+3》
1）化为鱼z
dz3+2#
z
—z生dzdz
所以t■z-dt-=
dz
23t
32t
2
dt2-2tz
dz32t
当2-2t2=0时，，即t»1,是方程
（2）的解。
得y2=x2-2或y2--x2是原方程的解当
23亠2t122225
2-2t=0时，，分离变量得2dtdz两边积分的y=（y-x，2）c
2-2t2z
另外
y2=x2-2,或y2=-x2,包含在其通解中，故原方程的解为屮x2=（y2-x2•2）5c
18•证明方程-=^^=f（xy）经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程ydx
（1）.y（1x2y2）dx二xdy
22
（2）xdy_2+xy
（2）.2~2
ydx2-xy
证明：
因为xy=u,关于x求导导得y-x=^,所以x^=d^-ydxdxdxdx
得:
ydx
-仁f（u）,
du
-y（f（u）1）
=—（f（u）1）=1（uf（u）u）
xx
故此方程为此方程为变程
解
（1）:
当x=0或y=0是原方程的解，当xy=0s时，方程化为△凹=1-x2y2
ydx八丿
du1,
3dx
2uux
令—则方程化为舄
2
两边同时积分得：
一2^—
u+2
2
=-（2uu3）,变量分离得：
x
2
即二■呂cx2,y=0也包含在此通解中。
x2y2
4
=cx
故原方程的解为一22
xy+2
2u2
2
解⑵令xy二u，则原方程化为d^=-（u
dxx2—u
y
分离变量得口
2
du4u
=」dx，两边积分得ln—=
x
u）V
x2—u
2
c，这也就是方程的解。
4
c，
x
19.已知f（x）f（x）dt=1,x=0,试求函数f（x）的一般表达式
0
解：
设f（x）=y,
则原方程化为
f（x）dt」
0y
两边求导得
y」'
y
3
-y
dy
dx
；；；；；；dx
1111
；；；；；；；；；；；；两边积分得x+c==-7；;;;;所以y=±（
ydy2y2xc
扌巴y=±—代入
*'2x+c
x
1f（x）dt
0y
x1
+济dt""2x+c;;;;;;
;;;；-（2xc
c）
-2xc得c二0,所以y二
1
2x
20.求具有性质x（t+s）=-X（t）X（S^的函数x（t）,已知x'（0）存在。
x（t）x（s）
解：
令t=s=0x（0）=乞0^x（0）=2x（0）若x（0）工0得x=-1矛盾。
1-x（0）1-x（0）x（0）
2
x（t二t）「x（t）x（.：
t）（1x（t））2..
所以x（0）=0.x'（t）=limlimx'（0）（1x2（t））
AtAt[1—x（t）x（At）
dx^）=x'（0）（1x2（t））dx?
）x'（0）dt两边积分得arctgx（t）=x'（0）t+c
dt1x（t）
x（t）=tg[x'（0）t+c]当t=0时x（0）=0故c=0所以
x（t）=tg[x'（0）t]
习题2.2
求下列方程的解
1.dy=ysinxdx
|dx..dx
解：
y=e（sinxedxc）
Xr1-K,-丄、、
=e[-e（sinxcosx）+c]
2
1
x
=ce
解:
虫=-3x+e2t
dt
f.J3dt
所以：
x=e•（
原方程可化为:
2t_-3dt
eedtc）
（sinx•cosx）是原方程的解。
2
=e"t（le5t+c）
5
1
=ce^t^e2t是原方程的解。
5
_ds一1.c
3.=-scost+sin2t
dt2
|-costdt1|3dt
解：
s=e（sin2tedtc）
，2
=e_sint（sintcostesintdtc）
-sint
sint
（sinte
-e
sint
•sint
=ce
•sint-1是原方程的解。
4-dy--y二exxn,n为常数.dxn
解：
原方程可化为：
—yexxn
dxn
（exxne「4
dxc）
=xn（exc）是原方程的解
dy1-2x
5.+—2y-1=0
dxx2
解：
原方程可化为：
矽=-1一严y1
dxx2
1_2x
.Fdx
⑹宀》
dxc）
Jnx2
（e
1
"dxc）
1
2
=x（1cex）是原方程的解
dyx4x3
dxxy2
解:
dyx4x3
dxxy2
3
业=uX屯dxdx
=x_+Iy2x
令—=u贝yy二ux
x
dux因此：
u•X=pdxu
dudxu2du=dx13
u3二xc
3
u3-3x=xc（*）
将--u带入（*）中得：
y3-3x4二CX3是原方程的解
x
理一空=（x1）3
dxx1
解空二空（xl）3
dxx1
P（x）—ax）=（x1）3
8.型
dx
解:
dy
X+1eP（x）Se~x=（x・1）2方程的通解为：
y=e
P（x）dx_P（x）dx
」（Je」Q（x）dx+c）
=（x+1）（
2-2*（x+1）dx+c）
（x1）2
=（x+1）（
2
（x+1）dx+c）
=（x+1）
2
2（（xc）
2
即：
2y=c（x+1）2+（x+1）4为方程的通解
y
xy
3‘
x+y12
xyyy
1
则P（y）=丄,Q（y）*2
y
P（y）dyJydy
e=ey
方程的通解为：
x=e
P（y）dy
_p（y）dy
（〕e」
Q（y）dyc）
9.dL=ay
dxx
解：
Rx）=a,Q（x）=■
xx
（x）dx
=x
dy3
10.xy=x
dx
dy1
解：
-yx
dxx
方程的通解为：
1
y=ef（x）dx（e*）dxQ（x）dx+c）P（x）=-°Q（x）=x3
a
a,1x+1,、
=x（adx+c）
xx
当a=0时，方程的通解为
y=x+In/x/+c
当a=1时，方程的通解为
y=cx+xln/x/-1
当a=0,1时，方程的通解为
ax1y=cx+——
1-aa
P（x）dx--dx1
e=ex
x
方程的通解为：
p（x）dx—[P（x）dx
y=e（eQ（x）dxc）
3
=（x*xdxc）
x
3
=—c
4x
3
方程的通解为：
y=-+-
4x
-dy33
11.xy=xydx
解:
理=-xyx3y3
dx
两边除以y3
dy23
—xyxydx
dy_23
2（-xyx3）
dx
令宀z
匹=_2（-xzx3）dx
3
P（x）=2x,Q（x）二-2x
二ex
epxdx二e2xdx
方程的通解为：
z=
=e
=x
故方程的通解为:
ePXdxleSdxQgdx
X2_x23
（.e（-2x）dxc）
2x2
ce1
y2（x2cex7）=1，且y=0也是方程的解。
c）
cInxi
12.（yInx_2）ydx=xdy-x2
424
解型二哑丫2—2!
dxxx
两边除以y2
1
dy_Inx2y
y2dxxx
11
dyInx2y
dxxx
令y—z
dz2Inx
z—
dxxx
2Inx
P（x）,Q（x）二
xx
方程的通解为：
P（x）dx_P（x）dx
z二e（eQ（x）dxc）
dxdxInx21Inx
z=e、x（[e.x（—）dx+c）=x（[-y（—）dx+c）
xXX
方程的通解为:
y（cx2—--）=1,且y=0也是解。
424
13
2
2xydy=（2y-x）dx
dy2y-xy1
:
==—
dx2xyx2y
这是n=-1时的伯努利方程。
1
两边同除以1,
令y2
dzdy
2y—
dxdx
dz
2y2
-1
dxx
P（x）=-Q（x）=-1
x
由一阶线性方程的求解公式
2dx_2
z心（-exdxc）
dx
两边同乘以
ey
（ey）23xey
dx
x2
令ey
dz
dx
dx
dz
z23xz
dx
x2
xx2
这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以
1dz
dT
dz
z2dx
dT
31
+——
2
xzx
-3T
dxz2dx
P（x）=—Q（x）=
dxx
丄
x2
xx2c
=xx2c
ey3x
dx
x2
由一阶线性方程的求解公式
*dx
dx
dxc）
312
x（xc）
11.-3
=xcx
2
2
y14
e（x
2
cx3）=1
z^-x4CXJ）=1
12yy3
xecex
2
123-y
—xxec
2
dy=—1_dxxyx3y3
dx33
yxyx
d
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