第三版常微分方程答案1.docx
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第三版常微分方程答案1
习题1.2
1.dy=2xy,并满足初始条件:
x=0,y=1的特解。
dx
解:
d^=2xdx两边积分有:
In|y|=x2+c
y
2
y=ex+ec=cex2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0
原方程的通解为y=cex2,x=0y=1时c=1
2
特解为y=ex.
2.
x=0,y=1的特解。
y2dx+(x+1)dy=0并求满足初始条件:
解:
y2dx=-(x+1)dy
卑dy=-
y
dx
11
两边积分:
-=-ln|x+1|+ln|c|y=
yIn|c(x+1)|
另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e
特解:
y=
1
In|c(x1)|
dy=1+y2dxxyx3y
2
解:
原方程为:
型=1y飞
dxyx+x
dy=-x—y
dxxy
令.X=u贝yd^=u+x-du代入有:
xdxdx
1
du=dx
x
22
ln(u+1)x=c-2arctgu
即ln(y2+x2)=c-2arctg当
x
6.xd^-y+x2-y2=0
dx
解:
原方程为:
dz=_y+凶
dxxx
则令—=u
虬u+x
dx
du
dx
du=sgnx
.1-u2
丄dx
arcsin—=sgnxIn|x|+c
x
7.tgydx-ctgxdy=0
解:
原方程为:
业=-^
tgyctgx
两边积分:
ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|
1c
siny==另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0.
ccosxcosx
所以原方程的通解为sinycosx=c.
dy+e
y23x
=0
dxy
2
解:
原方程为:
ey
e
3x
dx
y
2e3x-3e
=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=O
解:
原方程为:
dy:
』ln
y
dx
x
x
令—=u,
则矽
=u+x
du
x
dx
dx
du,
u+x=ulnu
dx
ln(lnu-1)=-ln|cx|
y
1+ln=cy.
x
dyx_y
10.=e
dx
解:
原方程为:
^y=exe-y
dx
y=ce
11
哭=(x+y)2
解:
令x+y=u,贝卩砂=理-1
dxdx
巴-1=u
dx
2du=dx
1u
arctgu=x+carctg(x+y)=x+c
12.
dy=1
2
dx(xy)
解:
令x+y=u,贝卩业=屯-1
dxdx
du彳1
-1=P
dxu
u-arctgu=x+c
y-arctg(x+y)=c.
13.dy=2x_y+1dxx—2y+1
解:
原方程为:
(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
22
dxy-d(y-y)-dx+x=cxy-y+y-x2-x=c
14:
dy=x-y5
dxx-y-2
解:
原方程为:
(x-y-2)dy=(x-y+5)dx
xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0
1212
dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0
22
y+4y+x+10x-2xy=c.
15:
巴=(x+1)2+(4y+1)2+8xyT
dx
解:
原方程为:
令x+4y=u
翌=(x+4y)
dx
则dy=idudx4dx
2+3
1du1
=u2+3
4dx4巴=4u2+13dx
3
u=tg(6x+c)-1
2
2
tg(6x+c)=(x+4y+1).
3
16:
证明方程—d^=f(xy),经变换
ydx
xy=u可化为变量分离方程,
并由此求下列方程:
22
1)y(1+xy)dx=xdy
2)xdy=2x2y2
22
ydx2-xy
证明:
令xy=u,贝Ux鱼+y=dudxdx则矽=丄理-目,有:
dxxdxx
xdu,
=f(u)+1
udx
1
u(f(u)1)
du=1dx
所以原方程可化为变量分离方程。
dy1duu/八
1)令xy=u贝U=--
(1)
dxxdxx
原方程可化为:
—=—[1+(xy)2]
(2)
dxx
将1代入2式有:
1屯-耳=丄(1+口2)
xdxxx
2
u=..u2+cx
17.
y=y'(x-x)+y
求一曲线,使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解:
设(x+y)为所求曲线上任意一点,则切线方程为:
则与x轴,y轴交点分别为:
x=X0-也y=y0-x0y'
y'
贝Ux=2x0=x0--y°所以xy=c
y'
TT
18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程,其中:
■='-
4
v11
解:
由题意得:
y'=dy=dx
xyx
In|y|=ln|xc|y=cx.
j.=—贝Uy=tg、丄x所以c=1y=x.
4
19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明:
设(x,y)为所求曲线上的任意一点,则y'=kx
贝V:
y=kx2+c即为所求。
常微分方程习题2.1
1.鱼=2xy,并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.dx
解:
对原式进行变量分离得
22
In|y=x亠c,即y=cex把x=0,y=1代入得
1
—dy=2xdx,两边同时积分得:
y
2
c=1,故它的特解为y=ex。
2
2.ydx(x-1)dy二0,并求满足初始条件:
x=0,y=1的特解.
解:
对原式进行变量分离得:
1
dx2dy,当y=0时,
两边同时积分得
1
Inx+1=_+c,即y=
y
1
cInx1
当y二0时显然也是原方程的解。
当x=0,y=1时,代入式子得c二1,故特解是
1
1+1n”+x
2
dy一1y
dx
3
xyxy
解:
原式可化为:
dy
dx
y-■0,故分离变量得dy=—1―3dx
y1yxx
两边积分得
;ni+y2
In
1
x—一In1
2
+x2+lnc(c^O),即(1+
222y)(1X)二cX
、,222
故原方程的解为(1y)(「X)=CX
5:
(yx)dy(y_x)dx=0
解型=口,令y
dxyxx
訴y-ux^-u
dx
dux-dx
则u二变量分离,得:
—-^d^-dx
dxu+1u+1x
两边积分得:
12
arctgu-ln(1u)二
-Inxc。
6xdbyx-y2
解:
令,u,y",鴛十嚨则原方程化为:
22
du.X(1-U)
dxx
分离变量得:
1
du
1
=sgnx*-
x
dx
两边积分得:
arcsinu=sgnx«lnxc代回原来变量,得arcsin==sgnx«lnxc
x
22
另外,y=x也是方程的解。
7:
tgydx-ctgxdy=0
解:
变量分离,得:
ctgydy二tgxdx两边积分得:
Insiny--Incosxc.
8:
2
dy=ey
dxy
解:
变量分离,得
ydy13x
y3
ey
9:
x(lnx-Iny)dy-ydx=0
解:
方程可变为:
-In乂・dy-ydx=0
xx
令口=y,贝V有InudInu
xx1Inu
代回原变量得:
cy=1In#。
x
10轨「
dxd
解:
变量分离edy=edx
两边积分ey=exc
4:
(1x)ydx(1「y)xdy=0
解:
由y=0或x=0是方程的解,当xy=0时,变量分离-一Xdx=上^dy=0
xy
两边积分Inx+x+lny-y=c,即卩Inxy+x—y=c,
故原方程的解为Inxy=x一y=c;y=0;x=0.
dyx_y
dx=e
解:
变量分离,Jdy二edx两边积分得:
e^ex■c
2
=(xy)
解:
令xy",则=-dt1
dxdx
变量分离得:
1
2dt-dx,两边积分arctgt-xct1
代回变量得:
arctg(xy)=xc
原方程可变为:
史=$•1
dx?
12.
dy1
_2dx(xy)
令x•y二t,则3=0-1,原方程可变为生•1
dxdxdxt
、t2、变量分离——dt=dx,两边积分t-arctgt=x■c,代回变量t2+1
xy_arctg(xy)二xc
c,
13.
dy_2x_y_1
dxx-2y1
11
解:
方程组2x-y-1=0,x-2y•1=0;的解为x,y=
33
令x汰丄厂丫」则有空二g,
33dXX-2Y
2
令—=U,则方程可化为:
二生空2U-
XdX1-2U
变量分离
仇dy_x-y+5
'dxx-y-2
解:
令x-y=5二t,则dy=1-2,
dxdx
原方程化为:
1-史=—,变量分离(t-7)dt-7dx
dxt—7
12
两边积分—t-7t二-7xc
2t
代回变量—(x-y5)2-7(x-y5)=-7xc.
15.
22
(x1)(4y1)8xy1
dx
解:
方程化为dy=x22x116y28y18xy(x4y1)22
dx
令1x4^u,贝U关于x求导得1-4^^=dU,所以1旦=u29,
dxdx4dx4
1228一
分离变量一zdu二dx,两边积分得arctg(xy)=6x•c,是
4u2+9333
原方程的解。
16.
dy
dx
62
y-2x
52~2
2xyxy
解:
dy
dx
(y3)2-2x2叵
y2(2xy3x2dx
3(y3)2-2x2]
2xy3x2
令y3=u,则原方程化为
du
dx
3u2
-6x2
2xux2
3u26
厂一6
x
u
2—1
x
x空,所以
dx
=乙则屯二z
dx
-6=0,得z=3或z
3z2-6
2z1
z2
2
z-z-6
2z1
=3x或y3--2x是方程的解。
dz
x一
dx
3
y
dz
x一,
dx
=-2是
(1)方程的解。
1dz二一dx,
x
-3x或y3
(1)
2z1
z2_z_d
y3-3x)7(y32x)3二x5c,又因为y3
的解为(y3-3x)7(y32x)^x15c
当z2
即(
「z
「6=0时,变量分离
两边积分的(z-3)7(z•2)3=x5c,
=-2x包含在通解中当c=0时。
故原方程
3
17dy2x+3xy+x
1*■~~
dx3x2y2y-y
dyx(2x2+3y2+1)……dy22x2+3y2+1
解:
原方程化为
22;;;;;222
dxy(3x2y-1)dx3x2y-1
方程组
2
—U,;;;;;x
du
v贝y
dv
2v3u1
3v2u-1
(1)
2v+3u+1=0
+2u—1=0
的解为(1,-1)
令Z=v-1,,Y=u1,
则有曲二,…从而方程
d2+3》
1)化为鱼z
dz3+2#
z
—z生dzdz
所以t■z-dt-=
dz
23t
32t
2
dt2-2tz
dz32t
当2-2t2=0时,,即t»1,是方程
(2)的解。
得y2=x2-2或y2--x2是原方程的解当
23亠2t122225
2-2t=0时,,分离变量得2dtdz两边积分的y=(y-x,2)c
2-2t2z
另外
y2=x2-2,或y2=-x2,包含在其通解中,故原方程的解为屮x2=(y2-x2•2)5c
18•证明方程-=^^=f(xy)经变换xy=u可化为变量分离方程,并由此求解下列方程ydx
(1).y(1x2y2)dx二xdy
22
(2)xdy_2+xy
(2).2~2
ydx2-xy
证明:
因为xy=u,关于x求导导得y-x=^,所以x^=d^-ydxdxdxdx
得:
ydx
-仁f(u),
du
-y(f(u)1)
=—(f(u)1)=1(uf(u)u)
xx
故此方程为此方程为变程
解
(1):
当x=0或y=0是原方程的解,当xy=0s时,方程化为△凹=1-x2y2
ydx八丿
du1,
3dx
2uux
令—则方程化为舄
2
两边同时积分得:
一2^—
u+2
2
=-(2uu3),变量分离得:
x
2
即二■呂cx2,y=0也包含在此通解中。
x2y2
4
=cx
故原方程的解为一22
xy+2
2u2
2
解⑵令xy二u,则原方程化为d^=-(u
dxx2—u
y
分离变量得口
2
du4u
=」dx,两边积分得ln—=
x
u)V
x2—u
2
c,这也就是方程的解。
4
c,
x
19.已知f(x)f(x)dt=1,x=0,试求函数f(x)的一般表达式
0
解:
设f(x)=y,
则原方程化为
f(x)dt」
0y
两边求导得
y」'
y
3
-y
dy
dx
;;;;;;dx
1111
;;;;;;;;;;;;两边积分得x+c==-7;;;;;所以y=±(
ydy2y2xc
扌巴y=±—代入
*'2x+c
x
1f(x)dt
0y
x1
+济dt""2x+c;;;;;;
;;;;-(2xc
c)
-2xc得c二0,所以y二
1
2x
20.求具有性质x(t+s)=-X(t)X(S^的函数x(t),已知x'(0)存在。
x(t)x(s)
解:
令t=s=0x(0)=乞0^x(0)=2x(0)若x(0)工0得x=-1矛盾。
1-x(0)1-x(0)x(0)
2
x(t二t)「x(t)x(.:
t)(1x(t))2..
所以x(0)=0.x'(t)=limlimx'(0)(1x2(t))
AtAt[1—x(t)x(At)
dx^)=x'(0)(1x2(t))dx?
)x'(0)dt两边积分得arctgx(t)=x'(0)t+c
dt1x(t)
x(t)=tg[x'(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以
x(t)=tg[x'(0)t]
习题2.2
求下列方程的解
1.dy=ysinxdx
|dx..dx
解:
y=e(sinxedxc)
Xr1-K,-丄、、
=e[-e(sinxcosx)+c]
2
1
x
=ce
解:
虫=-3x+e2t
dt
f.J3dt
所以:
x=e•(
原方程可化为:
2t_-3dt
eedtc)
(sinx•cosx)是原方程的解。
2
=e"t(le5t+c)
5
1
=ce^t^e2t是原方程的解。
5
_ds一1.c
3.=-scost+sin2t
dt2
|-costdt1|3dt
解:
s=e(sin2tedtc)
,2
=e_sint(sintcostesintdtc)
-sint
sint
(sinte
-e
sint
•sint
=ce
•sint-1是原方程的解。
4-dy--y二exxn,n为常数.dxn
解:
原方程可化为:
—yexxn
dxn
(exxne「4
dxc)
=xn(exc)是原方程的解
dy1-2x
5.+—2y-1=0
dxx2
解:
原方程可化为:
矽=-1一严y1
dxx2
1_2x
.Fdx
⑹宀》
dxc)
Jnx2
(e
1
"dxc)
1
2
=x(1cex)是原方程的解
dyx4x3
dxxy2
解:
dyx4x3
dxxy2
3
业=uX屯dxdx
=x_+Iy2x
令—=u贝yy二ux
x
dux因此:
u•X=pdxu
dudxu2du=dx13
u3二xc
3
u3-3x=xc(*)
将--u带入(*)中得:
y3-3x4二CX3是原方程的解
x
理一空=(x1)3
dxx1
解空二空(xl)3
dxx1
P(x)—ax)=(x1)3
8.型
dx
解:
dy
X+1eP(x)Se~x=(x・1)2方程的通解为:
y=e
P(x)dx_P(x)dx
」(Je」Q(x)dx+c)
=(x+1)(
2-2*(x+1)dx+c)
(x1)2
=(x+1)(
2
(x+1)dx+c)
=(x+1)
2
2((xc)
2
即:
2y=c(x+1)2+(x+1)4为方程的通解
y
xy
3‘
x+y12
xyyy
1
则P(y)=丄,Q(y)*2
y
P(y)dyJydy
e=ey
方程的通解为:
x=e
P(y)dy
_p(y)dy
(〕e」
Q(y)dyc)
9.dL=ay
dxx
解:
Rx)=a,Q(x)=■
xx
(x)dx
=x
dy3
10.xy=x
dx
dy1
解:
-yx
dxx
方程的通解为:
1
y=ef(x)dx(e*)dxQ(x)dx+c)P(x)=-°Q(x)=x3
a
a,1x+1,、
=x(adx+c)
xx
当a=0时,方程的通解为
y=x+In/x/+c
当a=1时,方程的通解为
y=cx+xln/x/-1
当a=0,1时,方程的通解为
ax1y=cx+——
1-aa
P(x)dx--dx1
e=ex
x
方程的通解为:
p(x)dx—[P(x)dx
y=e(eQ(x)dxc)
3
=(x*xdxc)
x
3
=—c
4x
3
方程的通解为:
y=-+-
4x
-dy33
11.xy=xydx
解:
理=-xyx3y3
dx
两边除以y3
dy23
—xyxydx
dy_23
2(-xyx3)
dx
令宀z
匹=_2(-xzx3)dx
3
P(x)=2x,Q(x)二-2x
二ex
epxdx二e2xdx
方程的通解为:
z=
=e
=x
故方程的通解为:
ePXdxleSdxQgdx
X2_x23
(.e(-2x)dxc)
2x2
ce1
y2(x2cex7)=1,且y=0也是方程的解。
c)
cInxi
12.(yInx_2)ydx=xdy-x2
424
解型二哑丫2—2!
dxxx
两边除以y2
1
dy_Inx2y
y2dxxx
11
dyInx2y
dxxx
令y—z
dz2Inx
z—
dxxx
2Inx
P(x),Q(x)二
xx
方程的通解为:
P(x)dx_P(x)dx
z二e(eQ(x)dxc)
dxdxInx21Inx
z=e、x([e.x(—)dx+c)=x([-y(—)dx+c)
xXX
方程的通解为:
y(cx2—--)=1,且y=0也是解。
424
13
2
2xydy=(2y-x)dx
dy2y-xy1
:
==—
dx2xyx2y
这是n=-1时的伯努利方程。
1
两边同除以1,
令y2
dzdy
2y—
dxdx
dz
2y2
-1
dxx
P(x)=-Q(x)=-1
x
由一阶线性方程的求解公式
2dx_2
z心(-exdxc)
dx
两边同乘以
ey
(ey)23xey
dx
x2
令ey
dz
dx
dx
dz
z23xz
dx
x2
xx2
这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以
1dz
dT
dz
z2dx
dT
31
+——
2
xzx
-3T
dxz2dx
P(x)=—Q(x)=
dxx
丄
x2
xx2c
=xx2c
ey3x
dx
x2
由一阶线性方程的求解公式
*dx
dx
dxc)
312
x(xc)
11.-3
=xcx
2
2
y14
e(x
2
cx3)=1
z^-x4CXJ)=1
12yy3
xecex
2
123-y
—xxec
2
dy=—1_dxxyx3y3
dx33
yxyx
d