第九章曲线积分与曲面积分习题解答详细讲解.docx

1、第九章曲线积分与曲面积分习题解答详细讲解曲线积分与曲面积分习题详解1计算下列对弧长的曲线积分：(1)/ = Jc7ydy. 是抛物线y = x2.点0(0,0)到 A(l,l)之间的一段弧:解:由于C由方程y = x2 (0x心2詁(5俣)解：C = AB的参数方程为:而AB: y = l-x, OSSI,于是(x + y + l)cls= x + (-x) + y/2dx = 2y/2 同理可知 BO：x = 0(0y 则 Y ay dyL(x+y + l)$= (JO+y + lk/y = 综上所述 dfr(x-y + l)J5 = - + 2V2 + - = 3 + 2/2 ( 2 2(

2、4)y/x2 + y2ds ,其中 C 为圆周 x2 + y2 = x :解直接化为左积分.C勺参数方程为jc = 1 + Jcos&, y = -sin& ( Q02tt ),2 2 - 2且ds =加 F +y(e)Fe=”& 于是(5)rxyzds,英中T为折线段ABCD.这里A,3CD的坐标依次为(0,0.0), (0,0,2), (1,0,2), (1,2,3)：解如图所示，x2yzcls = _x2yzds+ _x2yzJs+ _线段殛的参数方程为x = 0,.y = 0,z = 2r(0rl),则T份+%+(少= V0:+02 +22Jr = 2r/r,= J 0 0 2/ 2c

3、lt = 0线段BC的参数方程为x = /,y = 0,z = 2(0rl),则ds = jF+O+oTud?,故f _Fyzd$ = f 02d/ = 0,J rc - J o线段丽的参数方程为x = l,y = 2/,z = 2 + r (0rj5 .2 2 2 2(6)f rds,其中为空间曲线广+ G/o).Jr X + z =,解：F 在x,y 平而的投影为：x2+y2+(a-x)2=a2 ,即 2x2 + y2-2t/x = 0 ,从而利用椭圆的苓奴方程得F的参数二x = a + acos 0.2 22设一段曲线y = lnx (0axb)上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的

4、平方，求其质量.解 依题意曲线的线密度为p = x2,故所求质疑为M=(X2ds,英中C：y = nx (Qaxb)则C的参数方程为片=片 (0 x y = In x所以M = V1 + a-Zy = *(1 + d = *(1 + 戻)；一(1 + “2)訂3求八分之一球面x2 + r + z2=l(x0,y0.z0)的边界曲线的重心，设曲线的密 度 =解 设曲线在xOyyOzOx坐标平而的弧段分别为厶、L厶，曲线的重心坐标为诂卩严+o+J严卜為严2xdx _ 2 _ 4 =A/JoTf-x2 = A/=3故所求重心坐标为二.二、学.37T 3龙 3 丿4. 径为川 中心角为加的圆弧C对于它

5、的对称轴的转动惯応/ (设线密度解：如右图建立坐标系，则I = Jc y2 为了便于计算，利用c的参数方程C：x = Rcost,y = Rsint (-a t ( a x其方向为顺时针方向:b2 sin21 (一“sin/) + a2 cos2 t -bcostdt(2) xydx，其中厶为抛物线y2 = x 从点A(L-I)到点B(l,l)的一段弧。解将曲线厶的方程/=%视为以y为参数的参数方程兀=)，,英中参数y从一 1变到 lo因此(3)(x2 + y2 )dx + (a*2 - y2 )dy，其中厶是曲线y = 1 -11 - x从对应于X = 0时的点到x = 2时的点的一段弧：厶

6、的方程为y = x (0xl),则有(a 2 + y2 )dx + (x2 _ y )dy = J 2x2dx = . 厶2的方程为y = 2-x(x2),则(a2 +y2)dx + (x2 -y2)dyJL.=( 2x2 +(2-x)2dx +J:x2 -(2-x)2.(-lWxr 2 2=I 2(2 打厶=1 3所以(4)(x2 + y2 )dx + (x2 _ y2)dy =-. i 3 ydx+xdy丄是从点4（一,0）沿上半圆周x + 才=（到点B（a,O）的一段弧;利用曲线的参数方程计算.厶的参数方程为 ncos&yzsin。，在起点A(-匕0)处 参数值取才，在终点3(“,0)处

7、参数值相应取0,故&从龙到0.则J yclx + xdy = J； a sin dd(u cos 8) + a cos 0d(a sin &)二 a2 :cos 20dd = 0 .(5)f x-2Jv-x2wZx-，其中L沿右半圆x2 + /=r以点A(0,“)为起点，经过点C(“,0) 到终点B(0.-“)的路径；解利用曲线的参数方程计算.厶的参数方程为：x = “cos&y = “sin8,在起点A(0处 参数值取?，在终点3(0.-“)处参数值相应取-彳，则2 2| xydy - x2 ydx = cos sin 0)2 d(a sin 0)-(a cos 0)2 a sin 0d(a

8、 cos 0)=2/4 L7sin2 Geos Odd =-J4 4(6)(x + y + z)dv 1 j*?:l T 是螺旋线：x = cosf. y = sin/,z = z 从f = 0 到 / =兀上的一 段：解 (x + y + z)dv = J： (cos / + sin f + /)(sin t)dt = -n.(7)f xidx + 3zy2dy-x2ydz ,其中 L为从点 A(3,2,l)到点3(0,0,0)的直线段43： J L解直线AB的方程为三=上=三3 2?化成参数方程得x = 3t, y = 2/, z = t, /从1 变到 0。所以x3dx + 3zydy

9、x2 ydz =)3 + 3/ )2 - )2小= 87 t dt =。.厶 f _ (8)I =( (z-y)dx + (x-z)dy + (x-y)dz 厶为椭圆周彳“ 且从z 轴JL x-y + z = 2.正方向看去，厶取顺时针方向。解厶的参数方程为x=cost y = sin t z = 2-cos/+sinr, 7 从 2/r 变到 0,=f (3 cos2J2/T/ =黑(z _ ydx+(x _ z)dy + (兀 _ y)dzt - sin2 f - 2 sin r - 2 cos t)dt =-2兀。3设z轴与重力的方向一致，求质量为加的质点从位置(xpypz J沿直线移到

10、 (x2, y2, Z2)时重力所作的功。解因为力F = (0,0,第)所以w = f mgdz = ing(z2 _ ZJ 4.设F为曲x = t.y = r.z = t3 于r从0变到1的一段有向弧，把第二型曲线枳分 PcLv + 2d.v + Rdz化成第一型曲线积分.解 dx = dr dy = 2/d人 dz = 3rdf,故ds = +yf2 +zf2dt = j + 4t2 +9r4d/，于是dx_ 1 _ 1d$ Jl+4r+9/ yj + 4x2 +9/d y _ 2t _ 2xdf 丁1 + 4/+9八 J +所示习题931当三为xOy面的一个闭区域时，曲而积分|7(兀”汰

11、/S与二重积分有什么关系?r答当为为xOy而的一个闭区域时，工在xOy ifil上的投影就是于是有|/(”Z)dS = J“(匕y.dxdy . E D2.设光滑物质曲而S的面密度为p(x,y,z),试川第一型曲面积分表示这个曲ifif对于三 个坐标轴的转动惯量打,人和/：.解 在曲而S上点Uj.z)处取一微小面积(面积元素)dS,它可看作是面密度为 /Xx,y,z)的质点，苴质疑为dw = p(x,y,z)dS，它对于x轴的转动惯戢为d/, =(y2 + z2 )dw = pg y, z)(y2 +z2)dS.于是整个曲而S对a-轴的转动惯量为/=UQ(x,z)(b + z)d5.s同理可知

12、曲而S对y轴和Z轴的转动惯虽分别为Iy = jjp(A；y,z)(z2 +x2)d5 , Iz = JJq(兀” z)(十 +b)dS。3计算曲而积分JJ(F+y2)dS,其中工是v(1)锥面z =少+于及平面z = 1所围成的区域的整个边界曲而：解锥而Z = yjx2 + y2与平而Z = 1的交线为x2 +于=I,即锥而在XOy而上的投影区 域为圆域Dv=(xo)|2 + r /2(x2 + y2 )dxdy + Jj b(x2 + y2 )dxdy % =(旋 +1) JJ (x2 + y2 )dxdy =(2 +1) dO r2rdr久 0 0=+1)兀。(2)yOz面上的直线段f =

13、 (0zl)绕z轴旋转一周所得到的旋转曲而。x = 0解旋转曲而为z = y/xr+yr(Ozr),故心=卜即+(寻血=卜(冷)+启九=曲y 所以0(F + y2)* = H V2(x2 + y2 )clxdy 其中Dy =(x,y)x2 + y2是工在xOy坐标而上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分, 于是JJ (x2 + y2 )dS = y/2呵:r2 - rdr =学。4计算下列曲而积分：(1)0dS, 是左半球而 x2 + r+z2=2, y0：V解 抛物而z = 2-Cv2 + y2)在xOy面上方的部分在xOy而上的投影厶为圆域 x2 + y2 0； V解上半球而乙=J/疋一尸

14、在xOy面上的投影Dxy为圆域疋+)，2 “2,oz _ _x dz _ _y杰=7?_宀)， = 4a2-x2-y2，珂屮卽咱)沁JJ (工 + y + z)dS = *(%+ + J? _尢2 a d.xdy J 丿悶-F -于=“ d 0(厂 cos & + 广 sin & + J1_F )工 rdr J1广+ r dr=/jj (cos0 + sin)d0 d?- + J( 皿=0 + Tia = rar (5) 0+分护，其中为平面汨+戶在第-卦限的部分;dS= ll + ()2+()2My = 21 dxdy tV dx dy 3图 9-123工在x0y上的投影区域为D =(x,y

15、)l0xZ0y3-x,故 2心恥+斗+自心仙+ * + 2(1送-訓斗1艸 T Ojv客认广d|y)gZf.从而6/5=J屮影+自必=卜韦日皿dydz.,同理可求得所以0占巴占心!My心罟5求抛物面壳z=-(x2 + y2) (01)的质量，此壳的密度为P = s2解在抛物而壳2=丄(x2 + y2) (0zl )上取一小块微小曲而dS.貝质量加=曲 2整个抛物面壳的质屋为m = ff zd5 . S在xOy面上的投影为圆域 V2 , 2 ” c 6z dz %A + ) 2, = x, = y, nZox dym = JJ zdS = jj- (x2 + y 2 )1 + ( +y2)ctv

16、dv z %2=斯阀：J1 +斥 dr = |(673 + l).习 9-41当为为xOy而的一个闭区域时，曲而积分JJR(x,y,zdxdy与二重积分有什么关系?r答当为为xOy而的一个闭区域时，2的方程为z = 0o若LxOy面上的投影区域JJ 尺(兀 ” Zdxdy = jj Rg y, O)dxdy ,当为取上侧时，上式右端取正号；当工取下侧时，上式右端取负号。2计算下列第二型曲而积分：(1)壯&dz 冲S足心求而作+ = 1的宀0能 取椭球而的外侧为正侧:s / T解当xno时，椭球而的方程是b2 c(v,z)eD:于是卜辿出J】-缶-7 d曲令 y = /cos0. z = crs

17、in6. 0 r L O02n . 则jj(x + y)dydz + (y 4- z)dzdx + (z + x)dxdy ,其中工是以坐标原点为中心，边长为2的 立方体整个表而的外侧；解 把分成下而六个部分:右：z = l (-lm-lSyS 1)的上侧：z2：z=-i (-mo-i 分 si)的下侧:E3:x = l(-lyk-lzl)的前侧：Z4:X = -1(一1 yl-1z1)的后侧；E5：y = l(-lxL-lzl)的右侧：S6 ：y = 一1(一1 xl-1 zl)的左侧.因为除比纺处，其余四片曲而在yOz面上的投影都为零，故有j(X + y)dydz = Jj(x+ y )d

18、.ydz +JJ (x + y )dydz=JJ (1 +y)d.vdz - (-1 +y)dvdz =4 一(一4) = 8;同理可得JJ(y + z)dzLv = 8； JJ(z + x)d.vdy = 8 .于是所求的曲而积分为H (x + y)dydz. + (y + z)dzdx + (z + x)dxdy = 24 (3) JJ(z2 4-x)dydz - zdxdy ,英中为旋转抛物而 z = i(x2 +y2)介于 z =0,z = 2之间部 v 2分的下侧：解由两类曲而积分之间的联系，可得|(z2 + x)dydz = jj(z2 + x)cosaS = (z2 + x)-S

19、a-dxdy ,r v * cos y在曲面上,有A* 1cos a = , cos / =Jl + F + b yj + x2+y(z2 x)dydz 一 zdxdy = j(z2 + x)(-x) 一 zdxdy。再依对坐标的曲而积分的计算方法，得(-X)- l(x2 + y2) dxdy 0Jf (2) +x注意到j丄x(x + y2 dxdy = 0 , % 4jj(z2 + X)dydz - zdvdv =”卜 + 訴 + 鬥心 dy = fdef” E &+押(4)jj xdydz + ydxdz, + zdxdy，其中为为 x2 + y2 +z2 =a2, z0 的上侧:解工在y

20、Oz面上的投影为半圆域y2+z20, x = ya2 - y2 - z2丄 = (a? _ b _ /dydz + (-J -&厂-疋 _dydz)=2止 yja2 -y2 z2c/z = 2 y/a1 -r1rdr = 7nr由对称性 jj ydxdz= 7Riy, jj 7jLlxdy=miz2:原式=加x 3 = 2屈3(5 ) xydydz. yz,dxdz + zxdxdy ,其中工是由平而 x = 0 , y = 0, z = 0.x+y + z = 所用成的四面体的表面的外侧。解 如右图所示，因为闭曲而取外侧，所以匸取下侧，耳取后侧，匚取左侧，匚取上 侧。于是非 xydydz,

21、+ yzdxdz + wlxdyV=|f xydydz. + yz.dxdz + zxdxdySi+jj xydydz + yzdxdz + zxdxdy +jj Q心+ yzdxdz. + zsdxdy +jj xydydz + yzdxdz. + zxdxdy%=-j 0 - tZu/y- 0- dydz - o dzdx% 如 九+|J x(l-x-y)dxdy + y(l-z- y)dydz + j z(l-x-z)dzclx 久 J 5由于Q和D,都是直角边为1的等腰直角三角形区域，故*? ?* 宀非xydydz. + yz,dxdz + zxdxdy =3(x仆一x y)dxdy

22、= 3(x/寸：”(1 一x y)dy = 一。1 心 83把对坐标的曲面积分JJ P(u z)dydz + Q(x. y, zdzjdx + 7?(a y, zdxdy化成对而积的曲而积分，这里工为平而3x + 2y + 2辰=6在第一卦限的部分的上侧。解平而为的上侧的法向量为” =(322，其方向余弦是3 2 2cos a = 一,cos p =二,cosy =二5 5 5于是JJ P(儿 y,z)dydz + Q(x, y, z)dzd.v + R(x, ” z)cLvdy=JP(a z)cos a + 0(圮 ” z)cos 0 + R(儿儿 z)cos ydSJJ | P(x, y,

23、 z) + | Q(x, y, z) + - R(x,y, z)dSM 丿 丿 丿4. U 知; 丄体速度 V = (0g + y + z)，求” .ll：r.ilS:x2+y2=z(0z/i)的流量，法向量方向与z轴正向是钝角.解 如右图所示，依题设，所求的流疑为 = H V wcLS = jj(X + y + z)Lvdy5 S兀屮枳分曲面是有向曲面S.x2 + y2=z(0z/rr2?xjr = -7i/?2 Jo Jo 25设S是上半球而x2+y2 + z2=l, zZO，速度场为V(x,y,z) =(A；y,O). 是S上的収 位法向:舊它与z轴的夹角为锐角，试求曲而枳分Jfv.wd

24、S解容易求得法向量：=+ 0 +浹，又速度场为V(x,y,z) = (x,y,Q) = xi + yf , ft 卩皿珂(疋琢)心f叫：宀吝二爭这里 dS = Jl + z/+zv:(Ltd- = . 1 eLvdv =丄坐.1.利用曲线积分求下列平而曲线所恫成图形的而积: 星形线”二心丁(00 )：解 设圆的参数方程为x = bcost,y = h + bsint，/从0变到2龙那么A = xdy-ydx =-x bcostbcosr-(Z?+Z?sint)b(-sint)dt=b2 x 匸(1 +sin t)dt = 7rb2。22利用格林公式汁算下列曲线积分：(1)cxy2dy-x2yd

25、x,K中C是圆x2 + y2=a2,向是顺时针方向;解由格林公式，P = = = 于是C x)2(ly - x2ydx = (y2 + x2 )cLvdvIt中 D 是圆域 x2 + y2 a2 0 设 jv = rcos0.y = rsin0 则屯厂迪一xydx = jj(y2 + x2)cLvdv = r2/xlr =C D * (2)jf(y-x)dx + (3x+y)dy，其中厶是圆(x-1)2+(y-4)2 =9,方向是逆时针方向；cP6解设闭曲线厶所围成闭区域为D,这里P = y-x, Q = 3x+ y 9 = 3,dx由格林公式，得購(y x)dx + (3x + y)dy = JJ (3 - V)dxdyD=2 JJ dxdy =18oD(3) ydx + (/sin y -x)dy ,其中厶是依次