第九章曲线积分与曲面积分习题解答详细讲解.docx

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第九章曲线积分与曲面积分习题解答详细讲解

曲线积分与曲面积分习题详解

1计算下列对弧长的曲线积分：

（1）/=Jc7ydy.是抛物线y=x2±.点0（0,0）到A（l,l）之间的一段弧:

解:

由于C由方程

y=x2（0

给出，因此

/=+=卜』+4耳

」1>心2［詁（5俣］）•

解：

C=AB的参数方程为:

而AB:

y=l-x,OSSI,于是

[^（x+y+l）cls=[[x+（\-x）+\]y/2dx=2y/2»

同理可知BO：

x=0（0则Yaydy

L（x+y+l）〃$=（JO+y+lk/y=[・

综上所述dfr（x-y+l）J5=-+2V2+-=3+2>/2・

（22

（4）

y/x2+y2ds,其中C为圆周x2+y2=x:

解直接化为左积分.C』勺参数方程为

jc=1+J>cos&,y=-sin&（Q<0<2tt）,

22-2

且

ds=加⑹F+[y（e）F〃e=”&•

于是

（5）[rx\yzds,英中T为折线段ABCD.这里A,3・C\D的坐标依次为（0,0.0）,（0,0,2）,（1,0,2）,（1,2,3）：

解如图所示，

^x2yzcls=\_x2yzds+\_x2yzJs+[_・

线段殛的参数方程为x=0,.y=0,z=2r（0

T份+%+（少

=V0:

+02+22Jr=2r/r,

=J0•0•2/•2clt=0

线段BC的参数方程为x=/,y=0,z=2（0

ds=jF+O'+oTud?

故

f_Fyzd$=f・0・2d/=0,

Jrc-Jo

线段丽的参数方程为x=l,y=2/,z=2+r（0

J-x2yzds=f'l2-2t（2+t）-甌=2x/5j；⑵+12=|点

所以

L疋gds=|*_x2yzcls+[—yzds+J而yzjds=->j5.

2222

（6）frds,其中「为空间曲线广+G/>o）.

JrX+z=",

»

解：

F在x,y平而的投影为：

x2+y2+（a-x）2=a2,即2x2+y2-2t/x=0,从而

利用椭圆的苓奴方程得F的参数二

x=—a+—acos0.

22

2设一段曲线y=lnx（0

解依题意曲线的线密度为p=x2,故所求质疑为M=\（X2ds,英中

C：

y=\nx（Q

片=片

（0<y=Inx

所以

M=£—V1+a-\Zy=[*（1+d=*[（1+戻）；一（1+“2）訂

3求八分之一球面x2+r+z2=l（x>0,y>0.z>0）的边界曲线的重心，设曲线的密度°=

解设曲线在xOy^yOz^Ox坐标平而的弧段分别为厶、L「厶，曲线的重心坐标为

诂卩严+o+J严卜為严

2「xdx_2_4=A/JoTf-x2=A/=3^'

故所求重心坐标为［二.二、学.

\37T3龙3〃丿

4.径为川中心角为加的圆弧C对于它的对称轴的转动惯応/（设线密度

解：

如右图建立坐标系，则

I=Jcy2^•

为了便于计算，利用c的参数方程

C：

x=Rcost,y=Rsint（-a

于是

I=Jcy2（^s=「R‘sin2tyj（-Rsinty+（/?

cos/）2dr=R、[asin2tdt=/?

'（a-sintzcostz）.

J-a

习题9・2

1设L为xOy直线y=b（b为常数）,证明

Jg,y）dy=o。

证明：

设厶是直线y=b上从点（®,〃）到点（色上）的一段，其参数方程可视为

y=y（x）=b>（a}

£Q（x,y）dy=J：

Q（x,Z?

）•0=0」

2计算下列对坐标的曲线积分：

11^y2dx+x2dy,〕£•中C为上丫椭很Ix=“cosf,y=bsin/>其方向为顺时针方向:

[b2sin21•（一“sin/）+a2cos2t-bcost]dt

（2）£xydx，其中厶为抛物线y2=x±从点A（L-I）到点B（l,l）的一段弧。

解将曲线厶的方程/=%视为以y为参数的参数方程兀=），,英中参数y从一1变到lo因此

（3）（x2+y2）dx+（a*2-y2）dy，其中厶是曲线y=1-11-x\从对应于X=0时的点到

x=2时的点的一段弧：

厶的方程为y=x（0

[（a2+y2）dx+（x2_y~）dy=J2x2dx=£.厶2的方程为y=2-x（\

[（a2+y2）dx+（x2-y2）dy

JL.

=（2[x2+（2-x）2]dx+J:

[x2-（2-x）2].（-lWx

r22

=I2（2—打厶=—•

」13

所以

（4）

（x2+y2）dx+（x2_y2）dy=-.i3

£ydx+xdy丄是从点4（一°,0）沿上半圆周x'+才=（『到点B（a,O）的一段弧;

利用曲线的参数方程计算.厶的参数方程为ncos&yzsin。

，在起点A（-匕0）处参数值取才，在终点3（“,0）处参数值相应取0,故&从龙到0.则

Jyclx+xdy=J；asindd（ucos8）+acos0d（asin&）二a2[:

cos20dd=0.

（5）fx}-2Jv-x2wZx-，其中L沿右半圆x2+/=

解利用曲线的参数方程计算.厶的参数方程为：

x=“cos&y=“sin8,在起点A（0"处参数值取?

，在终点3（0.-“）处参数值相应取-彳，则

22

|xy^dy-x2ydx=cossin0）2d（asin0）-（acos0）2asin0d（acos0）

=2

J44

（6）]（x+y+z）dv1j*?

:

lT是螺旋线：

x=cosf.y=sin/,z=z从f=0到/=兀上的一段：

解[（x+y+z）dv=J：

（cos/+sinf+/）（—sint）dt=--n.

（7）fxidx+3zy2dy-x2ydz,其中L为从点A（3,2,l）到点3（0,0,0）的直线段43：

JL

解直线AB的方程为

三=上=三

32?

化成参数方程得

x=3t,y=2/,z=t,/从1变到0。

所以

x3dx+3zy~dy—x2ydz=[[⑶）'・3+3/⑵）‘・2-⑶）‘・2小〃

=87]tdt=——。

.厶f_«

（8）I=（£（z-y）dx+（x-z）dy+（x-y）dz^厶为椭圆周彳“〉’且从z轴

JL[x-y+z=2.

正方向看去，厶取顺时针方向。

解厶的参数方程为

x=cost>y=sint»z=2-cos/+sinr,7从2/r变到0,

=f°（3cos2

J2/T

/=黑（z_y}dx+（x_z）dy+（兀_y）dz

t-sin2f-2sinr-2cost）dt=-2兀。

3设z轴与重力的方向一致，求质量为加的质点从位置（xpypzJ沿直线移到（x2,y2,Z2）时重力所作的功。

解因为力

F=（0,0,〃第）

所以

w=fmgdz=ing（z2_ZJ°

4.设F为曲^x=t.y=r.z=t3于r从0变到1的一段有向弧，把第二型曲线枳

分£PcLv+2d.v+Rdz化成第一型曲线积分.

解dx=drdy=2/d人dz=3rdf,故ds=+yf2+zf2dt=>j\+4t2+9r4d/，于是

dx_1_1

d$Jl+4r‘+9/'yj\+4x2+9/

dy_2t_2x

df丁1+4/'+9八J+

所示

习题9・3

1当三为xOy面的一个闭区域时，曲而积分［|7（兀”汰/S与二重积分有什么关系?

r

答当为为xOy而的一个闭区域£>时，工在xOyifil上的投影就是于是有

||/（^”Z）dS=J“（匕y.^dxdy.ED

2.设光滑物质曲而S的面密度为p（x,y,z）,试川第一型曲面积分表示这个曲ifif对于三个坐标轴的转动惯量打,人和/：

.

解在曲而S上点Uj.z）处取一微小面积（面积元素）dS,它可看作是面密度为/Xx,y,z）的质点，苴质疑为dw=p（x,y,z）dS，它对于x轴的转动惯戢为

d/,=（y2+z2）dw=pgy,z）（y2+z2）dS.

于是整个曲而S对a-轴的转动惯量为

/’=UQ（x,〉',z）（b+z‘）d5.

s

同理可知曲而S对y轴和Z轴的转动惯虽分别为

Iy=jjp（A；y,z）（z2+x2）d5,Iz=JJq（兀”z）（十+b）dS。

3计算曲而积分JJ（F+y2）dS,其中工是

v

（1）锥面z=少+于及平面z=1所围成的区域的整个边界曲而：

解锥而Z=yjx2+y2与平而Z=1的交线为x2+于=I,即锥而在XOy而上的投影区域为圆域Dv={（xo'）|^2+r

因此

JI（x+y1）dS=Jj>/2（x2+y2）dxdy+Jjb（x2+y2）dxdy£%—

=（旋+1）JJ（x2+y2）dxdy=（^2+1）dO^r2rdr

久00

=—+1）兀。

（2）yOz面上的直线段f=^（0

x=0

解旋转曲而为z=y/xr+yr（O

心=卜即+（寻血=卜（冷）+启九=曲y‘

所以

0（F+y2）〃*=HV2（x2+y2）clxdy♦

其中Dy={（x,y）\x2+y2<\］是工在xOy坐标而上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分,于是

JJ（x2+y2）dS=y/2「呵:

r2-rdr=学。

4计算下列曲而积分：

（1）0dS,是左半•球而x2+r+z2=^2,y<0：

s

KfJfdS=^x47k/:

=2iur.

、劄+僚）皿于是

f（+yz+zx）6S=[J+yy[x2+y2++/小山心

$久°

=迈]"：

d°（「'sin&cos0+r2cos0+r2sin&]?

dr

（注：

这里要用到被积函数的奇偶性：

传（cos&+l）cos*sin&d&=OQ

（3）J]dS,其中2是抛物而在xOy而上方的部分：

z=2-（x2+/）,^>0：

V

解抛物而z=2-Cv2+y2）在xOy面上方的部分在xOy而上的投影厶为圆域x2+y2<2,]=一2兀二=一2y,故

dxdy

JJ〃S=jjyj\+（-2x）2+（-2y）2dxdy=Jjy]\+4（x2+y2）dxdy

=『d歼；'Vl+4r2/xlr=—.

⑷JJ（x+y+z）dS，其中工是上半球而x2+y2+z2=«\z>0；V

解上半球而乙=J/—疋一尸在xOy面上的投影Dxy为圆域疋+），2<“2,

oz__xdz__y

杰=7?

_宀），'¥=4a2-x2-y2，

〃珂屮卽咱）沁

JJ（工+y+z）dS=]*]*（%+〉'+J"?

_尢2a――d.xdy

£J丿悶-F-于

=[“d0「（厂cos&+广sin&+J1_F）"工rdr・J1—广

+rdr

=

-+J（[皿

=0+Tia=rar・

（5）0+分护，其中£为平面汨+戶在第-卦限的部分;

dS=ll+（—）2+（—）2My=2^1dxdyt

Vdxdy•3

图9-12

3

工在x0y上的投影区域为D={（x,y）l0

•'2

心恥+斗+自心仙+*+2（1送-訓斗1艸TOjv

客认广d|y）gZf.

从而

6/5=J屮影+自必=卜韦日皿

dydz.,

同理可求得

所以

0占〃巴占心!

My心罟

5求抛物面壳z=-（x2+y2）（0<^<1）的质量，此壳的密度为P=s

2

解在抛物而壳2=丄（x2+y2）（0

整个抛物面壳的质屋为m=ffzd5.S在xOy面上的投影％为圆域V

2,2”c6zdz%

A+）'—2,■—=x,—=y,nZ

oxdy

m=JJzdS=jj-（x2+y2）^1+（^+y2）ctvdvz%2

=斯"阀：

J1+斥'dr=||（673+l）.

习®9-4

1当为为xOy而的一个闭区域时，曲而积分JJR（x,y,z^dxdy与二重积分有什么关系?

r

答当为为xOy而的一个闭区域时，2的方程为z=0o若L^xOy面上的投影区域

JJ尺（兀”Z^dxdy=±jjRgy,O）dxdy,

当为取上侧时，上式右端取正号；当工取下侧时，上式右端取负号。

2计算下列第二型曲而积分：

（1）壯&dz冲S足…心求而作+・+^=1的宀0能•取椭球而的外侧为正侧:

s/T

解当xno时，椭球而的方程是

b2c

（v,z）eD:

于是

[卜辿出"[]J】-缶-7d曲

令y=/"cos0.z=crsin6.0

⑵jj（x+y）dydz+（y4-z）dzdx+（z+x）dxdy,其中工是以坐标原点为中心，边长为2的立方体整个表而的外侧；

解把》分成下而六个部分:

右：

z=l（-lm-lSyS1）的上侧：

z2：

z=-i（-mo-i分si）的下侧:

E3:

x=l（-l

Z4:

X=-1（一1

E5：

y=l（-l

S6：

y=一1（一1

因为除比・纺处，其余四片曲而在yOz面上的投影都为零，故有

[j（X+y）dydz=Jj（x+y）d.ydz+JJ（x+y）dydz

=JJ（1+y）d.vdz-[[（-1+y）dvdz=4一（一4）=8;

同理可得

JJ（y+z）dz

于是所求的曲而积分为

H（x+y）dydz.+（y+z）dzdx+（z+x）dxdy=24・

（3）JJ（z24-x）dydz-zdxdy,英中"为旋转抛物而z=i（x2+y2）介于z=0,z=2之间部v2

分的下侧：

解由两类曲而积分之间的联系，可得

||（z2+x）dydz=jj（z2+x）cosa〃S=[[（z2+x）-°Sa-dxdy,

rv*£cosy

在曲面£上,有

A*—1

cosa=,cos/=

Jl+F+byj\+x2+y

[[（z2^x）dydz一zdxdy=j[（（z2+x）（-x）一z]dxdy。

再依对坐标的曲而积分的计算方法，得

■（-X）-l（x2+y2）dxdy0

Jf（<2+x）dydz-zdxdy=JJ{[£（++>'2）+x

注意到

[j丄x（x‘+y2\dxdy=0,%4

jj（z2+X）dydz-zdvdv=”卜+訴‘+鬥心dy=fdef”E&+押

（4）jjxdydz+ydxdz,+zdxdy，其中为为x2+y2+z2=a2,z>0的上侧:

解工在yOz面上的投影为半圆域y2+z2<0,x=±y]a2-y2-z2

丄=（a?

_b_/dydz+（-J]-&厂-疋_『dydz）

=2止yja2-y2—z2c/}¥/z=2£y/a1-r1rdr=—7nr

由对称性jjydxdz=—7Riy,jj7jLlxdy=—mi'

z

2

•:

原式=—加'x3=2屈'

3

（5）xydydz.^yz,dxdz+zxdxdy,其中工是由平而x=0,y=0,z=0.

x+y+z=\所用成的四面体的表面的外侧。

解如右图所示，因为闭曲而取外侧，所以匸取下侧，耳取后侧，匚取左侧，匚取上侧。

于是

非xydydz,+yzdxdz+wlxdy

V

=|fxydydz.+yz.dxdz+zxdxdy

Si

+jjxydydz+yzdxdz+zxdxdy+jjQ心+yzdxdz.+zsdxdy+jjxydydz+yzdxdz.+zxdxdy

%

=-[j0-tZu/y-0-dydz-[[odzdx

%如九

+|Jx（l-x-y）dxdy+[[y（l-z-y）dydz+j[z（l-x-z）dzclx久J5

由于Q■和D,都是直角边为1的等腰直角三角形区域，故

•*?

?

*•宀

非xydydz.+yz,dxdz+zxdxdy=3（[x仆一x—y）dxdy=3（x/寸：

”（1一x—y）dy=一。

1心°°8

3把对坐标的曲面积分

JJP（uz）dydz+Q（x.y,z^dzjdx+7?

（a\y,z^dxdy

化成对而积的曲而积分，这里工为平而3x+2y+2辰=6在第一卦限的部分的上侧。

解平而为的上侧的法向量为”=（322〜①，其方向余弦是

322

cosa=一,cosp=二,cosy=二

555

于是

JJP（儿y,z）dydz+Q（x,y,z）dzd.v+R（x,”z）cLvdy

=[J[P（a\>\z）cosa+0（圮”z）cos0+R（儿儿z）cosy]dS

JJ[|P（x,y,z）+|Q（x,y,z）+-R（x,y,z）]dS

M丿丿丿

4.U知;;丄体速度V=（0g+y+z），求”.ll：

r.ilS:

x2+y2=z（0

的流量，法向量方向与z轴正向是钝角.

解如右图所示，依题设，所求的流疑为

°=HV•wcLS=jj（X+y+z）

5S

兀屮枳分曲面是有向曲面S.x2+y2=z（0

由第二型曲而积分的计算方法可知0=Jj（x+y+z）dvdy=一Cv+y+x2+y2）dvdy

s心

=-J「d0『（厂cos&+,・sin0+r2）/dr

=-[^d^f>/rr2?

xjr=--7i/?

2・JoJo2

5•设S是上半球而x2+y2+z2=l,zZO，速度场为V（x,y,z）=（A；y,O）.〃是S上的収位法向:

舊它与z轴的夹角为锐角，试求曲而枳分Jfv.wdS・

解容易求得法向量：

"="+0+浹，又速度场为V（x,y,z）=（x,y,Q）=xi+yf,ft卩皿珂（疋琢）心f叫：

宀•吝二爭

这里dS=Jl+z/+zv:

（Ltd>-=.1eLvdv=丄坐.

1.利用曲线积分求下列平而曲线所恫成图形的而积:

⑴星形线”二心丁’（0「<2兀）：

）y=asint,

解a=L

]n

生xdy一ydx=—x4£2[acos3"3asin21cost-asin3t3acos2f（一sint）]dt

i2（）

£三3

=6«2£2[cos4rsin2r+sin4/cos't]dt=6/（；cos2/sin2tdt=^7ta~»

（2）圆x2+y2=2by,（/?

>0）：

解设圆的参数方程为x=bcost,y=h+bsint，/从0变到2龙•那么

A=xdy-ydx=-^x[bcost»bcosr-（Z?

+Z?

sint）b（-sint）]dt

=—b2x匸（1+sint）dt=7rb2。

2

2利用格林公式汁算下列曲线积分：

（1）^cxy2dy-x2ydx,K中C是圆x2+y2=a2,^向是顺时针方向;

解由格林公式，P===于是

Cx）2（ly-x2ydx=[[（y2+x2）cLvdv

It中D是圆域x2+y2

屯厂迪一x[ydx=jj（y2+x2）cLvdv=r2/xlr=

CD°*°

（2）jf（y-x）dx+（3x+y）dy，其中厶是圆（x-1）2+（y-4）2=9,方向是逆时针

方向；

cP

6

解设闭曲线厶所围成闭区域为D,这里

P=y-x,Q=3x+y9=3,

dx

由格林公式，得

購（y—x）dx+（3x+y）dy=JJ（3-V）dxdy

D

=2JJdxdy=18^o

D

（3）£ydx+（^/siny-x）dy,其中厶是依次