八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球.docx

1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)类型一、墙角模型图1图22 a方法:找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2b22c，即卩 2RVa2 b2 c2，求出 R例1A.(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为16 B . 20 C24体积为16，则这个球的表面积是(.32(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为J3，则其外接球的表面积是解：(1) V a2h16, a 2, 4R2 a2a22h 4 4 16 24, S24 ，选 C；(2) 4R2 3 33 9, S 4 R2

2、9(3)在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN ,若侧棱SA正三棱锥S ABC外接球的表面积是36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下:如图(3) -1，取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心， SH 平面ABC , SH AB ,ACBC , ADBD ,ABSC,同理：BC S本题图如图(3) -2 ,AMAMSB, AC SB,SBSA, SBSC,；SA平面SBC,SACD AB, AB 平面 SCD,AC SB,即正三棱锥的对棱互垂直,MN , SB/MN ,SB平面SAC,SB SA

3、, BC SA,C故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 (2J3)2 (2J引2 (23)2 36，即 4R2 36 ,正三棱锥S ABC外接球的表面积是36(3)题-1C(4)在四面体S ABC中，SA平面ABC ,BAC 120 ,SAAC 2,AB 1,则该四面体的外接(6)解析:BC球的表面积为（D ） A.11如果三棱锥的三个侧面两两垂直,已知某几何体的三视图如图所示, 何体外接球的体积为B.7它们的面积分别为三视图是腰长为(4)在 ABC 中，BC2 AC2AB2 2aBJ7， ABC的外接球直径为2r_BC sinBAC(2R)2 (盯 SA2 (瞥)240y（

4、5）三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为ab12bcabc24， a 3， bac(6)(2R)b2c2 3, R2 34R3垂面模型（一条直线垂直于一个平面）10c.36、4、40D.33，那么它的外接球的表面积是1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几BC cos120 72/7石，3，选a,b,c( a,b,cR ），则c 2 , (2r)2a2 b2229, S 4 R 29C类型二、1.题设：如图5, PA 平面ABC解题步骤：第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝y PD必过球心O ;第二步：01为ABC的外心，所以001

5、平面ABC，算出小圆O的半径O1Dr （三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理，得asin Absin B眾 2r )，OO112pa ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：2 2 2(2R)2 pa2 (2r)22R J pa2 (2r)2 ；R Jr2 00122.题设：如图6, 7, 8, P的射影是 ABC的外心三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 R2 r2 0012三棱锥P ABC的三条侧棱相等P点也是圆锥的顶点解题步骤:第一步:确定球心0的位置,ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;第二步:先算出小圆 01的半径A01 r，再算出棱锥的高 P01 h （也是圆

6、锥的高）；第三步:勾股定理： 0A2 01A2 0102 R2 (h R)2 r2，解出R方法二:小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为C.旦D3()CA.B.以上都不对解:选C,（巧R)2R2, 3 2V3rR2 1 R2, 4 2J3R 0,OBunR216类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）P图9-4图9-1图9-2图9-31.题设：如图9-1，平面 第一步：易知球心0必是PAC 平面ABC，且AB BC （即AC为小圆的直径）PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 ACb c第二步：在 PAC中，可根据正弦定理sin A2

7、R，求出R sin B sin C2.如图9-2，平面 PAC平面ABC，且ABBC （即AC为小圆的直径）2r ；0C201C2 0102R2 r2 O1O2AC 2jR2 OQ23.如图 心锥的顶点 解题步骤:平面ABC，且AB三棱9-3，平面 PAC三棱锥P ABC的三条侧棱相等BC （即AC为小圆的直径），且P的射影是 P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点ABC的外P点也是圆第一步:确定球心 0的位置，取 ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;第二步:先算出小圆 0,的半径A0,r，再算出棱锥的高POj h （也是圆锥的高）；第三步:勾股定理：0A20小2 0102R2(h

8、R)2 r2，解出 R4.如图9-3，平面PAC 平面ABC ,且ABBC （即AC为小圆的直径），且PA AC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：2(2R)PA2 (2r)2 2R JPA2 (2r)2 ； R2 r2 OO12R Jr2 0012例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为1,底面边长为2 J3 ,则该球的表面积为（2）正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为 2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（1）由正弦定理或找球心都可得 2R7, S 4 R2 49（2）方法一：找球心的位置，易知r 1 , h方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是42R

9、 2, R 1 , V 341, h r ,故球心在正方形的中心 ABCD处，R 1, V 3SAC的外接圆，此处特殊， Rt SAC的斜边是球半径，（3）在三棱锥P ABC中，PA PB PCJ3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）例4 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为9-,底面周长为3，则这个球的体积为 8解：设正六边形边长为正六棱柱的高为 h，底面外接圆的关径为 r，则a底面积为S 6血45，r2（争 e21R 1，球的体积为V 3

10、(2)直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 ABACAA1 2 , BAC 120，则此球的表面积等于解：BCM，2r 珞 4，r 2，2，S 20(3)已知EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直,EA EB3, AD 2, AEB 60，则多面体 EABCD的外接球的表面积为。16解析：折叠型，法一:EAB的外接圆半径为n00“DR 3 2 ；法二:01MV3，r22O2D，R274，R2，S 16(4)在直三棱柱ABCAl B1C1 中，AB4,AC6,A亍AA14则直三棱柱ABC A1B1C1的外接球160的表面积为解析:BC2 16366丄228，BC

11、27，2r477忑，r27773，R22 AA1 2 r （T）2840类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)A图11第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出 BCD和 A BD的外心H1和H2 ；第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 0 ,连接0E,0C ；第三步：解2 2 20EH1，算出 0H1，在 Rt OCH1 中，勾股定理： 0H1 CH1 0CP ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱例5三棱锥锥P ABC外接球的半径为解析:2ri222si

12、n 60173，R2O2H221a/15V法二:O2H运，O1HAH1,R2AO2AH2 O1H2O1O2类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；(AB CD , AD BC , AC BD )第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBC x，ABCDy , AC BD z ,列方程组,2ab2c2b22ca22x2y2z2 2(2R) ab2补充:VaBCDabclabc614 -abc3第三步：根据墙角模型,2RJa2 b2R2222x y z8例如,，求出R，正四面体

13、的外接球半径可用此法。例6（ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的个截面如图，则图中三角形 （正四面体的截面）的面积是 （2） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是晅 C31的球面上，其中底面的三个顶点）J312解：（1）截面为pCO1，面积是込；(2)高 h R1，底面外接圆的半径为1，直径为2R设底面边长为a，则2RsinoO 2，33三棱锥的体积为V Sh3O 2 。F（1）题解答图(3)在三棱锥 A BCD 中，AB CD 2,AD BC 3,ACBD 4,则三棱锥 A BCD外接球的表面积为29O 2解析：如图12,设补

14、形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a,b,c，则a2 b2 9b22 2 . _c a 162(a2b2 c2) 9 4 16 29,2(a2 b2 c2) 9 4 16 29 ,2929 “2,4R2如图所示三棱锥 A BCD，其中AB CD 5, AC BDb26,AD(4)表面积为 . 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为2(a2 b2 c2) 25 36 49 110, a2 b2 c2 55, 4R2 55,【55 ;对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为 J2，则该正面体外接球的体积为BC解析：这是特殊情况,但也

15、是对棱相等的模式，放入长方体中,7,则该三棱锥外接球的a,b,c,55类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型题设： APB ACB 90 ,C求三棱锥PABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点 O,连接1 OP AB,2半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定 值。例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4,则四面体ABCD的外接球的体积为(A.空12OP,OC，贝U OA OB OCBC解：(1) 2R AC 5,(2)在矩形ABCD中,的外接球的表面积为125 9RI,VAB 2, BCO为三棱锥

16、P ABC外接球球心，然后在 OCP中求出3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D , )125 64 1253 8433,沿BD将矩形R312，选 CABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A BCD解析：(2) BD的中点是球心O, 2R BD 713 , S 4 R2 13类型八、锥体的内切球问题1题设：如图14，三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步:先现出内切球的截面图， E,H分别是两个三角形的外心;第二步:求 DH IbD3PO PH r, PD是侧面ABP的高;第三步:由 POE相似于PDH，建立等式：DHPO，解出rPDC图142.题设：如图15，四棱锥

17、ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步:先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线;第二步:求 FH iBC PO2 ，PH r , PF是侧面PCD的高;第三步:由 POG相似于 PFH，建立等式： OGHFPO，解出PF3.题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；D第二步：设内切球的半径为 r，建立等式:Vp ABCVoABC VOPABVoPAC VO PBCVP ABCIs3ABC1 1SPAB r SpAC3 3r 1SI OPBC3(S ABC3S PABS

18、pac S PBC ) r第三步:解出3VP ABCSo ABC So PAB So pac So pbc习题：1.若三棱锥A. 3解：【A (2R)2ABC的三条侧棱两两垂直， 且SA 2 ,B. 6 C. 36 D. 974 16 16 6, R 3SB SC4,则该三棱锥的外接球半径为 (【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】2.三棱锥S ABC中，侧棱SA 平面ABC，底面323【共两种】ABC是边长为J3的正三角形,SA 2 ，则该三棱锥的外接球体积等于Q3 2 2解析：2r 2 , (2R)2 4 12 16, R2sin 60【外心法(加中垂线)找球心；正弦定理求球小圆

19、半径】3正三棱锥S ABC中，底面ABC是边长为J3的正三角形，侧棱长为 2，则该三棱锥的外接球体积等 于 .4 , R 2，外接球体积-332832解析： ABC外接圆的半径为 ，三棱锥S ABC的直径为2R sin 60令，外接球半径R耒,或R2 (R J3)2 1 , R二，外接球体积V 473 34 .三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC , P ABC外接球的半径为 .8 3273R 3 373 27PAC边长为2的正三角形,ABBC，则三棱锥4 sin 60 73 5.三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC , P解析： PAC的外接圆是大圆，2RACPA PCABBC，则三棱锥解析:ABC外接球的半径为 2 2 2PA P C AC 9 9 4P cos2迈6.三棱锥P2R92/22PA PC班,R42 3 3.19J287一，sin97 2（9）16 281,sinABC中，平面PAC 平面ABC ,AC 2 ,PAPC , AB BC，则三棱锥P ABC外接球的半径为 解：AC是公共的斜边， AC的中点是球心O，球半径为R