八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球.docx
《八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球
八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球
（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
类型一、墙角模型
图1
图2
2a
方法:
找三条两两垂直的线段，
直接用公式（2R）2
b2
2
c，即卩2R
Va2b2c2，求出R
例1
A.
（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
16B.20C
24
体积为16，则这个球的表面积是（
.32
（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为
J3，则其外接球的表面积是
解：
（1）Va2h
16,a2,4R2a2
a2
2
h441624,S
24，选C；
（2）4R233
39,S4R29
（3）在正三棱锥S
ABC中，M、N分别是棱
SC、BC的中点，且AM
MN,若侧棱SA
正三棱锥SABC外接球的表面积是
36
解：
引理：
正三棱锥的对棱互垂直。
证明如下:
如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD,AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角
形ABC的中心，SH平面ABC,SHAB,
AC
BC,AD
BD,
AB
SC,同理：
BCS
本题图如图（3）-2,
AM
AM
SB,ACSB,
SB
SA,SB
SC,；
SA
平面SBC,
SA
CDAB,AB平面SCD,
ACSB,即正三棱锥的对棱互垂直,
MN,SB//MN,
SB平面SAC,
SBSA,BCSA,
C
故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
（2R）2（2J3）2（2J引2（2^3）236，即4R236,
正三棱锥SABC外接球的表面积是36
（3）题-1
C
（4）
在四面体SABC中，SA
平面ABC,
BAC120,SA
AC2,AB1,则该四面体的外接
（6）
解析:
BC
球的表面积为（D）A.11
如果三棱锥的三个侧面两两垂直,
已知某几何体的三视图如图所示,何体外接球的体积为
B.7
它们的面积分别为
三视图是腰长为
（4）在ABC中，BC2AC2
AB22aB
J7，ABC的外接球直径为
2r
_BCsin
BAC
（2R）2（盯SA2（瞥）2
40
y
（5）三条侧棱两两生直,
设三条侧棱长分别为
ab
12
bc
abc
24，a3，b
ac
（6）（2R）
b2
c23,R23
4
R3
垂面模型
（一条直线垂直于一个平面）
10
c.——
3
6、4、
40
D.——
3
3，那么它的外接球的表面积是
1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几
BCcos1207
2/7
石，
3，选
a,b,c（a,b,c
R），则
c2,（2r）2
a2b2
2
29,S4R29
C
类型二、
1.题设：
如图5,PA平面ABC
解题步骤：
第一步：
将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，贝yPD必过球心O;
第二步：
01为
ABC的外心，所以001平面ABC，算出小圆O的半
径O1D
r（三角形的外接圆直径算法:
利用正弦定理，得
a
sinA
b
sinB
眾2r），OO1
1
2pa；
第三步：
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①
222
（2R）2pa2（2r）2
2RJpa2（2r）2；
RJr20012
2.题设：
如图6,7,8,P的射影是ABC的外心
三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点
②R2r20012
三棱锥PABC的三条侧棱相等
P点也是圆锥的顶点
解题步骤:
第一步:
确定球心0的位置,
ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;
第二步:
先算出小圆01的半径A01r，再算出棱锥的高P01h（也是圆锥的高）；
第三步:
勾股定理：
0A201A20102R2（hR）2r2
，解出R
方法二:
小圆直径参与构造大圆。
例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为
C.旦D
3
（）C
A.
B.
.以上都不对
解:
选C,
（巧
R）2
R2,32V3r
R21R2,42J3R0,
O
Bun
R2
16
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
P
图9-4
图9-1
图9-2
图9-3
1.题设：
如图9-1，平面第一步：
易知球心0必是
PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）
PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC
bc
第二步：
在PAC中，可根据正弦定理
sinA
2R，求出RsinBsinC
2.如图
9-2，平面PAC
平面ABC，且AB
BC（即AC为小圆的直径）
2r；
0C2
01C20102
R2r2O1O2
AC2jR2OQ2
3.如图心
锥的顶点解题步骤:
平面ABC，且AB
三棱
9-3，平面PAC
三棱锥PABC的三条侧棱相等
BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点
ABC的外
P点也是圆
第一步:
确定球心0的位置，取ABC的外心Oi，则P,O,Oi三点共线;
第二步:
先算出小圆0,的半径A0,
r，再算出棱锥的高POjh（也是圆锥的高）；
第三步:
勾股定理：
0A2
0小20102
R2
（hR）2r2，解出R
4.如图
9-3，平面PAC平面ABC,
且AB
BC（即AC为小圆的直径），且PAAC，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①
2
（2R）
PA2（2r）22RJPA2（2r）2；
②R2r2OO12
RJr20012
例3
（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上,
若该棱锥的高为1,底面边长为2J3,则该球的表面积为
（2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为<2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
解：
（1）由正弦定理或找球心都可得2R
7,S4R249
（2）方法一：
找球心的位置，易知r1,h
方法二：
大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是
4
2R2,R1,V——
3
4
1,hr,故球心在正方形的中心ABCD处，R1,V—
3
SAC的外接圆，此处特殊，RtSAC的斜边是球半径，
（3）在三棱锥PABC中，PAPBPC
J3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外
接球的体积为（
类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
例4
（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,
且该六棱柱的体积为
9
-,底面周长为3，则这个球的体积为
8
解：
设正六边形边长为
正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则a
底面积为S6血
4
5，r2（争e〉21
R1，球的体积为V—
3
（2）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB
AC
AA12,BAC120，则此
球的表面积等于
解：
BC
M，2r珞4，r2，2，S20
（3）已知
EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,
EAEB
3,AD2,AEB60，则多面体E
ABCD的外接
球的表面积为
。
16
解析：
折叠型，法一:
EAB的外接圆半径为n
00“
D
R32；法二:
01M
V3
，r2
2
O2D
，R2
74，R
2，S16
（4）在直三棱柱ABC
AlB1C1中，
AB
4,AC
6,A
亍AA1
4则直三棱柱
ABCA1B1C1的外接球
160
的表面积为
解析:
BC216
36
6丄
2
28，
BC2^7，
2r
477
忑，r
277
73，
R2
2AA12r（T）
28
40
类型五、折叠模型
题设：
两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠
（如图11）
A
图11
第一步：
先画出如图所示的图形，将
BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2；
第二步：
过
H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心0,连接0E,0C；
第三步：
解
222
0EH1，算出0H1，在RtOCH1中，勾股定理：
0H1CH10C
PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和^ABC均为边长为2的正三角形，则三棱
例5三棱锥
锥PABC外接球的半径为
解析:
2ri
2「2
2
sin60
1
73，
R2
O2H2
2
「1
a/15
"V
法二:
O2H
运，O1H
AH
1,
R2
AO2
AH2O1H2
O1O2
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径第一步：
画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
（ABCD,ADBC,ACBD）
第二步：
设出长方体的长宽高分别为
a,b,c，
AD
BCx，AB
CD
y,ACBDz,列方程组,
2
a
b2
c2
b2
2
c
a2
2
x
2
y
2
z
22
（2R）a
b2
补充:
Va
BCD
abc
labc
6
1
4-abc
3
第三步：
根据墙角模型,
2R
Ja2b2
R2
222
xyz
8
例如,
，求出R，
正四面体的外接球半径可用此法。
例6
（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的
个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是
（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
晅C
3
1的球面上，其中底面的三个顶点
）
■J3
12
解：
（1）截面为
pCO1，面积是込；
（2）高hR
1，底面外接圆的半径为
1，直径为
2R
设底面边长为a，则2R
sinoO2，
3^3
三棱锥的体积为V^Sh
3
O2■
。
―F
（1）题解答图
（3）在三棱锥ABCD中，ABCD2,ADBC3,AC
BD4,则三棱锥ABCD外接球的表
面积为
29
O
2
解析：
如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,
设长宽高分别为a,b,c，则a2b29
b2
22._
ca16
2（a2
b2c2）941629,
2（a2b
2c2）941629,
29
29“2
——,4R
2
如图所示三棱锥ABCD，其中ABCD5,ACBD
b2
6,AD
（4）
表面积为.
解析：
同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为
2（a2b2c2）253649110,a2b2c255,4R255,
【55;对称几何体；放到长方体中】
（5）正四面体的各条棱长都为J2，则该正面体外接球的体积为
BC
解析：
这是特殊情况,
但也是对棱相等的模式，放入长方体中,
7,则该三棱锥外接球的
a,b,c,
55
类型七、两直角三角形拼接在一起
（斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥
）模型
题设：
APBACB90,
C
求三棱锥P
ABC外接球半径（分析：
取公共的斜边的中点O,连接
1OP—AB,
2
半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。
例7
（1）在矩形ABCD中，AB4,
则四面体ABCD的外接球的体积为（
A.空
12
OP,OC，贝UOAOBOC
BC
解：
（1）2RAC5,
（2）在矩形ABCD中,
的外接球的表面积为
125
•9
RI,V
AB2,BC
O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求出
3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,）
125
•6
4125
38
4
3
3,沿BD将矩形
R3
12^，选C
ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD
解析：
（2）BD的中点是球心O,2RBD713,S4R213
类型八、锥体的内切球问题
1题设：
如图14，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步:
先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心;
第二步:
求DHIbD
3
POPHr,PD是侧面
ABP的高;
第三步:
由POE相似于
PDH，建立等式：
DH
PO，解出r
PD
C
图14
2.题设：
如图15，四棱锥
ABC上正四棱锥，求其外接球的半径
第一步:
先现出内切球的截面图,
P,O,H三点共线;
第二步:
求FHiBCPO
2，
PHr,PF是侧面
PCD的高;
第三步:
由POG相似于PFH，建立等式：
OG
HF
PO，解出
PF
3.题设：
三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：
等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：
先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
D
第二步：
设内切球的半径为r，建立等式:
VpABC
Vo
ABCVO
PAB
Vo
PACVOPBC
VPABC
Is
3
ABC
11
—SPABr—SpAC
33
r1S
IOPBC
3
—（SABC
3
SPAB
SpacSPBC）r
第三步:
解出
3VPABC
SoABCSoPABSopacSopbc
习题：
1.若三棱锥
A.3
解：
【A（2R）2
ABC的三条侧棱两两垂直，且SA2,
B.6C.36D.9
7416166,R3
SBSC
4,则该三棱锥的外接球半径为（
【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】
2.三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面
32
3
【共两种】
ABC是边长为J3的正三角形,
SA2，则该三
棱锥的外接球体积等于
Q322
解析：
2r2,（2R）241216,R2
sin60
【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】
3•正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为J3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于.
4,R2，外接球体积-
3
32
8——
3
2
解析：
ABC外接圆的半径为，三棱锥SABC的直径为2R
sin60
令，外接球半径R耒,
或R2（RJ3）21,R二，外接球体积V4
733
4.三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC,△
PABC外接球的半径为.
83273
R337327
PAC边长为2的正三角形,
AB
BC，则三棱锥
4sin6073'
5.三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC,P
解析：
PAC的外接圆是大圆，2R
AC
PAPC
AB
BC，则三棱锥
解析:
ABC外接球的半径为■
222
PAPCAC994
P
cos
2
迈
6.三棱锥P
2R
9
2/2
2PAPC
班,R
4
233
.1
9J2
8
7
一，sin
9
72
（9）
162
81
sin
ABC中，平面PAC平面
ABC,
AC2,
PA
PC,ABBC，则三棱锥PABC
外接球的半径为■
解：
AC是公共的斜边，AC的中点是球心
O，球半径为R
升级会员 