胡不归+阿氏圆练习.docx

1、胡不归+阿氏圆练习胡不归问题一填空题（共 1 小题）1如图，抛物线 y = x2 - 2x - 3 与 x 轴交于 A 、 B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E ，且tan EBA = 4 ，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，3再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E 点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是s 二解答题（共 7 小题）2如图，已知抛物线 y = m(x +1)(x - 2)(m 为常数，且m 0) 与 x 轴从左至右依次交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点C ，且OA = OC ，经过点 B 的直线与抛物

2、线的另一交点 D 在第二象限（1）求抛物线的函数表达式（2）若DBA = 30 ，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF ，一动点M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F ，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？3如图，抛物线 y = 1 x2 + mx + n 与直线 y = - 1 x + 3 交于 A ， B 两点，交 x 轴与 D ， C 两2 2点，连接 AC ， BC ，已知 A(0, 3) ， C(3, 0) （1）求抛物线的解析式；（2）求 tan BAC

3、的值；（3）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE ，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以2每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒 个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？4如图 1，抛物线 y = ax2 + (a + 3)x + 3(a 0) 与 x 轴交于点 A(4, 0) ，与 y 轴交于点 B ，在 x 轴上有一动点 E(m ，0)(0 m 4) ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N ，交抛物线于点P ，过点 P 作 PM AB 于点 M （1）求a 的值和直线 AB 的函数表达式；（

4、2）设PMN 的周长为C ， AEN 的周长为C ，若 C1 = 6 ，求m 的值； C51 22（3）如图 2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ，旋转角为 (0 0) 与 x 轴从左至右依次交于 A ，B8两点，与 y 轴交于点C ，经过点 B 的直线 y = -3 x + b 与抛物线的另一交点为 D 3（1）若点 D 的横坐标为-5 ，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点 P ，使得以 A ，B ，P 为顶点的三角形与ABC 相似， 求 k 的值；（3）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF ，一动点 M 从点

5、A出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F ，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？胡不归问题参考答案与试题解析一填空题（共 1 小题）1如图，抛物线 y = x2 - 2x - 3 与 x 轴交于 A 、 B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E ，且tan EBA = 4 ，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，3再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E 点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是 649s 【解答】解：过点 E 作 x

6、轴的平行线，再过 D 点作 y 轴的平行线，两线相交于点 H ，如图， EH / / AB ，HEB = ABE ，tan HED = tan EBA = DH = 4 ，EH 3设 DH = 4m ， EH = 3m ，则 DE = 5m ，蚂蚁从 D 爬到 E 点的时间=5x 1.25= 4(s)若设蚂蚁从 D 爬到 H 点的速度为 1 单位 /s ，则蚂蚁从 D 爬到 H 点的时间= 4m = 4(s) ，1蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从 D 爬到 H 点所用的时间相等，蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位/s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25 单位 /s 的速

7、度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从 A 以 1 单位 /s 的速度爬到 D 点，再从 D 点以 1 单位/s 速度爬到 H 点的时间，作 AG EH 于G ，则 AD + DH AH AG ， AD + DH 的最小值为 AQ 的长，当 y = 0 时， x2 - 2x - 3 = 0 ，解得 x = -1 ， x = 3 ，则 A(-1, 0) ， B(3, 0) ，1 2直线 BE 交 y 轴于C 点，如图，在RtOBC 中， tan CBO = CO = 4 ，OB 3OC = 4 ，则C(0, 4) ，设直线 BE 的解析式为 y = kx + b ，3k + b = 0k =

8、 - 4把 B(3, 0) ， C(0, 4) 代入得b = 4，解得 3 ，b = 4直线 BE 的解析式为 y = - 4 x + 4 ，3 y = x2 - 2x - 3x = - 7解方程组得x = 3 或3 ，则 E 点坐标为(- 7 ， 64) ， y = - 4 x + 4 y = 0 64 3 9 3 AQ = 64 ，9 y = 964蚂蚁从 A 爬到G 点的时间= 9 = 64 (s) ，1 9即蚂蚁从 A 到 E 的最短时间为 64 s 9故答案为 64 9二解答题（共 7 小题）2如图，已知抛物线 y = m(x +1)(x - 2)(m 为常数，且m 0) 与 x 轴

9、从左至右依次交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点C ，且OA = OC ，经过点 B 的直线与抛物线的另一交点 D 在第二象限（1）求抛物线的函数表达式（2）若DBA = 30 ，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF ，一动点M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F ，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线 y = m(x +1)(x - 2)(m 为常数，且m 0) 与 x 轴从左至右依次交于 A 、B 两点，令 y = 0 ，解得 x =

10、-1 或 x = 2 ， 则 A(-1, 0) ， B(2, 0) ， OA = OC ，C(0, -1) ， 点C(0, -1) 在抛物线 y = m(x +1)(x - 2) 上， m (0 +1) (0 - 2) = -1 ，解得m = 1 2抛物线的函数表达式为： y = 1 (x +1)(x - 2) ；2（2） DBA = 30 ，设直线 BD 的解析式为 y = -3 x + b ，3 B(2, 0) ，0 = - 3 2 + b ，解得b = 2 3 ，3故直线 BD 的解析式为 y = -3y = -33 x + 2 3 ，3 32 3x +联立两解析式可得3 3 ， y =

11、 1 (x +1)(x - 2) 2 2 3 + 3x = -x = 2 3解得 y = 0 ， + 3 2 3 y = 3则 D(- 2 3 + 3 ， 2 3 + 3) ，3 3如图，过点 D 作 DN x 轴于点 N ，过点 D 作 DK / / x 轴， 则KDF = DBA = 30过点 F 作 FG DK 于点G ，则 FG = 1 DF 2由题意，动点M 运动的路径为折线 AF + DF ，运动时间： t = AF + 1 DF ，2t = AF + FG ，即运动的时间值等于折线 AF + FG 的长度值由垂线段最短可知，折线 AF + FG 的长度的最小值为 DK 与 x 轴

12、之间的垂线段 过点 A 作 AH DK 于点 H ，则t最小 = AH ，AH 与直线 BD 的交点，即为所求的 F点 A 点横坐标为-1，直线 BD 解析式为： y = -3 x + 2 3 ，3 3 y = -3 (-1) + 2 3 = ，33 3 F (-1, 3) 综上所述，当点 F 坐标为(-1, 3) 时，点M 在整个运动过程中用时最少3如图，抛物线 y = 1 x2 + mx + n 与直线 y = - 1 x + 3 交于 A ， B 两点，交 x 轴与 D ， C 两2 2点，连接 AC ， BC ，已知 A(0, 3) ， C(3, 0) （1）求抛物线的解析式；（2）求

13、 tan BAC 的值；（3）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE ，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以2每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒 个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？【解答】解：（）把 A(0, 3) ， C(3, 0) 代入 y = 1 x2 + mx + n ，得2 21 9 + 3m + n = 0 n = 3m = - 5解得 2 n = 3抛物线的解析式为 y = 1 x2 - 5 x + 3 2 2 y = - 1 x + 3（2）联立 y =21 x2 - 52 2，x

14、+ 3解得： x = 0 （不符合题意，舍）， x = 4 ， y = 3 y = 1点 B 的坐标为(4,1) 过点 B 作 BH x 轴于 H ，如图 C(3, 0) ， B(4,1) ， BH = 1 ， OC = 3 ， OH = 4 ， CH = 4 - 3 = 1 ， BH = CH = 1 BHC = 90 ，2BCH = 45 ， BC = 2同理： ACO = 45 ， AC = 3 ，ACB = 180 - 45 - 45 = 90 ，23 2tan BAC = BC = = 1 ；AC 3（3）过点 E 作 EN y 轴于 N ，如图 在RtANE 中， EN = AE

15、sin 45= 2 AE ，即 AE =22EN ，2点 M 在整个运动中所用的时间为 DE + EA = DE + EN 1作点 D 关于 AC 的对称点 D ，连接 DE ，则有 DE = DE ， DC = DC ， DCA = DCA = 45 ，DCD = 90 ， DE + EN = DE + EN 根据两点之间线段最短可得：当 D 、 E 、 N 三点共线时， DE + EN = DE + EN 最小 此时， DCD = DNO = NOC = 90 ，四边形OCDN 是矩形， ND = OC = 3 ， ON = DC = DC 对于 y = 1 x2 - 5 x + 3 ，当

16、 y = 0 时，有 1 x2 - 5 x + 3 = 0 ，2 2 2 2解得： x1 = 2 ， x2 = 3 D(2, 0) ， OD = 2 ，ON = DC = OC - OD = 3 - 2 = 1， NE = AN = AO - ON = 3 - 1 = 2 ，点 E 的坐标为(2,1) 4如图 1，抛物线 y = ax2 + (a + 3)x + 3(a 0) 与 x 轴交于点 A(4, 0) ，与 y 轴交于点 B ，在 x 轴上有一动点 E(m ，0)(0 m 4) ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N ，交抛物线于点P ，过点 P 作 PM AB 于点 M

17、（1）求a 的值和直线 AB 的函数表达式；（2）设PMN 的周长为C ， AEN 的周长为C ，若 C1 = 6 ，求m 的值； C51 22（3）如图 2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ，旋转角为 (0 90) ，连接 EA 、 EB ，求 EA + 2 EB 的最小值3【解答】解：（1）令 y = 0 ，则 ax2 + (a + 3)x + 3 = 0 ，(x + 1)(ax + 3) = 0 ， x = -1或- 3 ，a 抛物线 y = ax2 + (a + 3)x + 3(a 0) 与 x 轴交于点 A(4, 0) ，- 3 = 4 ，a a = - 3

18、4 A(4, 0) ， B(0, 3) ，4k + b = 0设直线 AB 解析式为 y = kx + b ，则b = 3 ，k = - 3解得 4 ，b = 3直线 AB 解析式为 y = - 3 x + 3 4（2）如图 1 中， PM AB ， PE OA ，PMN = AEN ， PNM = ANE ，PNM ANE ， PN = 6 ，AN 5 NE / /OB ， AN = AE ，AB OA AN = 5 (4 - m) ，4 抛物线解析式为 y = - 3 x2 + 9 x + 3 ，4 4 PN = - 3 m2 + 9 m + 3 - (- 3 m + 3) = - 3 m

19、2 + 3m ， 4 4 4 4- 3 m2 + 3m 4 = 6 ，5 (4 - m) 54解得m = 2 （3）如图 2 中，在 y 轴上 取一点 M 使得OM = 4 ，连接 AM ，在 AM 上取一点 E 使得3OE= OE OE= 2 ， OM OB = 4 3 = 4 ，3OE2 = OM OB ， OE = OB ， BOE= M OE ， OM OE M OE EOB ， M E = OE = 2 ， BE OB 3 M E= 2 BE ，3 AE+ 2 BE = AE+ EM = AM ，此时 AE+ 2 BE 最小（两点间线段最短， A 、 M 、 E3共线时），最小值=

20、AM = 42 + ( 4)2 = 43 3310 5如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象经过点 A(-1, 0) ，B(0, -3) ，C(2, 0) ，其对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD ，则 1 PB + PD 的最小值为 3 3 ；2 4（3） M (x, t) 为抛物线对称轴上一动点若平面内存在点 N ，使得以 A ， B ， M ， N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点 N 共有个；连接 MA ， MB ，若AMB 不小于60 ，求t 的取值范围a - b + c

21、 = 03a = 23【解答】解：（1）由题意c = -4a + 2b + c = 0解得 = - 3 ，b 23c = -抛物线解析式为 y =3 x2 - 3 x - ，32 23 y = 3 x2 - 3 x - = 3 (x - 1 )2 - 9 3 ，2 2 2 2 8顶点坐标(1 ， - 9 3 ) 2 8（2）如图 1 中，连接 AB ，作 DH AB 于 H ，交OB 于 P ，此时 1 PB + PD 最小23理由： OA = 1 ， OB = ，tan ABO = OA = 3 ，OB 3ABO = 30 ， PH = 1 PB ，2 1 PB + PD = PH + PD

22、 = DH ，2此时 1 PB + PD 最短（垂线段最短）2在RtADH 中， AHD = 90 ， AD = 3 ， HAD = 60 ，2sin 60= DH ，AD3 34 DH = ， 1 PB + PD 的最小值为 3 3 2 4故答案为 3 3 4（3）以 A 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点， 以 B 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段 AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点 M 有 5 个，即满足条件的点 N 也有 5 个， 故答案为 5如图， RtAOB 中， tan ABO = OA = 3 ，OB 3ABO = 30 ，作 AB

23、 的中垂线与 y 轴交于点 E ，连接 EA ，则AEB = 120 ， 以 E 为圆心， EB 为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F 、G 则AFB = AGB = 60 ，从而线段 FG 上的点满足题意，AB EB = 2 = 2 3 ，cos 30 3OE = OB - EB = 3 ，3 F (1 ， t) ， EF 2 = EB2 ，2(1 )2 + (t + 3 )2 = ( 2 3 )2 ，2 3 3解得t = -2 3 +639 或 -2 3 -639 ，故 F (1 ， -2 3 + 39 ) ， G(1 ， -2 3 -39 ) ，2 6 2 6t 的取值范围-2 3 -

24、39t -2 3 + 39 6 66如图，在ACE 中，CA = CE ，CAE = 30 ， O 经过点C ，且圆的直径 AB 在线段 AE上（1）试说明CE 是 O 的切线；（2）若ACE 中 AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示 O 的直径 AB ；（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当 1 CD + OD 的最小值为 6 时，2求 O 的直径 AB 的长【解答】解：（1）连接OC ，如图 1， CA = CE ， CAE = 30 ，E = CAE = 30 ， COE = 2A = 60 ，OCE = 90 ，CE 是 O 的切线；（2）过点C

25、作CH AB 于 H ，连接OC ，如图 2，由题可得CH = h 在RtOHC 中， CH = OC sin COH ， h = OC sin 60= 3 OC ，2OC = 2h = 2 3 h ，3 3 AB = 2OC = 4 3 h ；3（3）作OF 平分AOC ，交 O 于 F ，连接 AF 、CF 、 DF ，如图 3，则AOF = COF = 1 AOC = 1 (180 - 60) = 60 2 2 OA = OF = OC ，AOF 、 COF 是等边三角形， AF = AO = OC = FC ，四边形 AOCF 是菱形，根据对称性可得 DF = DO 过点 D 作 DH OC 于 H ， OA = OC ，OCA = OAC = 30 ， DH = DC sin DCH = DC sin 30= 1 DC ，2 1 CD + OD = DH + FD 2根据垂线段最短可得：当 F 、 D 、 H 三点共线时， DH + FD （即 1 CD + OD) 最小，2此时 FH = OF sin FOH =