（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设∆PMN的周长为C，∆AEN的周长为C，若C1=6，求m的值；
C
5
12
2
（3）如图2，在
（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α（0︒<α<90︒），
连接E'A、E'B，求E'A+2E'B的最小值．
3
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1,0），B（0,-
3），
C（2,0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则1PB+PD的最小值为；
2
（3）M（x,t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60︒，求t的取值范围．
6．如图，在∆ACE中，CA=CE，∠CAE=30︒，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE
上．
（1）试说明CE是O的切线；
（2）若∆ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当1CD+OD的最小值为6时，
2
求O的直径AB的长．
7．如图，在∆ACE中，CA=CE，∠CAE=30︒，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE
上．
（1）证明：
CE是O的切线；
（2）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当AB=8时，求1CD+OD的
2
最小值．
8．如图，已知抛物线y=k（x+2）（x-4）（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依次交于A，B
8
两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-
3x+b与抛物线的另一交点为D．
3
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与∆ABC相似，求k的值；
（3）在
（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
胡不归问题
参考答案与试题解析
一．填空题（共1小题）
1．如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且
tan∠EBA=4，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，
3
再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是64
9
s．
【解答】解：
过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，
EH//AB，
∴∠HEB=∠ABE，
∴tan∠HED=tan∠EBA=DH=4，
EH3
设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，
∴蚂蚁从D爬到E点的时间=
5x1.25
=4（s）
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间=4m=4（s），
1
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位
/s速度爬到H点的时间，
作AG⊥EH于G，则AD+DHAHAG，
∴AD+DH的最小值为AQ的长，
当y=0时，x2-2x-3=0，解得x=-1，x=3，则A（-1,0），B（3,0），
12
直线BE交y轴于C点，如图，
在Rt∆OBC中，tan∠CBO=CO=4，
OB3
∴OC=4，则C（0,4），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
⎧3k+b=0
⎧k=-4
把B（3,0），C（0,4）代入得⎨
⎩b=4
，解得⎪3，
⎪⎩b=4
⎨
∴直线BE的解析式为y=-4x+4，
3
⎧y=x2-2x-3
⎧x=-7
解方程组⎪
得⎧x=3或⎪
3，则E点坐标为（-7，64），
⎪
⎨y=-4x+4⎨y=0⎨6439
⎪⎩3
∴AQ=64，
9
⎩⎪y=
⎩9
64
∴蚂蚁从A爬到G点的时间=9=64（s），
19
即蚂蚁从A到E的最短时间为64s．
9
故答案为64．
9
二．解答题（共7小题）
2．如图，已知抛物线y=m（x+1）（x-2）（m为常数，且m>0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若∠DBA=30︒，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【解答】解：
（1）抛物线y=m（x+1）（x-2）（m为常数，且m>0）与x轴从左至右依次交于A、
B两点，
令y=0，解得x=-1或x=2，则A（-1,0），B（2,0），
OA=OC，
∴C（0,-1），
点C（0,-1）在抛物线y=m（x+1）（x-2）上，
∴m⨯（0+1）⨯（0-2）=-1，
解得m=1．
2
∴抛物线的函数表达式为：
y=1（x+1）（x-2）；
2
（2）∠DBA=30︒，
∴设直线BD的解析式为y=-
3x+b，
3
B（2,0），
∴0=-3⨯2+b，解得b=23，
3
故直线BD的解析式为y=-
3
⎧
y=-
3
3x+23，
33
23
x+
⎪⎪
联立两解析式可得⎨
33，
⎪y=1（x+1）（x-2）
⎪2
⎧23+3
x=-
⎧x=2⎪⎪3
⎪
解得⎨y=0，⎨+3．
23
⎩⎪y=
⎩3
则D（-23+3，23+3），
33
如图，过点D作DN⊥x轴于点N，过点D作DK//x轴，则∠KDF=∠DBA=30︒．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG=1DF．
2
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：
t=AF+1DF，
2
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求的F
点．
A点横坐标为-1，直线BD解析式为：
y=-
3x+23，
33
∴y=-
3⨯（-1）+23=，
3
33
∴F（-1,3）．
综上所述，当点F坐标为（-1,3）时，点M在整个运动过程中用时最少．
3．如图，抛物线y=1x2+mx+n与直线y=-1x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两
22
点，连接AC，BC，已知A（0,3），C（3,0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠BAC的值；
（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以
2
每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，
当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
【解答】解：
（Ⅰ）把A（0,3），C（3,0）代入y=1x2+mx+n，得
2
⎪2
⎧1⨯9+3m+n=0
⎨．
⎪⎩n=3
⎨
⎧m=-5
解得⎪2．
⎪⎩n=3
∴抛物线的解析式为y=1x2-5x+3．
22
⎨
⎧y=-1x+3
（2）联立⎪
⎪
⎪y=
⎩
2
1x2-5
22
，
x+3
解得：
⎧x=0（不符合题意，舍），⎧x=4，
⎩
⎩
⎨y=3⎨y=1
∴点B的坐标为（4,1）．
过点B作BH⊥x轴于H，如图
．
C（3,0），B（4,1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，
∴BH=CH=1．
∠BHC=90︒，
2
∴∠BCH=45︒，BC=．
2
同理：
∠ACO=45︒，AC=3，
∴∠ACB=180︒-45︒-45︒=90︒，
2
32
∴tan∠BAC=BC==1；
AC3
（3）过点E作EN⊥y轴于N，如图
．
在Rt∆ANE中，EN=AEsin45︒=2AE，即AE=
2
2EN，
2
∴点M在整个运动中所用的时间为DE+EA=DE+EN．
1
作点D关于AC的对称点D'，连接D'E，
则有D'E=DE，D'C=DC，∠D'CA=∠DCA=45︒，
∴∠D'CD=90︒，DE+EN=D'E+EN．
根据两点之间线段最短可得：
当D'、E、N三点共线时，DE+EN=D'E+EN最小．此时，∠D'CD=∠D'NO=∠NOC=90︒，
∴四边形OCD'N是矩形，
∴ND'=OC=3，ON=D'C=DC．
对于y=1x2-5x+3，当y=0时，有1x2-5x+3=0，
2222
解得：
x1=2，x2=3．
∴D（2,0），OD=2，
∴ON=DC=OC-OD=3-2=1，
∴NE=AN=AO-ON=3-1=2，
∴点E的坐标为（2,1）．
4．如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4,0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设∆PMN的周长为C，∆AEN的周长为C，若C1=6，求m的值；
C
5
12
2
（3）如图2，在
（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α（0︒<α<90︒），
连接E'A、E'B，求E'A+2E'B的最小值．
3
【解答】解：
（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，
∴（x+1）（ax+3）=0，
∴x=-1或-3，
a
抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4,0），
∴-3=4，
a
∴a=-3．
4
A（4,0），B（0,3），
⎨4k+b=0
设直线AB解析式为y=kx+b，则⎧b=3，
⎩
⎨
⎧k=-3
解得⎪4，
⎪⎩b=3
∴直线AB解析式为y=-3x+3．
4
（2）如图1中，
PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN=∠AEN，∠PNM=∠ANE，
∴∆PNM∽∆ANE，
∴PN=6，
AN5
NE//OB，
∴AN=AE，
ABOA
∴AN=5（4-m），
4
抛物线解析式为y=-3x2+9x+3，
44
∴PN=-3m2+9m+3-（-3m+3）=-3m2+3m，4444
-3m2+3m
∴4=6，
5（4-m）5
4
解得m=2．
（3）如图2中，在y轴上取一点M'使得OM'=4，连接AM'，在AM'上取一点E'使得
3
OE'=OE．
OE'=2，OM'OB=4⨯3=4，
3
∴OE'2=OM'OB，
∴OE'=OB，∠BOE'=∠M'OE'，
OM'OE'
∴△M'OE'∽△E'OB，
∴M'E'=OE'=2，
BE'OB3
∴M'E'=2BE'，
3
∴AE'+2BE'=AE'+E'M'=AM'，此时AE'+2BE'最小（两点间线段最短，A、M'、E'
3
共线时），
最小值=AM'=42+（4）2=4
33
3
10．
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1,0），B（0,-
3），
C（2,0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则1PB+PD的最小值为33；
24
（3）M（x,t）为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；
②连接MA，MB，若∠AMB不小于60︒，求t的取值范围．
⎧a-b+c=0
⎧
3
⎪a=
⎪2
3
⎨
【解答】解：
（1）由题意⎪c=-
⎩
⎪4a+2b+c=0
解得⎪=-3，
b⎨
⎪2
3
⎪c=-
⎪
⎪⎩
∴抛物线解析式为y=
3x2-3x-，
3
22
3
y=3x2-3x-=3（x-1）2-93，
22228
∴顶点坐标（1，-93）．
28
（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时1PB+PD最小．
2
3
理由：
OA=1，OB=，
∴tan∠ABO=OA=3，
OB3
∴∠ABO=30︒，
∴PH=1PB，
2
∴1PB+PD=PH+PD=DH，
2
∴此时1PB+PD最短（垂线段最短）．
2
在Rt∆ADH中，∠AHD=90︒，AD=3，∠HAD=60︒，
2
∴sin60︒=DH，
AD
33
4
∴DH=，
∴1PB+PD的最小值为33．
24
故答案为33．
4
（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5．
②如图，Rt∆AOB中，tan∠ABO=OA=3，
OB3
∴∠ABO=30︒，
作AB的中垂线与y轴交于点E，连接EA，则∠AEB=120︒，以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G．则∠AFB=∠AGB=60︒，从而线段FG上的点满足题意，
AB
EB=2=23，
cos30︒3
∴OE=OB-EB=3，
3
F（1，t），EF2=EB2，
2
∴
（1）2+（t+3）2=（23）2，
233
解得t=-23+
6
39或-23-
6
39，
故F（1，-23+39），G（1，-23-
39），
2626
∴t的取值范围-23-39
t-23+39
66
6．如图，在∆ACE中，CA=CE，∠CAE=30︒，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE
上．
（1）试说明CE是O的切线；
（2）若∆ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当1CD+OD的最小值为6时，
2
求O的直径AB的长．
【解答】解：
（1）连接OC，如图1，
CA=CE，∠CAE=30︒，
∴∠E=∠CAE=30︒，∠COE=2∠A=60︒，
∴∠OCE=90︒，
∴CE是O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，
由题可得CH=h．
在Rt∆OHC中，CH=OCsin∠COH，
∴h=OCsin60︒=3OC，
2
∴OC=2h=23h，
33
∴AB=2OC=43h；
3
（3）作OF平分∠AOC，交O于F，连接AF、CF、DF，如图3，
则∠AOF=∠COF=1∠AOC=1（180︒-60︒）=60︒．22
OA=OF=OC，
∴∆AOF、∆COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，
OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30︒，
∴DH=DCsin∠DCH=DCsin30︒=1DC，
2
∴1CD+OD=DH+FD．
2
根据垂线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即1CD+OD）最小，
2
此时FH=OFsin∠FOH=
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