高等数学基础形成性考核册答案附题目重点.docx

1、高等数学基础形成性考核册答案附题目重点f ( x)的图形关于(C)对称.第1章函数第2章极限与连续(一)单项选择题1下列各函数对中，(C )中的两个函数相等.A.f(x) (、. x)2, g(x) x B. f (x) x2 , g(x) xC.3 x2 1f (x) In x , g(x) 3lnx D. f (x) x 1, g(x)x 1分析：判断函数相等的两个条件(1)对应法则相同(2)定义域相同A、f(x) c.x)2 x,定义域 x|x 0 ; g(x) x,定义域为 R定义域不同，因此函数不相等；B、f(x) x, g(x) x对应法则不同，因此函数不相等；C、f (x) ln

2、 x3 3l nx, 定义域为 x| x 0 , g(x) 3l nx, 定义域为 x | x 0 因此两个函数相等Df(x) x 1,疋义域为R； g(x) x 1,疋义域为 x|x R,x 1x 1定义域不同，因此两函数不等。故选C2.设函数f(x)的定义域为(，)，贝恼数f(x)资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。C. y 轴 D. y x分析：奇函数，f( x) f(x),关于原点对称偶函数，f( x) f (x),关于y轴对称y f x与它的反函数y Lx关于y x对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设g x fx fx ,则 g xf x f x

3、 g x因此g xf x f:x为偶函数,即图形关于y轴对称故选C3.下列函数中为奇函数是(B) A.y ln(1 x2)B.y xcosxC.x xa aD.y ln(1 x)7 2分析:A、 y xln(12 2x ) In 1 x2y x ,为偶函数B、 y xxcosx x cosxy x ,为奇函数或者x为奇函数，COSX为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数x xc、 y x匕旦y x ,因此为偶函数D y x ln(1 x),非奇非偶函数故选B资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。4下列函数中为基本初等函数是A. y x 1 B.C. y x2 D.分析：六种基

4、本初等函数(C)1, x 01,(1)yc（常值）常值函数(2)yx ,为常数-幂函数(3)ya a 0,a 1指数函数(4)yloga x a 0,a 1 对数函数(5)ysin x, y cosx, ytan x, y cot x 二角函数yarc sin x, 1,1 ,(6)yarc cosx, 1,1 ,反三角函数yarc tanx, y arc cot x分段函数不是基本初等函数，故D选项不对 对照比较选C5.下列极限存计算不正确的是 （D）.2A. lim 2 1x x2 2B.lim ln(1x 0x) 0C. lim sin x 0D.lim xsin1 0x xxx分析:A

5、、已知lim丄0 n 0x xlim 2 x x资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。2xlim -x X _2x xlim 1x 1 J x2B、 liml n(1 x) ln(1 0) 0x 0初等函数在期定义域内是连续的sin x 1lim lim -sin x 0x x x xx 时，丄是无穷小量，sin x是有界函数,x无穷小量X有界函数仍是无穷小量.11 sin 1D lim xsin lim x ,令 t 一 0,x ,则原式x x x xx故选DImo.H tlnts&当x 0时，变量(C)是无穷小量.A.sin xxB.1xC.1 xsi nxD.ln

6、(x 2)分析；lim f xx a0,则称f x为xa时的无穷小量A 00乎1,重要极限B、阮，无穷大量0 ,无穷小量x X有界函数sin丄仍为无穷小量xD 1见1门(x 2)=1 n 0+2 In 2故选C7.若函数f(x)在点xo满足(A),则f(x)在点xo连续。A. lim f (x) f (x0) B.x xf (x)在点xo的某个邻域内有定义lim f (x) lim f (x)x x0 x x0C. lim f (x) f (x0) D.x x分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即lim f x f xx x连续的充分必要条件lim f x f x0 li

7、m f x lim f x f x0X x x x) x x0故选A(2)填空题21函数f(x) 9 ln(1 x)的定义域是x|x 3 .x 3分析：求定义域一般遵循的原则(1)偶次根号下的量0(2)分母的值不等于0(3)对数符号下量(真值)为正(5)正切符号内的量不能取k - k 0,1,2川然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域f (x) 9 ln(1 x)要求x 3x2 9 0 x 3或 x 3x 3 0得x 3 求父集 丄 (仇一3 r一11 x 0 x 1定义域为 x|x 32.已知I函数f (X 1) x2 x则2f(x) x -X分析：法，令t x1得xt1则 f(t) t

8、12 t1t2 t 则 f X2x x法二,f(x 1)x(x1)x 1 1 x 1因此 f (t) t 113. lim (1丄)xx2x分析：重要极限lim 11 xe,等价式lim11 x x e推广 lim f x 则 lim(1 1)f x ex a x alim f x 0则 lim(1 f x )f x e1 11 x 1 2x 3 7lim(1 )x lim(1 ) 2 e2x 2x x 2x14.若函数 f(x) (1 x)JX 0，在x 0处连续,则k ex k,x 0分析：分段函数在分段点X。处连续lim f xlim f x fx x0x &lim f x lim x

9、k0 k kx 0 x 01因此k elim f x lim 1 xx 0 x 0e5.函数y x 1, x 0的间断点是 x 0sin x, x 0分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）lim f xlim x 1 01 1x 0x 0不等，因此x0为其间断点lim f xx 0lim sinx 0x 0&若 lim f (x)A,则当xX 时,f (x)A称为X X0时的无穷小量X X。分析：lim(f(x) A) lim f(x) lim A A A 0x xo x x0 x x因此f (x)

10、A为x x时的无穷小量(3)计算题1.设函数f(x)求:f ( 2), f (0), f(1).资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。解：f 2 2, f 0 0, f 1 e2.求函数y lg 2X的定义域.x则定义域为x|x。或x 2底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数.C设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h,即0E二h,下底C 2R 直角三角形AOE中 ,利用勾股定理得AE . OA2 OE2 - R2 h2则上底=2AE 2 R2 h2故S -l2R 2戸亓hR4.求lim沁x 0 sin 2xsin3x lim x 0sin2xsin3

11、x 小 3x lim 2 x 0 sin 2x0 sin2x2x2xsin3x lim 3x-x 0 sin2x2x5.求x2limx 1 si n(x 1)x 1 limx 1 si n(x1)lim(xx 11)(x1)sin(x 1)&求tan3x limx 0 xtan3x limx 0 x00sin3x1cos3xsin3x lim x 0 3x1cos3x7.求lim丄三x 0 sin xlim丄亠x 0 sin xlimxC 1 x2 1)(.1 x2 1)0 (；1x2 1)sinlim01)sin x8.求 lim(J)x .x x 3lim x0(厂八 sinx1)-x3X

12、 - 31- X- 33e9.求 lim x2 6x 8x 4 x 5x 42解：limx2 6x 8x 4 x 5x 4x 4 x 2 limx 4 x 4 x 1lim 口 x 4 x 1 4 110.设函数(x 2)2 ,f(x)x ,x 1 ,讨论f(x)的连续性，并写出其连续区间.解：分别对分段点1,x 1处讨论连续性 (1) (2)【高等数学基础】形考作业 2答案:资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。第3章导数与微分(1)单项选择题1.设 f (0) 0且极限 lim 存在，则 lim f (x) ( C )x 0 Xx 0 XA. f(0)B.f (0)

13、C. f (x)D.0cvx2.设 f (x)在 x0可导，则limh 0f (X02h)2hf(Xo) ( D )A. 2f(x。)B.f (X0)C. 2f(X。)D.f (X0)3.设 f (x) ex,则limf(1X) f(1)(A ).X0XA. eB.2eC 1 C. eD.1 e244.设 f (x) x(x1)(x2) (x99),则f (0) ( D ).A. 99B.99C. 99!D.99!5.下列结论中正确的是(C )A.若f(x)在点X0有极限，则在点X0可导.B.若f(x)在点X0连续，则在点X0可导.C.若f(x)在点资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请

14、联系改正或者删除。X。可导，则在点X。有极限.D. 若f(x)在点X。有极限，则在点X。连续.(二)填空题1.设函数f(x)0,2设 f(ex) e2x5ex,则 d f (In x)、dx3.曲线f(x)x 1在(1,2)处的切线斜率是4曲线f(x)sin x在(n,1)处的切线方程是4(1 -)2 2 45.设x2x则 y 2x2x(1lnx)&设xln x,则 y计算题1.求下列函数的导数(X 一 x3)ex3(x23)ex12J3x2e2cot x2x In x2csc xx 2x l nx2xIn x2x In xln2xxcosx 2In x x2sin xx4 sin xln x

15、. 2sin x x3x4 xsin xjx2x) (In x2x )cosx2 sin x,3 sin x ,4x cosx Inxx3x (cosx2x) (sin x2 x .x )3 In 3yy32xx xx( sinx 2 In 2) 3(cos x 2 )x ,e tanxIn xxx ee ta n x 2cos x x2.求下列函数的导数Ji x2y eJi x2 ey Incosx3. 3sin x 小 2 3x cosx3x2 tan x3 y XX x7y x8 y 3 x x1 2 1y x2)T(i 、三)3 2 y cos2 exy exsin(2ex)2 y c

16、osex2xeX sinex y sinn xcosnxnsin xcosx cosnx nsin xsin( nx)sin x252xl n5cosx25sinx.2 Sin x e.2sin xsin 2xe2y xx x (li) y xe ee(1) ycosx e2y2yy cosx y sin x 2e y y sin xy 石cosx 2e(2) y cos y In xsin y.y In x cos y. x cosyx(1 sin y In x)2xcosy.y2sin y2yx x2y2y2x 、y(2xcosy 7)2yx2y2sin y2xy 2y sin y y 2

17、xy2cosy x? y x In yy_y In x ey y2y-e y 2yy x1x(2y ey) y2 1 ex sin yxe sin y2y ex cosyeyy x 2e y e 3y yxe 门2 y 7 3y e5x 2y5xln5 y 2y In25x In 51 2y In24求下列函数的微分dy： y cotx cscxdy(cos xcos x、，2 )dx sin xIn xysin x1 . sin xIn xcosxdyx2 dxsinx.1 arcs in1dyF)2(1 x) (1(1 x)2x)dx1 x两边对数得1In y ln(1 x) ln(1 x

18、)3y_yy1 1 1( )3 1 x 1 x131 x(丄3 1 x 1 x.2 x sin edy2sinexex exdx sin(2ex )exdxtane2 x3 2sec e 3x dx3x2ex3sec2 xdx5.求下列函数的二阶导数(1)y xln xy 1 In x1yx(2)y xsin xy xcosx sin x y xsi nx 2cosx y arctanx11 x22x2 2(1 x )y 3x22ln3 3xx2 2 x2 2y 2x3x In3 y 4x23x In23(4)证明题设f(x)是可导的奇函数，试证f(x)是偶函数.证：因为f(x)是奇函数 因此

19、f ( x) f(x)两边导数得：f ( x)( 1) f (x) f ( x) f(x)资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 因此f (x)是偶函数。【高等数学基础】形考作业 3答案:第4章导数的应用(一)单项选择题1.若函数f(x)满足条件(D),贝卩存在 (a,b),使得f()f(b) f(a).b aA. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导C. 在(a,b)内连续且可导 D. 在a,b内连续，在(a,b)内可导2.函数f(x)x2 4x 1的单调增加区间是(D ).A.(,2)B. ( 1,1)C.(2,)D. ( 2,)3.函数2y x4x 5在区

20、间(6,6)内满足(A ).A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升4.函数f (x)满足f (x) 0的点，一定是f(x)的(C ).A.间断点 B.极值点C.驻点 D.拐点5.设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数 ，xo (a,b),若f(x)满足(C ), 则资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。f(x)在X。取到极小值.内是(A )(2)填空题2.若函数f (X)在点X0可导,且X0是f (X)的极值点,则f (X0)3. 函数y ln(1 x2)的单调减少区间是(,0).4. 函数f(x) e的单调增加区间是(0,)5.若函

21、数f (x)在a,b内恒有f (x) 0,则f (x)在a, b上的最大值是f (a).&函数f(x) 2 5x 3x3的拐点是 X=0 (3)计算题1求函数y (x 1) (x 5)2的单调区间和极值.资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。令 y (x 1)2(x 5)2 2(x 5)(x 2)f (0) 3 f (3) 6 f(1) 2最大值 f (3) 6最小值 f (1) 2(1, 10),且x 2是驻点，x 1是拐点.44 8b 4b 2x d10 a b c d0 12a 4b c0 6a 2b4求曲线y2 2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短.解：设

22、p(x, y)是y2 2x上的点，d为p到A点的距离，则：d .(x 2)2 y2 (x 2)2 2x令dy22(x 2) 2 x 1时，圆柱体的体积最大？设园柱体半径为R,高为h,则体积设园柱体半径为R,高为h,则体积2,(x 2)2 2x (x 2)2 2x 2x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短7.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法 用料最省？解：设底连长为x,高为h。则:62.5 x2h h %5x侧面积为：S x2 4xh x2令 S 2X 250 0 X3 125 x 5x答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省(4)证明题1.当x 0时，证

23、明不等式x ln(1 x).!匕一1 x ln(1 x) (当 x 0时)x2.当x 0时，证明不等式ex x 1 .设f (x) ex (x 1)f (x) ex 1 0 (当x 0时) 当x 0时f(x)单调上升且f (0) 0f (x) 0,即ex (x 1)证毕【高等数学基础】形考作业 4答案：第5章不定积分第6章定积分及其应用(一)单项选择题1.若 f(x)的一个原函数是 丄，则f (x) ( Dxdf (x) f (x) C. d f (x)dx f (x) D. f(x)dx dxf(x)2.下列等式成立的是(D )所围成的平面区域的面积是bg(x) f(x)dxa (二)填空题

24、2.若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数 ，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x) G(x) c(常数).2 23. d ex dx ex5.9cos(3x)若 f(x)ck cos3x c,贝卩 f (x)6.(sin5 x 】)dx(1.2.3.4.5.6.7.8.(3 27.若无穷积分丄dx收敛,xp三)计算题1cos-AdxxLxxd.x 2ex-dx xln x1P(lnx)In (In x)xsin 2xdxxcos2x2cos2xdx1xcos2x2e3 In x dx1eJ3In x)d(3In x)eIn x)11xe02xdx2xx2xdx2xexIn xdx12x

25、 IIn2exdx1eln xpdx丄Inxxfdx四)证明题1.证明：若f(x)在a,a上可积并为奇函数资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。证：a a a a令 x t f(x)dx f ( t)dt f ( t)dt f (t)dta a a a2.证明：若f(x)在a,a上可积并为偶函数，贝S :f(x)dx 2 ：f(x)dx .令x t,则0f (x)dxa0a f( t)dta0 f(t)dtf ( x )是偶函数a0aaaaf(x)dxaf (x)dx af(x)dx00f(x)dx0 f(x)dx 2 0 f(x)dx3.证明：aa f(x)dxa0 f(x) f(x)dx证毕a a a= 0 f( x)dx 0 f(x)dx 0f(x) f( x)dx 证毕