高等数学基础形成性考核册答案附题目重点.docx
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高等数学基础形成性考核册答案附题目重点
f（x）的图形关于（C）对称.
第1章函数
第2章极限与连续
（一）单项选择题
1•下列各函数对中，（C）中的两个函数相等.
A.
f（x）（、..x）2,g（x）xB.f（x）x2,g（x）x
C.
3x21
f（x）Inx,g（x）3lnxD.f（x）x1,g（x）
x1
分析：
判断函数相等的两个条件
（1）对应法则相同
（2）定义域相同
A、
f（x）c.x）2x,定义域x|x0;g（x）x,定义域为R
定义域不同，因此函数不相等；
B、
f（x）x,g（x）x对应法则不同，因此函数不相等；
C、
f（x）lnx33lnx,定义域为x|x0,g（x）3lnx,定义域为x|x0因此两个函数相等
D
f（x）x1,疋义域为R；g（x）x1,疋义域为x|xR,x1
x1
定义域不同，因此两函数不等。
故选C
2.设函数f（x）的定义域为（，），贝恼数f（x）
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C.y轴D.yx
分析：
奇函数，f（x）f（x）,关于原点对称
偶函数，f（x）f（x）,关于y轴对称
yfx与它的反函数yLx关于yx对称，
奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称
设gxf
xf
x,则gx
fxfxgx
因此gx
fxf
:
x为偶函数
即图形关于y轴对称
故选C
3.下列函数中为奇函数是
（B）•
A.
yln（1x2）
B.
yxcosx
C.
xx
aa
D.
yln（1x）
72
分析
:
A、yx
ln（1
22
x）In1x2
yx,为偶函数
B、yx
xcos
xxcosx
yx,为奇函数
或者x为奇函数，COSX为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数
xx
c、yx匕旦yx,因此为偶函数
Dyxln（1x）,非奇非偶函数
故选B
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4•下列函数中为基本初等函数是
A.yx1B.
C.yx'2D.
分析：
六种基本初等函数
（C）
1,x0
1,
（1）
y
c（常值）
――常值函数
（2）
y
x,为常数
-幂函数
（3）
y
aa0,a1
――指数函数
（4）
y
logaxa0,a1
对数函数
（5）
y
sinx,ycosx,y
tanx,ycotx二角函数
y
arcsinx,1,1,
（6）
y
arccosx,1,1,
――反三角函数
y
arctanx,yarccotx
分段函数不是基本初等函数，故D选项不对对照比较选C
5.下列极限存计算不正确的是（D）.
2
A.lim21
xx22
B.
limln（1
x0
x）0
C.limsinx0
D.
limxsin
10
xx
x
x
分析:
A、已知lim丄
0n0
xx
lim2xx
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2
x
lim-
xX_2
xx
lim—1—
x1Jx2
B、limln（1x）ln（10）0
x0
初等函数在期定义域内是连续的
sinx1
limlim-sinx0
xxxx
x时，丄是无穷小量，sinx是有界函数,
x
无穷小量X有界函数仍是无穷小量
.1
1sin—1
Dlimxsin—limx,令t一0,x,则原式
xxx—x
x
故选D
Imo
.Ht
lnt
s
&当x0时，变量（C）是无穷小量.
A.
sinx
x
B.
1
x
C.
.1xsin
x
D.
ln（x2）
分析；
limfx
xa
0,则称fx为x
a时的无穷小量
A00乎1,重要极限
B、阮，无穷大量
0,无穷小量xX有界函数sin丄仍为无穷小量
x
D1见1门（x2）=1n0+2In2
故选C
7.若函数f（x）在点xo满足（A）,
则f（x）在点xo连续。
A.limf（x）f（x0）B.
xx
f（x）在点xo的某个邻域内有定义
limf（x）limf（x）
xx0xx0
C.limf（x）f（x0）D.
xx
分析：
连续的定义：
极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即
limfxfx^
xx
连续的充分必要条件limfxfx0limfxlimfxfx0
Xxxx）xx0
故选A
（2）填空题
2
1•函数f（x）—9ln（1x）的定义域是—x|x3.
x3
分析：
求定义域一般遵循的原则
（1）
偶次根号下的量
0
（2）
分母的值不等于
0
（3）
对数符号下量（
真值）为正
（5）正切符号内的量不能取k-k0,1,2川
然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域
f（x）—9ln（1x）要求
x3
x290x3或x3
x30得x3求父集丄（
仇一3r
\一1
1x0x—1
定义域为x|x3
2.已知I
函数f（X1）x
2x
则
2
f（x）x-X
分析：
法，令tx
1得x
t
1
则f（t）t
12t
1
t2t则fX
2
xx
法二,f（x1）
x（x
1）
x11x1
因此f（t）t11
3.lim（1
丄）x
x
2x
分析：
重要极限lim1
1x
e,
等价式lim
1
1xxe
推广limfx则lim（11—）fxe
xaxa
limfx0则lim（1fx）fxe
11
1x12x37
lim
（1）xlim
（1）2e2
x2xx2x
1
4.若函数f（x）（1x）J
X0，在
x0处连续,
则ke
xk,
x0
分析：
分段函数在分段点
X。
处连续
limfx
limfxf
xx0
x&
limfxlimxk
0kk
x0x0
1
因此ke
limfxlim1x
x0x0
e
5.函数yx1,x0的间断点是x0
sinx,x0
分析：
间断点即定义域不存在的点或不连续的点
初等函数在其定义域范围内都是连续的
分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）
limfx
limx10
11
x0
x0
不等，
因此x
0为其间断点
limfx
x0
limsinx0
x0
&若limf（x）
A,则当x
X°时,f（x）
A称为
XX0时的无穷小量
XX。
分析：
lim（f（x）A）limf（x）limAAA0
xxoxx0xx
因此f（x）A为xx°时的无穷小量
（3）计算题
1.设函数
f（x）
求:
f
（2）,f（0）,f
（1）.
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解：
f22,f00,f1e
2.求函数ylg2X^的定义域.
x
则定义域为x|x。
或x2
底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数.
C
设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h,即0E二h,下底C[>2R直角三角形AOE中,利用勾股定理得
AE.OA2OE2•-R2h2
则上底=2AE2R2h2
故S-l2R2戸亓hR
4.求
lim沁
x0sin2x
sin3xlimx0sin2x
sin3x小3xlim2^—x0sin2x
0sin2x
2x
2x
sin3xlim3x-
x0sin2x
2x
5.求
x2
lim
x1sin（x1）
x1lim
x1sin（x
1）
lim（x
x1
1）（x
1）
sin（x1）
&求
tan3xlim
x0x
tan3xlim
x0x
00
sin3x
1
cos3x
sin3xlimx03x
1
cos3x
7.求
lim丄三
x0sinx
lim丄亠
x0sinx
lim
x
C1x21）（.1x21）
0（；1
x21）sin
lim0
1）sinx
8.求lim（J）x.
xx3
lim—
x0（厂
八sinx
1）-
x
3
X-3
1-X-3
3e
9.求limx26x8
x4x5x4
2
解：
limx26x8
x4x5x4
x4x2lim
x4x4x1
lim口—
x4x141
10.设函数
（x2）2,
f（x）
x,
x1,
讨论f（x）的连续性，并写出其连续区间.
解：
分别对分段点
1,x1处讨论连续性
（1）
（2）
【高等数学基础】形考作业2答案:
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第3章导数与微分
（1）单项选择题
1.设f（0）0且极限lim存在，则limf（x）（C）
x0X
x0X
A.f（0）
B.
f（0）
C.f（x）
D.
0cvx
2.设f（x）在x0
可导，
则lim
h0
f（X0
2h）
2h
f（Xo）（D）
A.2f（x。
）
B.
f（X0）
C.2f（X。
）
D.
f（X0）
3.设f（x）ex,
则lim
f（1
X）f
（1）
（A）.
X
0
X
A.e
B.
2e
C1C.e
D.
1e
2
4
4.设f（x）x（x
1）（x
2）（x
99）,
则
f（0）（D）.
A.99
B.
99
C.99!
D.
99!
5.下列结论中正确的是（C）
A.若f（x）在点X0有极限，则在点X0可导.
B.若f（x）在点X0连续，则在点X0可导.
C.若f（x）在点
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X。
可导，则在点X。
有极限.
D.若f（x）在点
X。
有极限，则在点X。
连续.
（二）填空题
1.设函数f（x）
0,
2设f（ex）e2x
5ex,
则df（Inx）
、dx
3.曲线
f（x）
x1在（1,2）处的切线斜率是
4•曲线
f（x）
sinx在（n,1）处的切线方程是
4
^（1-）
224
5.设
x2x
则y2x2x（1
lnx）
&设
xlnx,则y
计算题
1.求下列函数的导数
（X一x
3）ex
3
（x2
3）ex
1
2J
3
x2e
2
cotx
2
xInx
2
cscx
x2xlnx
2
x
Inx
2xInx
ln2x
x
cosx2
Inxx2
sinx
x4sinxlnx
.2
sinxx
3x
4x
sinxj
x
2x）（Inx
2
x）cosx
・2sinx
3sinx,
4xcosxIn
x
x
3x（cosx
2x）（sinx
2x.
x）3In3
y
y
32x
xx
x（sinx2In2）3（cosx2）
x,
etanx
Inx
x
xe
etanx2
cosxx
2.求下列函数的导数
Jix2
ye
Jix2e
yIn
cosx3
.3
sinx小23xcosx
3x2tanx3
⑶yXXx
7
yx8
⑷y3xx
121
yx2）T（i、三）
32
⑸ycos2ex
yexsin（2ex）
2
⑹ycosex
2xeXsinex
⑺ysinnxcosnx
nsinxcosxcosnxnsinxsin（nx）
sinx2
5
2xln5cosx25sinx
.2—Sinxe
.2
sinx
sin2xe
2
⑽yx
xx
（li）yxeee
（1）ycosxe2y
2y
ycosxysinx2eyysinx
y石
cosx2e
（2）ycosyInx
siny.yInxcosy.—xcosy
x（1sinyInx）
2xcosy.y
2siny
2yxx2y
2
y
2
x、
y（2xcosy7）
2yx
2
y
2siny
2xy2ysinyy2xy2cosyx?
⑷yxIny
y_
y
⑸Inxeyy2
y
-ey2yyx
1
x（2yey）
⑹y21exsiny
x
esiny
2yexcosy
⑺ey
yx2
eye3yy
x
e门2y73ye
5x2y
5xln5y2yIn2
5xIn5
12yIn2
4•求下列函数的微分
dy：
⑴ycotxcscx
dy
（—^
cosx
cosx、，
2）dxsinx
⑵
Inx
y
sinx
1.sinx
Inxcosx
dy
x
2dx
sin
x
.1arcsin
1
dy
F）2
（1x）（1
（1x）2
x）dx
■1x
两边对数得
1
Inyln（1x）ln（1x）
3
y_
y
y
111
（）
31x1x
131x（丄
3■1x1x
.2xsine
dy
2sinexexexdxsin（2ex）exdx
tane
2x32
sece3xdx
3x2ex3
sec2xdx
5.求下列函数的二阶导数
（1）yxlnx
y1Inx
1
y
x
（2）yxsinx
yxcosxsinxyxsinx2cosx
⑶yarctanx
1
1x2
2x
22
（1x）
⑷y3x
2
2ln33x
x22x22
y2x3xIn3y4x23xIn23
（4）证明题
设f（x）是可导的奇函数，试证f（x）是偶函数.
证：
因为f（x）是奇函数因此f（x）f（x）
两边导数得：
f（x）
（1）f（x）f（x）f（x）
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因此f（x）是偶函数。
【高等数学基础】形考作业3答案:
第4章导数的应用
（一）单项选择题
1.若函数f（x）满足条件（D）,贝卩存在（a,b）,使得f（）f（b）f（a）.
ba
A.在（a,b）内连续B.在（a,b）内可导
C.在（a,b）内连续且可导D.在［a,b］内连续，在（a,b）内可导
2.函数
f（x）
x24x1的单调增加区间是（D）.
A.
（
2）
B.（1,1）
C.
（2,
）
D.（2,）
3.函数
2
yx
4x5在区间（6,6）内满足（A）.
A.
先单调下降再单调上升
B.
单调下降
C.
先单调上升再单调下降
D.
单调上升
4.
函数f（x）满足f（x）0的点，
一定是
f（x）的（C）.
A.
间断点B.
极值点
C.
驻点D.
拐点
5.设f（x）在（a,b）内有连续的二阶导数，xo（a,b）,若f（x）满足（C）,则
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f（x）在X。
取到极小值.
内是（A）
（2）
填空题
2.若函数f（X）在点X0可导,且X0是f（X）的极值点,则f（X0）
3.函数yln（1x2）的单调减少区间是（,0）.
4.函数f（x）e"的单调增加区间是（0,）
5.若函数f（x）在［a,b］内恒有f（x）0,则f（x）在［a,b］上的最大值是f（a）.
&函数f（x）25x3x3的拐点是X=0
（3）计算题
1求函数y（x1）（x5）2的单调区间和极值.
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令y（x1）2（x5）22（x5）（x2）
f（0）3f（3）6f
（1）2
最大值f（3）6
最小值f
（1）2
（1,10）,且x2是驻点，x1是拐点.
448b4b2xd
10abcd
012a4bc
06a2b
4•求曲线y22x上的点，使其到点A（2,0）的距离最短.
解：
设p（x,y）是y22x上的点，d为p到A点的距离，则：
d.（x2）2y2
■（x2）22x
令d
y2
2（x2）2x1
时，圆柱体的体积最大？
设园柱体半径为R,高为h,则体积
设园柱体半径为R,高为h,则体积
2,（x2）22x（x2）22x2x上点（1,2）到点A（2,0）的距离最短
7.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：
设底连长为x,高为h。
则:
62.5x2hh%5
x
侧面积为：
Sx24xhx2
令S2X2500X3125x5
x
答：
当底连长为5米，高为2.5米时用料最省
（4）证明题
1.当x0时，证明不等式xln（1x）.
!
^匕一1xln（1x）（当x0时）
x
2.当x0时，证明不等式exx1.
设f（x）ex（x1）
f（x）ex10（当x0时）当x0时f（x）单调上升且f（0）0
f（x）0,即ex（x1）证毕
【高等数学基础】形考作业4答案：
第5章不定积分
第6章定积分及其应用
（一）单项选择题
1.若f（x）的一个原函数是丄，则f（x）（D
x
df（x）f（x）C.df（x）dxf（x）D.—f（x）dxdx
f（x）
2.下列等式成立的是（D）
所围成的平面区域的面积是
b
[g（x）f（x）]dx
a
（二）填空题
2.若函数F（x）与G（x）是同一函数的原函数，则F（x）与G（x）之间有关系式
F（x）G（x）c（常数）.
22
3.dexdxex
5.
9cos（3x）
若f（x）ckcos3xc,贝卩f（x）
6.（sin5x】）dx
（
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
（
32
7.若无穷积分
丄dx收敛,
xp
三）计算题
1
cos-
Adx
x
Lx
xd.x2ex
-dxxlnx
1
P（lnx）
In（Inx）
xsin2xdx
」xcos2x
2
cos2xdx
1xcos2x
2
e3Inxdx
1
e
J3
Inx）d（3
Inx）
e
Inx）1
1
xe
0
2x
dx
2xx
2xdx
2x
e
xInxdx
1
2
xI
In
2
e
xdx
1
elnx」
pdx
丄Inx
x
fdx
四）证明题
1.证明：
若f（x）在［a,a］上可积并为奇函数
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证：
aaaa
令xtf（x）dxf（t）dtf（t）dtf（t）dt
aaaa
2.证明：
若f（x）在［a,a］上可积并为偶函数，贝S:
f（x）dx2：
f（x）dx.
令xt,则
0
f（x）dx
a
0
af（t）dt
a
0f（t）dt
f（x）是偶函数
a
0
a
a
aa
f（x）dx
a
f（x）dxa
f（x）dx
00
f（x）dx
0f（x）dx20f（x）dx
3.证明：
a
af（x）dx
a
0[f（x）f（
x）]dx
证毕
aaa
=0f（x）dx0f（x）dx0[f（x）f（x）]dx证毕
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