将军饮马系列最值问题教案资料.docx

1、将军饮马系列最值问题教案资料将军饮马系列-最值问题题将军饮马”系列最值问题1. 两点之间，线段最短4. A、B 分别为同一圆心 O 半径不等的两个圆上的一点， R r AB R r当且仅当 A、B、O 三点共线时能取等号古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从 A 出发到河边饮马，然后再到 B 地军营视察，显然有许多走法问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答这个问题后来被人们称作“将军饮马”问面我们来看看数学家是怎样解决的海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题根据公理：连接两点的所有线

2、中，线段最短若A 、B在河流的异侧，直接连接 AB ， AB与l的交点即为所求知识讲解知识回顾海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是它的对称轴这时我们就说这个图形关于这条直线 （或轴 ）对称如等腰 ABC 是轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个 图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称 点如下图， ABC与 ABC关于

3、直线 l对称， l叫做对称轴 A和A，B和 B，C和C 是对称点轴对称的两个图形有如下性质：1关于某条直线对称的两个图形是全等形；2对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；3两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称 轴上线段垂直平分线：垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况， 通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰 梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问

4、题。考察知识点： “两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段 的平移”。解题总思路： 找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转 “直”等变式问题考查。构建“对称模型”实现转化PA PBBC常见模型：1) PA PB 最小同侧异侧2） PA PB 最小同侧异侧异侧lA图5lA图6 PA PB 最大同侧异侧变形】异侧时，也可以问：在直线 l 上是否存在一点 P使的直线 l 为 APB的角平分线5)线段和最小EAPE= BPE同步练习例 1】尺规作图，作线段 AB 的垂直平分线，作 COD 的角平分线变式练习】已知：如图，ABC及两点 M 、 N 求作：点 P

5、，使得 PM PN，且 P 点到 ABC两边所在的直线的距离相等CB ，当点 P 在直线 若不存在，请说明A、 B两仓库的例 2】 已知点 A 在直线 l 外，点 P 为直线 l 上的一个动点，探究是否存在一个定点l 上运动时，点 P 与 A 、 B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点 B ；理由例 3】如图，在公路 a的同旁有两个仓库 A、 B ，现需要建一货物中转站，要求到 距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？BAa变式练习】如图， M、N为 ABC的边 AC、 BC上的两个定点，在 AB上求一点 P，使 PMN的周长最短例4】如图， AOB 45 ，角内有点

6、P ，在角的两边有两点 Q、R（均不同于 O点），求作 Q、R， 使得 PQR 的周长的最小例5】如图，在 POQ内部有 M 点和 N点，同时能使 MOP NOQ ，这时在直线 OP上再取 A点，使从 A点到M 点及 N点的距离和为最小；在直线 OQ上也取 B点，使从 B点到 M点和N 点的距离和也最小证明： AM AN BM BN 例7】已知： A、B两点在直线 l的同侧， 在l上求作一点 M，使得 |AM BM |最小值和最大值变式练习】 （07 年三帆中学期中试题 ）如图，正方形 ABCD中， AB 8， M是DC上的一点，且 DM 2，N是 AC上的一动点求（ 1） DN MN 的最小

7、值与最大值（ 2） DN MN 的最小值与最大值例8】如图ABC，D 、E 、F分别是 AB 、BC 、AC边上的点（均不与点 A 、B 、C重合），记 DEF 的周长为 p ，请作出周长最小的 DEF 课后练习习题 1】如图，在等腰 Rt ABC中， CA CB 3， E的 BC上一点，满足 BE 2，在斜边 AB上求作 一点 P使得 PC PE 长度之和最小习题2】如图，菱形 ABCD的两条对角线分别长 6和8，点M 、 N分别是变 AB 、 BC的中点，在对角线 AC 求作一点 P使得 PM PN 的值最小使 BP AP 的值最小，并求 BP AP 的最小值A 2 3 B2 6 C3D 6实验与探究：1）由图观察易知 A 2 ，0 关于直线 l 的对称点 A的坐标为 2，0 ，请在图中分别标 B 5 ，3 、C 2 ，5 关 于 直 线 l 的 对 称 点 B 、C 的 位 置 ， 并 写 出 它 们 的 坐 标 ： B C ；归纳与发现：2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P a，b 关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P 的坐标为 （不必证明）；运用与拓广：3）已知两点 D 1， 3 、E 1， 4 ，试在直线 l 上找一点 Q，使点 Q到 D 、E 两点的距离之和 最小