将军饮马系列最值问题教案资料.docx
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将军饮马系列最值问题教案资料
将军饮马系列---最
值问题
题
将军饮马”系列最值问题
1.两点之间,线段最短.
4.A、B分别为同一圆心O半径不等的两个圆上的一点,RrABRr
当且仅当A、B、O三点共线时能取等号.
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦.
有一天,有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:
如图,将军
从A出发到河边饮马,然后再到B地军营视察,显然有许多走法.问怎样走路线最短呢?
精通数理的海伦稍加思索,便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问
面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题.
根据公理:
连接两点的所有线中,线段最短.
若A、B在河流的异侧,直接连接AB,AB与l的交点即为所求.
知识讲解
知识回顾
海伦解决本问题时,是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理,即轴对称思想轴对称及其性质:
把一个图形沿某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就
叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)
对称.如等腰ABC是轴对称图形.
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就是说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
如下图,ABC与A'B'C'关于直线l对称,l叫做对称轴.A和A',B和B',C和C'是对称点.
轴对称的两个图形有如下性质:
1关于某条直线对称的两个图形是全等形;
2对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;
3两个图形关于某条直线对称,如果他们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上.
线段垂直平分线:
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等;
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高,或者求几条折线段的最小值等情况,通常考虑作轴对称变换,以“补齐”图形,集中条件。
所有的轴对称图形(角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴),都可以考察“将军饮马”问题。
考察知识点:
“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。
解题总思路:
找点关于线的对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
构建“对称模型”实现转化
PAPB⋯BC
常见模型:
1)PAPB最小
同侧
异侧
2)①PAPB最小
同侧
异侧
异侧
l
A
图5
l
A
图6
②PAPB最大
同侧
异侧
变形】异侧时,也可以问:
在直线l上是否存在一点P使的直线l为APB的角平分线
5)线段和最小
E
APE=BPE
同步练习
例1】尺规作图,作线段AB的垂直平分线,作COD的角平分线.
变式练习】已知:
如图,
ABC及两点M、N.求作:
点P,使得PMPN,且P点到ABC两
边所在的直线的距离相等.
C
B,当点P在直线若不存在,请说明
A、B两仓库的
例2】已知点A在直线l外,点P为直线l上的一个动点,探究是否存在一个定点
l上运动时,点P与A、B两点的距离总相等,如果存在,请作出定点B;
理由.
例3】如图,在公路a的同旁有两个仓库A、B,现需要建一货物中转站,要求到距离和最短,这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理?
B
A
a
变式练习】如图,M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点,在AB上求一点P,使PMN的
周长最短.
例4】如图,AOB45,角内有点P,在角的两边有两点Q、R(均不同于O点),求作Q、R,使得PQR的周长的最小.
例5】如图,在POQ内部有M点和N点,同时能使MOPNOQ,这时在直线OP上再取A
点,使从A点到M点及N点的距离和为最小;在直线OQ上也取B点,使从B点到M点和
N点的距离和也最小.证明:
AMANBMBN.
例7】已知:
A、B两点在直线l的同侧,在l上求作一点M,使得|AMBM|最小值和最大值.
变式练习】(07年三帆中学期中试题)如图,正方形ABCD中,AB8,M是DC上的一点,且DM2,N是AC上的一动点.
求
(1)DNMN的最小值与最大值.
(2)DNMN的最小值与最大值.
例8】如图△ABC,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记△DEF的周长为p,请作出周长最小的△DEF.
课后练习
习题1】如图,在等腰RtABC中,CACB3,E的BC上一点,满足BE2,在斜边AB上求作一点P使得PCPE长度之和最小.
习题2】如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点M、N分别是变AB、BC的中点,在对
角线AC求作一点P使得PMPN的值最小.
使BPAP的值最小,并求BPAP的最小值.
A.23B.26C.3
D.6
实验与探究:
1)由图观察易知A2,0关于直线l的对称点A'的坐标为2,0,请在图中分别标B5,3、C2,5关于直线l的对称点B'、C'的位置,并写出它们的坐标:
B'C';
归纳与发现:
2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:
坐标平面内任一点Pa,b关于第一、三象限
的角平分线l的对称点P'的坐标为(不必证明);
运用与拓广:
3)已知两点D1,3、E1,4,试在直线l上找一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小.