将军饮马系列最值问题教案资料.docx
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将军饮马系列最值问题教案资料
将军饮马系列---最
值问题
题
将军饮马”系列最值问题
1.两点之间，线段最短．
4.A、B分别为同一圆心O半径不等的两个圆上的一点，RrABRr
当且仅当A、B、O三点共线时能取等号．
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．
有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：
如图，将军
从A出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？
精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问
面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．
根据公理：
连接两点的所有线中，线段最短．
若A、B在河流的异侧，直接连接AB，AB与l的交点即为所求．
知识讲解
知识回顾
海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质：
把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就
叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）
对称．如等腰ABC是轴对称图形．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
如下图，ABC与A'B'C'关于直线l对称，l叫做对称轴．A和A'，B和B'，C和C'是对称点．
轴对称的两个图形有如下性质：
1关于某条直线对称的两个图形是全等形；
2对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；
3两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
线段垂直平分线：
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。
所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。
考察知识点：
“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
解题总思路：
找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
构建“对称模型”实现转化
PAPB⋯BC
常见模型：
1）PAPB最小
同侧
异侧
2）①PAPB最小
同侧
异侧
异侧
l
A
图5
l
A
图6
②PAPB最大
同侧
异侧
变形】异侧时，也可以问：
在直线l上是否存在一点P使的直线l为APB的角平分线
5）线段和最小
E
APE=BPE
同步练习
例1】尺规作图，作线段AB的垂直平分线，作COD的角平分线．
变式练习】已知：
如图，
ABC及两点M、N．求作：
点P，使得PMPN，且P点到ABC两
边所在的直线的距离相等．
C
B，当点P在直线若不存在，请说明
A、B两仓库的
例2】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点
l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；
理由．
例3】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？
B
A
a
变式练习】如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使PMN的
周长最短．
例4】如图，AOB45，角内有点P，在角的两边有两点Q、R（均不同于O点），求作Q、R，使得PQR的周长的最小．
例5】如图，在POQ内部有M点和N点，同时能使MOPNOQ，这时在直线OP上再取A
点，使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线OQ上也取B点，使从B点到M点和
N点的距离和也最小．证明：
AMANBMBN．
例7】已知：
A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得|AMBM|最小值和最大值．
变式练习】（07年三帆中学期中试题）如图，正方形ABCD中，AB8，M是DC上的一点，且DM2，N是AC上的一动点．
求
（1）DNMN的最小值与最大值．
（2）DNMN的最小值与最大值．
例8】如图△ABC，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p，请作出周长最小的△DEF．
课后练习
习题1】如图，在等腰RtABC中，CACB3，E的BC上一点，满足BE2，在斜边AB上求作一点P使得PCPE长度之和最小．
习题2】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点M、N分别是变AB、BC的中点，在对
角线AC求作一点P使得PMPN的值最小．
使BPAP的值最小，并求BPAP的最小值．
A．23B．26C．3
D．6
实验与探究：
1）由图观察易知A2，0关于直线l的对称点A'的坐标为2，0，请在图中分别标B5，3、C2，5关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标：
B'C'；
归纳与发现：
2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：
坐标平面内任一点Pa，b关于第一、三象限
的角平分线l的对称点P'的坐标为（不必证明）；
运用与拓广：
3）已知两点D1，3、E1，4，试在直线l上找一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小．
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