多元函数微分学复习题及答案.docx

1、多元函数微分学复习题及答案第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答、选择题1.极限叫y 0(A)等于0(B)不存在 (C)等于(D)存在且不等于i丄2、设函数 f (x, y) xsin y0.1 y sin xxyxy则极限 lim f (x, y)=x 0 丿y 0 (提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小)(A)不存在(B) 等于1f (x, y)在整个定义域内处处连续(A)处处连续(C)仅在(0,0)点连续4、函数z f (x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的f(x,y)(A)47、设 z arctan ，x uy(B)(C)V ,则 Zu Zv1(D)-(

2、A占二u v8、若 f (x,2x)x2(B) Ar u v3x, fx(x,2x)(C)u v6x 1，则 fy(x,2x)=(D)(A) x(C) 2x1 (D)2x9、设zyx，则(x_) (2,1)y(A) 2(B) 1+l n2 (C) 0(D) 110、设 zxye xy，则 zx(x, x)2 x 2(A) 2x(1 x )e (B) 2x(1 x )ex2(C) x(12 x2x2)ex (D)x(1x2)ex211、曲线 x 2sint,y4cost,z t在点(2,0,3)处的法平面方程是(A) 2x z12、曲线4x5y ,y(B) 2x z 4 (C) 4y2乙在点(8

3、,2,4)处的切线方程是2 (D)4y(A )(A)乞820(C) 5z 44z 44(B)(D)x 1220x 35z 44z413、曲面 xcosz y cosx z2在点一 ,12 22,0处的切平面方程为(D )(A) x z(B) xy 1 (C) x14、曲面 x2 yzxy2z36在点(3,2,1)处的法线方程为(A )z 1918z18(C) 8x 3y 18z(D) 8x 3y 18z1215、设函数z 1 x2 y2，贝U点(0,0)是函数 z的(A)极大值点但非最大值点(B)极大值点且是最大值点(C)极小值点但非最小值点(D)极小值点且是最小值点16、设函数z f (x,

4、 y)具有二阶连续偏导数，在P0(x0,y0)处，有fx(P) 0, fy(P) 0, fxx(P) fyy(P) , fxy(P。) fyx(P) 2，则(C )(A)点P0是函数z的极大值点(B)点Pg是函数z的极小值点(C)点P0非函数z的极值点(D)条件不够，无法判定17、函数 f (x,y,z) z2 在 4x2 2y2z21条件下的极大值是(A) 1(B)(C)(D)、填空题1、极限lim列他=x 0 xy.答:2、极限limx y2Jn(y ex ) _01.答：In23、函数z,ln( x y)的定义域为.答：x y 14、函数zarcs in x “的定乂域为.答：1 x1,

5、5、设函数f(x,y)x2y2 xyln -，则 f (kx, ky)=x.答：k2 f(x,y)6、设函数f(x,y)xyx,则 f(x y,x yy)=.答:2 2x y2x(Q f(xy,xy)(x y)(x y)(x y)(xy)2 2j )2x7、设 f(x,y)ln(1A2x2x2y2y1/2，要使f(x,y)处处连续，则1/2A=.答:ln28、设 f(x,y)tan(x22 2 xA则A=2函数z -y2)(x, y)(x,y)(0,0)，要使f (x, y)在(0，0)处连续,(0,0).答：12仝的间断点是x 1答：直线x 1 0上的所有点10、函数f(x,y) 2 1 2

6、 cos，的间断点为x y x.答：直线y x及x 0 .答：3cos511、设 z sin (3x y) y，贝 x2X y 112、设 f (x,y) . x2y2，则 fy(0,1) =13、设 u(x, y,z),则du(1,2,3)3.答: -dx8-dy16hn2dz814、设ux则在极坐标系下，u =.答：02 2、x yr15、设Uxy y，则2u =2 答: 2yxxx16、设Uxln xy，贝u 2u =.答:-x yy17、函数y y(x)由 1x2y ey所确定,则dy =.答dx18、设函数z z（x, y）由方程xy2z xy z所确定，则z _ y2xy ey x

7、2.答:2xyz 11 xy219、 由方程xyz x2 y2 z2 2所确定的函数z z(x,y)在点(1, 0,- 1)处的全微分dz= . 答: d x 42d y20、 曲线x t2,v 2t,z A3在点(1,2,-)处的切线方程是3 3答: x 1y 2 z 122 321、曲线x 2te2t, y 3e2t,z t2e2t在对应于t 1点处的法平面方程是答：x 3y 11e2 022、曲面xeyy2e2z z3e3x - 1在点（2, 1,0）处的法线方程为 .e答：x 2y 1 z2 2e 2e23、曲面arctan- 在点（2,1,0）处的切平面方程是 .答:1 xz 4y

8、2z 1124、设函数z z(x,y)由方程-x2 3xy y2 5x 5y ez 2z 4确定，则函数z的驻点是 .答：(一1, 2)27、函数 z 2x2 3y2 4x 6y 1 的驻点是 .答：(1, 1)25、 若函数f (x, y) x2 2xy 3y2 ax by 6在点 (1, 1)处取得极值，则常 数a ， b .答: a 0， b 426、 函数f (x,y,z) 2x2在x2 y2 2z2 2条件下的极大值是 : 4三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形(1)z ,1 x2 y2 (2) z ln(x y)(3) z 1 (4) z ln(xy 1)ln(

9、x y)解: (1)要使函数z .1 x2 y2有意义，必须有1 x2 y2 0，即有x2 y2 1.故所求函数的定义域为D ( x, y) | x2 y2 1,图形为图3.1(2)要使函数z ln(x y)有意义，必须有x y 0.故所有函数的定义域为D (x,y)|x y 0，图形为图 3.21(3)要使函数z - 有意义，必须有ln(x y) 0，即x y 0且ln(x y)x y 1.故该函数的定义域为D (x, y)|x y 0, x y 1，图形为图3.3 要使函数z In(xy 1)有意义，必须有xy 1 0 .故该函数的定义域为D ( x, y) | xy 1，图形为图 3.4

10、图3.1图3.2* 泊 y奄 x+y=0 %A%O%Vh1*IX% 7*、x+y=1s图3.4图3.3y1/y=1/x21 x *2、求极限 limysin2xx 0y 0 xyysin2x Q 1 1)lim = 4x 0y o13、求极限lim -x 0y 01解：原式=xim0y o2x y3 2 2x y (1 , x y1)sin(xy) xi叫1y 01 X2sin (xy)xyxxyei 04 16xy4、求极限limx (y (x解: lim- xyex 04y 0xye* x (4J6xy5、设uxsin yycosx，求解：usin yysin xUy&设zy xeye x

11、 ，求 Zx,Zy.解：Zxeyye x7、设函数zJ16 xy)= -8xyUx,Uy.xcosy cosxzy xey ez(x, y)由 yz zx xy3所确定，试求(其中解一：原式两边对x求导得x二 z y 0,则二x x乙丄同理可得:y x解二:z FxzyzFyz xx FyyJxyFxy x8、求函数z 2x3xy2y24x3y 1的极值.Dzxxzxy43zyxzyy34zxx40，函数z在点（9、设z3x e2y而xcost, y1,0)处取极小值z( 1,0) 1.t2，求 df-7 0解：dZ 3e3x 2y ( sint) 2e3x 2y (2t) ( 3sint 4

12、t)e3x 2ydt 10、设 z yx ln(xy)，求，.x y12、求函数z in（x2 y2 exy）的全微分.xyz 2y xe四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底 部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x,y,z米.水池底部的单位造价为a.则水池造价 S xy 4xz 4yz a且 xyz 128令Lxy 4xz4yzxyz 128Lxy 4zyz0由Lyx 4zxz0Lz4x 4yxy0Lxyz 128 0得xy8z28 米、 8由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为米、 2

13、 米时，其造价最低 .2、某工厂生产两种商品的日产量分别为 x和y (件)，总成本函数22C(x,y) 8x xy 12y (元) .商品的限额为 x y 42 ，求最小成本 .解：约束条件为 (x,y) x y 42 0 ，构造拉格朗日函数 F(x,y, ) 8x2 xy 12y2 (x y 42)，Fx 16x y 0解方程组 Fy x 24y 0，得唯一驻点 (x,y) (25,17) ，F x y 42 0由实际情况知， (x,y) (25,17)就是使总成本最小的点，最小成本为C ( 25,17) 8043 (元).3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为 10元与9元，生产x单

14、位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是400 2x 3y 0.01(3x 2 xy 3y2) 元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解： L(x,y) 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有 利润目标函数 L(x,y) (10x 9y) 400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)228x 6y 0.01(3x 2 xy 3y2) 400,(x 0,y 0) ，Lx 8 0.01(6x y) 0 令x ，解得唯一驻点(120, 80).Ly 6 0.01(x 6y) 0又因 A Lxx 0.06 0,B Lxy 0.01,C Lyy 0.06，得2 3AC B 3.5 10 0.得极大值L(120,80) 320.根据实际情况，此极大值就是最大值.故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.kn2e kntsinnx五、证明题3、设z xyxF(u)而uy F(u)为可导函数证明 x y z xyxx y证明：x 二y 二XyF(u) xF(u)yxxF (u)xyxyxyF(u) yF(u) yxxF(u)tx2xy xF( u) xy z xy所以丄3 2 sin(xy).x