多元函数微分学复习题及答案.docx
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多元函数微分学复习题及答案
第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答
、选择题
1.极限叫
y0
（A）等于0
（B）
不存在（C）
等于£
（D）存在且不等于
i丄
2、设函数f（x,y）xsiny
0
.1ysinx
xy
xy
则极限limf（x,y）=
x0丿
y0
（提示：
有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）
（A）不存在（B）等于1
f（x,y）在整个定义域内处处连续
（A）处处连续
（C）仅在（0,0）点连续
4、函数zf（x,y）在点（x0,y0）处具有偏导数是它在该点存在全微分的
f（x,y）
（A）
4
7、设zarctan—，xu
y
（B）
（C）
V,则ZuZv
1
（D）-
（A占二
uv
8、若f（x,2x）
x2
（B）Aruv
3x,fx（x,2x）
（C）
uv
6x1，则fy（x,2x）=
（D）
（A）x
（C）2x
1（D）
2x
9、设z
yx，则（—
x
_）（2,1）
y
（A）2
（B）1+ln2（C）0
（D）1
10、设z
xyexy，则zx（x,x）
2x2
（A）2x（1x）e（B）2x（1x）e
x2
（C）x（1
2x2
x2）ex（D）
x（1
x2）e
x2
11、曲线x2sint,y
4cost,zt在点（2,0,3）处的法平面方程是
（A）2xz
12、曲线4x
5
y,y
（B）2xz4（C）4y
2
■乙在点（8,2,4）处的切线方程是
2（D）
4y
（A）
（A）乞8
20
（C）□
5
z4
4
z4
4
（B）
（D）
x12
20
x3
5
z4
4
z
4
13、曲面xcoszycosx—z
2
在点一,1
22
2,0
处的切平面方程为
（D）
（A）xz
（B）x
y1（C）x
14、曲面x2yz
xy2z3
6在点（3,2,1）处的法线方程为
（A）
z19
18
z
18
（C）8x3y18z
（D）8x3y18z
12
15、设函数z1x2y2，贝U点
（0,0）是函数z的
（A）极大值点但非最大值点
（B）极大值点且是最大值点
（C）极小值点但非最小值点
（D）极小值点且是最小值点
16、设函数zf（x,y）具有二阶连续偏导数，在P0（x0,y0）处，有
fx（P°）0,fy（P°）0,fxx（P°）fyy（P°）°,fxy（P。
）fyx（P°）2，则（C）
（A）点P0是函数z的极大值点
（B）点Pg是函数z的极小值点
（C）点P0非函数z的极值点
（D）条件不够，无法判定
17、函数f（x,y,z）z
2在4x22y2
z2
1条件下的极大值是
（A）1
（B）
（C）
（D）
、填空题
1、
极限lim列他=
x0x
y
.答:
2、
极限lim
x'
y
2
Jn（yex）_
0
1
.答：
In2
3、
函数z
ln（xy）的定义域为
.答：
xy1
4、
函数z
arcsinx“
的定乂域为
.答：
1x
1,
5、
设函数
f（x,y）
x2
y2xyln-，则f（kx,ky）=
x
.答：
k2f（x,y）
6、
设函数
f（x,y）
xy
x
—,则f（xy,xy
y）=
.答:
22
xy
2x
（Qf（x
y,x
y）
（xy）（xy）
（xy）
（x
y）
22
j）
2x
7、
设f（x,y）
ln（1
A
2
x
2
x
2
y
2
y
1/2，要使f（x,y）处处连续，则
1/2
A=
.答:
ln2
8、
设f（x,y）
tan（x2
22x
A
则A=
2
函数z-
y2）
（x,y）
（x,y）
（0,0），要使f（x,y）在（0，0）处连续,
（0,0）
.答：
1
2
仝的间断点是
x1
「答：
直线x10上的所有点
10、函数f（x,y）212cos，的间断点为
xyx
.答：
直线yx及x0
.答：
3cos5
11、设zsin（3xy）y，贝—x2
Xy1
12、设f（x,y）.x2
y2，则fy（0,1）=
13、设u（x,y,z）
则du
（1,2,3）
3
.答:
-dx
8
-dy
16
hn2dz
8
14、
设u
x
则在极坐标系下，
u=
.答：
0
22
、xy
r
15、
设U
xyy，则
2
u=
2・
答:
2y
x
x
x
16、
设U
xlnxy，贝u•
2
u=
.答:
-
xy
y
17、
函数
yy（x）由1
x2yey所确定,
则dy=
.答
dx
18、
设函数zz（x,y）由方程xy2zx
yz所确定，则
z_
y
2xyeyx2
.答:
2xyz1
1xy2
19、由方程xyzx2y2z22所确定的函数zz（x,y）在点（1,0,-1）
处的全微分dz=.答:
dx42dy
20、曲线xt2,v2t,zA3在点（1,2,-）处的切线方程是
33
答:
x1
y2z1
2
23
21、曲线x2te2t,y3e2t,zt2e2t在对应于t1点处的法平面方程是
答：
x3y11e20
22、曲面xey
y2e2zz3e3x-1在点（2,1,0）处的法线方程为.
e
答：
x2
y1z
22e2e
23、曲面arctan-^—在点（2,1,0）处的切平面方程是.答:
1xz4
y2z1
1
24、设函数zz（x,y）由方程-x23xyy25x5yez2z4确定，则函数z
的驻点是.答：
（一1,2）
27、函数z2x23y24x6y1的驻点是.答：
（1,1）
25、若函数f（x,y）x22xy3y2axby6在点（1,1）处取得极值，则常数a，b.答:
a0，b4
26、函数f（x,y,z）2x2在x2y22z22条件下的极大值是:
4
三、计算题
1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形
（1）z,1x2y2
（2）zln（xy）
（3）z1（4）zln（xy1）
ln（xy）
解:
（1）要使函数z.1x2y2有意义，必须有1x2y20，即有x2y21.
故所求函数的定义域为D{（x,y）|x2y21},图形为图3.1
（2）要使函数zln（xy）有意义，必须有xy0.故所有函数的定义域为
D（x,y）|xy0，图形为图3.2
1
（3）要使函数z-有意义，必须有ln（xy）0，即xy0且
ln（xy）
xy1.
故该函数的定义域为D（x,y）|xy0,xy1，图形为图3.3
⑷要使函数zIn（xy1）有意义，必须有xy10.故该函数的定义域为
D{（x,y）|xy1}，图形为图3.4
图3.1
图3.2
*」
泊y
■奄x+y=0\
%
A
%
~O
%
V
h
1
*
I
X
%
7*
'、x+y=1
■s
图3.4
图3.3
y
1
'
/y=1/x
2
1x*
2、求极限lim—ysin2x
x0
y0xy
ysin2xQ—11）
lim=4
x0
yo
1
3、求极限lim-
x0
y0
1
解：
原式=xim0
yo
2
xy
32'2
xy（1,xy
1）sin（xy）xi叫
1
y01■X2
sin（xy）
xy
x
xye
i
04<16
xy
4、求极限lim
x（
y（
x
解:
lim-xye
x04
y0
xye*x（4
J6
xy
5、设u
xsiny
ycosx，求
解：
u
siny
ysinx
Uy
&设z
yxe
yex，求Zx,Zy.
解：
Zx
ey
yex
7、设函数z
J16xy）=-8
xy
Ux,Uy.
xcosycosx
zyxeye
z（x,y）由yzzxxy
3所确定，试求
（其中
解一：
原式两边对x求导得
x二zy0,则二
xx
乙丄同理可得:
yx
解二:
zFx
z
y
z
Fy
zx
xFy
y
J
x
y
Fx
yx
8、求函数z2x
3xy
2y2
4x
3y1
的极值.
D
zxx
zxy
4
3
zyx
zyy
3
4
zxx
4
0，
函数z
在点（
9、设z
3xe
2y
而
x
cost,y
1,0）处取极小值z（1,0）1.
t2，求df-
70
解：
dZ3e3x2y（sint）2e3x2y（2t）（3sint4t）e3x2y
dt10、设zyxln（xy），求—，—.
xy
12、求函数zin（x2y2exy）的全微分.
xy
z2yxe
四、应用题
1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？
解：
设水池的长、宽、高分别为x,y,z米.
水池底部的单位造价为a.
则水池造价Sxy4xz4yza
且xyz128
令
L
xy4xz
4yz
xyz128
Lx
y4z
yz
0
由
Ly
x4z
xz
0
Lz
4x4y
xy
0
L
xyz1280
得
x
y8
z2
8米、8
由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为
米、2米时，其造价最低.
2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x和y（件），总成本函数
22
C（x,y）8xxy12y（元）.
商品的限额为xy42，求最小成本.
解：
约束条件为（x,y）xy420，
构造拉格朗日函数F（x,y,）8x2xy12y2（xy42），
Fx16xy0
解方程组Fyx24y0，得唯一驻点（x,y）（25,17），
Fxy420
由实际情况知，（x,y）（25,17）就是使总成本最小的点，最小成本为
C（25,17）8043（元）.
3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产
品甲与生产y单位的产品乙的总费用是
4002x3y0.01（3x2xy3y2）元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？
解：
L（x,y）表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数L（x,y）（10x9y）[4002x3y0.01（3x2xy3y2）]
22
8x6y0.01（3x2xy3y2）400,（x0,y0），
Lx80.01（6xy）0令x，解得唯一驻点（120,80）.
Ly60.01（x6y）0
又因ALxx0.060,BLxy0.01,CLyy0.06，得
23
ACB3.5100.
得极大值L（120,80）320.根据实际情况，此极大值就是最大值.故生产120
单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.
kn2ekntsinnx
五、证明题
3、设
zxy
xF（u）
而u
yF（u）为可导函数
证明x—y—zxy
x
xy
证明：
x二
y二
Xy
F（u）xF（u）」]y[x
xF（u）」]
x
y
x
y
x[y
F（u）■yF（u）]y[x
x
F（u）]
t
x2
xyxF（u）xyzxy
所以丄
32sin（xy）.
x
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