立体几何的综合问题专题.docx

1、立体几何的综合问题专题 立体几何的综合问题A组1 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABBC，AA1DA1，ABC120(1)证明：ADBA1；(2)若ADDA14，BA12，求多面体BCDA1B1C1D1的体积2 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2，BAC120，AA13，D，D1分别是BC，B1C1上的中点，P是线段AD上的一点(不包括端点)(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积3.如图所示，在三棱锥PABC中，PC平面ABC，

2、PC3，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2(1)求证：DE平面PCD；(2)求点B到平面PDE的距离4.如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ADBC，AD3BC6，PB6，点M在线段AD上，且MD4，ADAB，PA平面ABCD(1)求证：平面PCM平面PAD；(2)当四棱锥PABCD的体积最大时，求四棱锥PABCD的表面积B组1 如图，在菱形ABCD中，BAD，其对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF平面ABCD，ABAE2(1)求证：平面DEF平面BDF；(2)若点H在线段BF上，且BF3HF，求三棱锥HDEF的体积2.如图，四棱锥EABC

3、D中，平面ABCD是平行四边形，M，N分别为BC，DE的中点(1)证明：CN平面AME；(2)若ABE是等边三角形，平面ABE平面BCE，CEBE，BECE2，求三棱锥NAME的体积3.如图，三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，AA1面ABC，E，F分别为棱A1B1，BC的中点(1)求证：直线BE平面A1FC1；(2)平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥BEFM的体积4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1底面ABC，ACAB，ACABAA12，AA1B160，E，F分別为棱A1B1，BC的中点(1)求三棱柱ABCA1B1C1的体积；(2)

4、在直线AA1上是否存在一点P，使得CP平面AEF？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由答 案A组3 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABBC，AA1DA1，ABC120(1)证明：ADBA1；(2)若ADDA14，BA12，求多面体BCDA1B1C1D1的体积(1)证明：取AD中点O，连接OB，OA1AA1DA1，ADOA1在ABCD中，ABC120，BAD60又ABBC，则ABAD，ABD是正三角形，ADOB，OA1平面OBA1，OB平面OBA1，OA1OBO，AD平面OBA1，ADA1B(2)解：由题设知A1AD与BAD都是边长为4的正三角形A1OOB2A1B2，A1O2

5、OB2A1B2，A1OOB，A1OAD，A1O平面ABCD，A1O是平行六面体ABCDA1B1C1D1的高，又SABCDADOB428，VVABCDA1B1C1D1SABCDA1O8248，V1VA1ABDSABDA1O2428，VBCDA1B1C1D1VV140，即几何体BCDA1B1C1D1的体积为402 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABAC2，BAC120，AA13，D，D1分别是BC，B1C1上的中点，P是线段AD上的一点(不包括端点)(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并证明直线l平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AC

6、于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积解：(1)在平面ABC内作直线lBC，则直线l与平面A1BC平行，即图中的直线PQ.ABAC2, D是BC上的中点，则ADBC，即lAD，又侧棱AA1底面ABC，则lAA1，ADAA1A，故直线l平面ADD1A1(2)VA1QC1DVDA1QC1SA1QC1h，因为平面A1ACC1平面ABC，过D作线段DEAC于E，则DE平面AA1C1C，即DE为DA1QC1的高，由ABAC2，CAB120，得DE，则VDA1QC1SA1QC1h233 如图所示，在三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2(1)求证：

7、DE平面PCD；(2)求点B到平面PDE的距离(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE由CE2，CDDE，得CDE为等腰直角三角形，故CDDE又PCCDC，故DE平面PCD(2)解：由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE，过D作DF垂直CE于F，易知DFCFEF1，又DE平面PCD，所以DEPD，PD，设点B到平面PDE的距离为h，即为三棱锥BPDE的高，由VBPDEVPBDE得 SPDEhSBDEPC，即PDDEhBEDFPC，即h113，所以h，所以点B到平面PDE的距离为4 如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ADBC，AD3BC6，PB6，点M在线段AD上，且M

8、D4，ADAB，PA平面ABCD(1)求证：平面PCM平面PAD；(2)当四棱锥PABCD的体积最大时，求四棱锥PABCD的表面积(1)证明：由AD6，DM4可得AM2，易得四边形ABCM是矩形，CMAD，又PA平面ABCD，CM平面ABCD，PACM，又PMADM，PM，AD平面PAD，CM平面PAD，又CM平面PCM，平面PCM平面PAD(2)解：四棱锥PABCD的体积为V(ADBC)ABPAABPA，要使四棱锥PABCD的体积取最大值，只需ABPA取得最大值由条件可得PA2AB2PB272，722PAAB，即PAAB36，当且仅当PAAB6时，PAAB取得最大值36PC2，PD6，CD2

9、，cos CPD，则sin CPD，SPCDPCPDsin CPD6，则四棱锥PABCD的表面积为(62)622666(10)B组2 如图，在菱形ABCD中，BAD，其对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF平面ABCD，ABAE2(1)求证：平面DEF平面BDF；(2)若点H在线段BF上，且BF3HF，求三棱锥HDEF的体积(1)证明：ABCD为菱形，AOBD四边形OAEF为矩形，AOFO，EFAO，EFBD，EFFO，又BDFOO，EF平面BDF又EF平面DEF，平面DEF平面BDF(2)解：连接EH，DH，EB，则由(1)可知EF平面BDF，又BDF中，BDOF2，

10、EFAO，故三棱锥EBDF的体积为22，又BF3HF，所以VEBDFVBDEF3VHDEF，故VHDEF2 如图，四棱锥EABCD中，平面ABCD是平行四边形，M，N分别为BC，DE的中点(1)证明：CN平面AME；(2)若ABE是等边三角形，平面ABE平面BCE，CEBE，BECE2，求三棱锥NAME的体积(1)证明：取AE中点F，连接MF，FN因为AED中，F，N分别为EA，ED的中点，所以FN綊AD又因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC綊AD又M是BC中点，所以MC綊AD，所以FN綊MC所以四边形FMCN为平行四边形，所以CNMF，又CN平面AEM，MF平面AEM，所以CN平面AEM

11、(2)解：取BE中点H，连接AH，则AHBE，因为平面ABE平面BCE，平面ABE平面BCEBE，AH平面ABE，所以AH平面BCE又由(1)知CN平面AEM，所以VNAEMVCAEMVAMEC又因为M为BC中点，所以VAMECSMECAHSBECAH22所以三棱锥NAEM的体积为3 如图，三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，AA1面ABC，E，F分别为棱A1B1，BC的中点(1)求证：直线BE平面A1FC1；(2)平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥BEFM的体积(1)证明：取A1C1的中点G，连接EG，FG，于是EG綊B1C1，又BF綊B1C1，所以B

12、F綊EG所以四边形BFGE是平行四边形所以BEFG，而BE面A1FC1，FG面A1FC1，所以直线BE平面A1FC1(2)解：M为棱AB的中点理由如下：因为ACA1C1，AC面A1FC1，A1C1面A1FC1，所以直线AC平面A1FC1，又面A1FC1平面ABCFM，所以ACFM.又F为棱BC的中点所以M为棱AB的中点三角形BFM的面积SBFMSABC，所以三棱锥BEFM的体积VBEFMVEBFM24 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1底面ABC，ACAB，ACABAA12，AA1B160，E，F分別为棱A1B1，BC的中点(1)求三棱柱ABCA1B1C1的体积；(2)在直线

13、AA1上是否存在一点P，使得CP平面AEF？若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由解：(1)三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1AB因为ABAA12，所以A1B1AA12又因为AA1B160，连接AB1，所以AA1B1是边长为2的正三角形因为E是棱A1B1的中点，所以AEA1B1，且AE，又ABA1B1，所以AEAB，又侧面ABB1A1底面ABC，且侧面ABB1A1底面ABCAB，又AE侧面ABB1A1，所以AE底面ABC，所以三棱柱ABCA1B1C1的体积为VSABCAEABACAE222(2)在直线AA1上存在点P，使得CP平面AEF证明如下：连接BE并延长，与AA1的延长线相交，设交点为P，连接CP因为A1B1AB，故由于E为棱A1B1的中点，所以，故有PEEB，又F为棱BC的中点，故EF为BCP的中位线，所以EFCP又EF平面AEF，CP平面AEF，所以CP平面AEF故在直线AA1上存在点P，使得CP平面AEF此时，PA1AA12.所以AP2AA14