立体几何的综合问题专题.docx
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立体几何的综合问题专题
立体几何的综合问题
A组
1.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC,AA1=DA1,∠ABC=120°.
(1)证明:
AD⊥BA1;
(2)若AD=DA1=4,BA1=2,求多面体BCDA1B1C1D1的体积.
2.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2,∠BAC=120°,
AA1=3,D,D1分别是BC,B1C1上的中点,P是线段AD上的一点(不包括端点).
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(2)设
(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1QC1D的体积.
3.如图所示,在三棱锥PABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=2.
(1)求证:
DE⊥平面PCD;
(2)求点B到平面PDE的距离.
4.如图,四棱锥PABCD的底面是直角梯形,AD∥BC,AD=3BC=6,PB=6,点M在线段AD上,且MD=4,AD⊥AB,PA⊥平面ABCD.
(1)求证:
平面PCM⊥平面PAD;
(2)当四棱锥PABCD的体积最大时,求四棱锥PABCD的表面积.
B组
1.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=,其对角线AC与BD相交于点O,四边形OAEF为矩形,平面OAEF⊥平面ABCD,AB=AE=2.
(1)求证:
平面DEF⊥平面BDF;
(2)若点H在线段BF上,且BF=3HF,求三棱锥HDEF的体积.
2.如图,四棱锥EABCD中,平面ABCD是平行四边形,M,N分别为BC,DE的中点.
(1)证明:
CN∥平面AME;
(2)若△ABE是等边三角形,平面ABE⊥平面BCE,CE⊥BE,BE=CE=2,求三棱锥NAME的体积.
3.如图,三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2,AA1⊥面ABC,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.
(1)求证:
直线BE∥平面A1FC1;
(2)平面A1FC1与直线AB交于点M,指出点M的位置,说明理由,并求三棱锥BEFM的体积.
4.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AB=AA1=2,∠AA1B1=60°,E,F分別为棱A1B1,BC的中点.
(1)求三棱柱ABCA1B1C1的体积;
(2)在直线AA1上是否存在一点P,使得CP∥平面AEF?
若存在,求出AP的长;若不存在,说明理由.
答案
A组
3.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC,AA1=DA1,∠ABC=120°.
(1)证明:
AD⊥BA1;
(2)若AD=DA1=4,BA1=2,求多面体BCDA1B1C1D1的体积.
(1)证明:
取AD中点O,连接OB,OA1.
∵AA1=DA1,∴AD⊥OA1.
∵在▱ABCD中,∠ABC=120°,∴∠BAD=60°.
又∵AB=BC,则AB=AD,
∴△ABD是正三角形,∴AD⊥OB,
∵OA1⊂平面OBA1,OB⊂平面OBA1,OA1∩OB=O,
∴AD⊥平面OBA1,∴AD⊥A1B.
(2)解:
由题设知△A1AD与△BAD都是边长为4的正三角形.
∴A1O=OB=2.
∵A1B=2,∴A1O2+OB2=A1B2,∴A1O⊥OB,
∵A1O⊥AD,∴A1O⊥平面ABCD,
∴A1O是平行六面体ABCDA1B1C1D1的高,
又SABCD=AD·OB=4×2=8,
∴V=VABCDA1B1C1D1=SABCD·A1O=8×2=48,
V1=VA1ABD=S△ABD·A1O=××2×4×2=8,
∴VBCDA1B1C1D1=V-V1=40,
即几何体BCDA1B1C1D1的体积为40.
2.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2,∠BAC=120°,AA1=3,D,D1分别是BC,B1C1上的中点,P是线段AD上的一点(不包括端点).
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(2)设
(1)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1QC1D的体积.
解:
(1)在平面ABC内作直线l∥BC,则直线l与平面A1BC平行,即图中的直线PQ.AB=AC=2,D是BC上的中点,
则AD⊥BC,即l⊥AD,
又侧棱AA1⊥底面ABC,
则l⊥AA1,AD∩AA1=A,故直线l⊥平面ADD1A1.
(2)VA1QC1D=VDA1QC1=S△A1QC1·h,
因为平面A1ACC1⊥平面ABC,过D作线段DE⊥AC于E,
则DE⊥平面AA1C1C,即DE为DA1QC1的高,
由AB=AC=2,∠CAB=120°,得DE=,
则VDA1QC1=S△A1QC1·h=××2×3×=.
3.如图所示,在三棱锥PABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,D,E分别为线段AB,BC上的点,且CD=DE=,CE=2EB=2.
(1)求证:
DE⊥平面PCD;
(2)求点B到平面PDE的距离.
(1)证明:
由PC⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,故PC⊥DE.
由CE=2,CD=DE=,得△CDE为等腰直角三角形,故CD⊥DE.
又PC∩CD=C,故DE⊥平面PCD.
(2)解:
由
(1)知,△CDE为等腰直角三角形,∠DCE=,
过D作DF垂直CE于F,易知DF=CF=EF=1,
又DE⊥平面PCD,所以DE⊥PD,PD==,
设点B到平面PDE的距离为h,即为三棱锥BPDE的高,
由VBPDE=VPBDE得S△PDE·h=S△BDE·PC,
即··PD·DE·h=··BE·DF·PC,
即××h=1×1×3,所以h=,
所以点B到平面PDE的距离为.
4.如图,四棱锥PABCD的底面是直角梯形,AD∥BC,AD=3BC=6,PB=6,点M在线段AD上,且MD=4,AD⊥AB,PA⊥平面ABCD.
(1)求证:
平面PCM⊥平面PAD;
(2)当四棱锥PABCD的体积最大时,求四棱锥PABCD的表面积.
(1)证明:
由AD=6,DM=4可得AM=2,
易得四边形ABCM是矩形,∴CM⊥AD,
又PA⊥平面ABCD,CM⊂平面ABCD,∴PA⊥CM,
又PM∩AD=M,PM,AD⊂平面PAD,
∴CM⊥平面PAD,
又CM⊂平面PCM,∴平面PCM⊥平面PAD.
(2)解:
四棱锥PABCD的体积为V=··(AD+BC)·AB·PA=AB·PA,
要使四棱锥PABCD的体积取最大值,只需AB·PA取得最大值.
由条件可得PA2+AB2=PB2=72,∴72≥2PA·AB,即PA·AB≤36,
当且仅当PA=AB=6时,PA·AB取得最大值36.
PC=2,PD=6,CD=2,
cos∠CPD==,则sin∠CPD=,
∴S△PCD=PC·PD·sin∠CPD=6,
则四棱锥PABCD的表面积为×(6+2)×6+×2+×2×6+6=6(10++).
B组
2.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=,其对角线AC与BD相交于点O,四边形OAEF为矩形,平面OAEF⊥平面ABCD,AB=AE=2.
(1)求证:
平面DEF⊥平面BDF;
(2)若点H在线段BF上,且BF=3HF,求三棱锥HDEF的体积.
(1)证明:
∵ABCD为菱形,∴AO⊥BD.
∵四边形OAEF为矩形,∴AO⊥FO,EF∥AO,
∴EF⊥BD,∴EF⊥FO,
又∵BD∩FO=O,∴EF⊥平面BDF.
又EF⊂平面DEF,∴平面DEF⊥平面BDF.
(2)解:
连接EH,DH,EB,
则由
(1)可知EF⊥平面BDF,
又△BDF中,BD=OF=2,EF=AO=,
故三棱锥EBDF的体积为××2×2×=,
又BF=3HF,所以VEBDF=VBDEF=3VHDEF=,
故VHDEF=.
2.如图,四棱锥EABCD中,平面ABCD是平行四边形,M,N分别为BC,DE的中点.
(1)证明:
CN∥平面AME;
(2)若△ABE是等边三角形,平面ABE⊥平面BCE,CE⊥BE,BE=CE=2,求三棱锥NAME的体积.
(1)证明:
取AE中点F,连接MF,FN.
因为△AED中,F,N分别为EA,ED的中点,
所以FN綊AD.
又因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC綊AD.
又M是BC中点,所以MC綊AD,所以FN綊MC.
所以四边形FMCN为平行四边形,所以CN∥MF,
又CN⊄平面AEM,MF⊂平面AEM,所以CN∥平面AEM.
(2)解:
取BE中点H,连接AH,则AH⊥BE,
因为平面ABE⊥平面BCE,平面ABE∩平面BCE=BE,AH⊂平面ABE,
所以AH⊥平面BCE.
又由
(1)知CN∥平面AEM,
所以VNAEM=VCAEM=VAMEC.
又因为M为BC中点,
所以VAMEC=S△MEC·AH=·S△BEC·AH=×××2×2×=.
所以三棱锥NAEM的体积为.
3.如图,三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2,AA1⊥面ABC,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.
(1)求证:
直线BE∥平面A1FC1;
(2)平面A1FC1与直线AB交于点M,指出点M的位置,说明理由,并求三棱锥BEFM的体积.
(1)
证明:
取A1C1的中点G,连接EG,FG,
于是EG綊B1C1,又BF綊B1C1,
所以BF綊EG.
所以四边形BFGE是平行四边形.所以BE∥FG,
而BE⊄面A1FC1,FG⊂面A1FC1,
所以直线BE∥平面A1FC1.
(2)解:
M为棱AB的中点.
理由如下:
因为AC∥A1C1,AC⊄面A1FC1,A1C1⊂面A1FC1,
所以直线AC∥平面A1FC1,又面A1FC1∩平面ABC=FM,
所以AC∥FM.又F为棱BC的中点.
所以M为棱AB的中点.
三角形BFM的面积
S△BFM=S△ABC=×=,
所以三棱锥BEFM的体积VBEFM=VEBFM=××2=.
4.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AB=AA1=2,∠AA1B1=60°,E,F分別为棱A1B1,BC的中点.
(1)求三棱柱ABCA1B1C1的体积;
(2)在直线AA1上是否存在一点P,使得CP∥平面AEF?
若存在,求出AP的长;若不存在,说明理由.
解:
(1)三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1=AB.
因为AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.
又因为∠AA1B1=60°,
连接AB1,所以△AA1B1是边长为2的正三角形.
因为E是棱A1B1的中点,所以AE⊥A1B1,且AE=,
又AB∥A1B1,所以AE⊥AB,
又侧面ABB1A1⊥底面ABC,且侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,
又AE⊂侧面ABB1A1,所以AE⊥底面ABC,
所以三棱柱ABCA1B1C1的体积为V=S△ABC·AE=AB·AC·AE=×2×2×=2.
(2)在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.
证明如下:
连接BE并延长,与AA1的延长线相交,设交点为P,连接CP.
因为A1B1∥AB,故==.
由于E为棱A1B1的中点,
所以=,故有PE=EB,
又F为棱BC的中点,故EF为△BCP的中位线,所以EF∥CP.
又EF⊂平面AEF,CP⊄平面AEF,所以CP∥平面AEF.
故在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.
此时,PA1=AA1=2.所以AP=2AA1=4.