立体几何的综合问题专题.docx

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立体几何的综合问题专题

立体几何的综合问题

A组

1．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC，AA1＝DA1，∠ABC＝120°．

（1）证明：

AD⊥BA1；

（2）若AD＝DA1＝4，BA1＝2，求多面体BCDA1B1C1D1的体积．

2．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，

AA1＝3，D，D1分别是BC，B1C1上的中点，P是线段AD上的一点（不包括端点）．

（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

（2）设

（1）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积．

3.如图所示，在三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2．

（1）求证：

DE⊥平面PCD；

（2）求点B到平面PDE的距离．

4.如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，AD＝3BC＝6，PB＝6，点M在线段AD上，且MD＝4，AD⊥AB，PA⊥平面ABCD．

（1）求证：

平面PCM⊥平面PAD；

（2）当四棱锥PABCD的体积最大时，求四棱锥PABCD的表面积．

B组

1．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝，其对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB＝AE＝2．

（1）求证：

平面DEF⊥平面BDF；

（2）若点H在线段BF上，且BF＝3HF，求三棱锥HDEF的体积．

2.如图，四棱锥EABCD中，平面ABCD是平行四边形，M，N分别为BC，DE的中点．

（1）证明：

CN∥平面AME；

（2）若△ABE是等边三角形，平面ABE⊥平面BCE，CE⊥BE，BE＝CE＝2，求三棱锥NAME的体积．

3.如图，三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，AA1⊥面ABC，E，F分别为棱A1B1，BC的中点．

（1）求证：

直线BE∥平面A1FC1；

（2）平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥BEFM的体积．

4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC＝AB＝AA1＝2，∠AA1B1＝60°，E，F分別为棱A1B1，BC的中点．

（1）求三棱柱ABCA1B1C1的体积；

（2）在直线AA1上是否存在一点P，使得CP∥平面AEF？

若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．

答案

A组

3．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC，AA1＝DA1，∠ABC＝120°．

（1）证明：

AD⊥BA1；

（2）若AD＝DA1＝4，BA1＝2，求多面体BCDA1B1C1D1的体积．

（1）证明：

取AD中点O，连接OB，OA1．

∵AA1＝DA1，∴AD⊥OA1．

∵在▱ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°．

又∵AB＝BC，则AB＝AD，

∴△ABD是正三角形，∴AD⊥OB，

∵OA1⊂平面OBA1，OB⊂平面OBA1，OA1∩OB＝O，

∴AD⊥平面OBA1，∴AD⊥A1B．

（2）解：

由题设知△A1AD与△BAD都是边长为4的正三角形．

∴A1O＝OB＝2．

∵A1B＝2，∴A1O2＋OB2＝A1B2，∴A1O⊥OB，

∵A1O⊥AD，∴A1O⊥平面ABCD，

∴A1O是平行六面体ABCDA1B1C1D1的高，

又SABCD＝AD·OB＝4×2＝8，

∴V＝VABCDA1B1C1D1＝SABCD·A1O＝8×2＝48，

V1＝VA1ABD＝S△ABD·A1O＝××2×4×2＝8，

∴VBCDA1B1C1D1＝V－V1＝40，

即几何体BCDA1B1C1D1的体积为40．

2．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3，D，D1分别是BC，B1C1上的中点，P是线段AD上的一点（不包括端点）．

（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

（2）设

（1）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积．

解：

（1）在平面ABC内作直线l∥BC，则直线l与平面A1BC平行，即图中的直线PQ.AB＝AC＝2,D是BC上的中点，

则AD⊥BC，即l⊥AD，

又侧棱AA1⊥底面ABC，

则l⊥AA1，AD∩AA1＝A，故直线l⊥平面ADD1A1．

（2）VA1QC1D＝VDA1QC1＝S△A1QC1·h，

因为平面A1ACC1⊥平面ABC，过D作线段DE⊥AC于E，

则DE⊥平面AA1C1C，即DE为DA1QC1的高，

由AB＝AC＝2，∠CAB＝120°，得DE＝，

则VDA1QC1＝S△A1QC1·h＝××2×3×＝．

3．如图所示，在三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2．

（1）求证：

DE⊥平面PCD；

（2）求点B到平面PDE的距离．

（1）证明：

由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE．

由CE＝2，CD＝DE＝，得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE．

又PC∩CD＝C，故DE⊥平面PCD．

（2）解：

由

（1）知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝，

过D作DF垂直CE于F，易知DF＝CF＝EF＝1，

又DE⊥平面PCD，所以DE⊥PD，PD＝＝，

设点B到平面PDE的距离为h，即为三棱锥BPDE的高，

由VBPDE＝VPBDE得S△PDE·h＝S△BDE·PC，

即··PD·DE·h＝··BE·DF·PC，

即××h＝1×1×3，所以h＝，

所以点B到平面PDE的距离为．

4．如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，AD＝3BC＝6，PB＝6，点M在线段AD上，且MD＝4，AD⊥AB，PA⊥平面ABCD．

（1）求证：

平面PCM⊥平面PAD；

（2）当四棱锥PABCD的体积最大时，求四棱锥PABCD的表面积．

（1）证明：

由AD＝6，DM＝4可得AM＝2，

易得四边形ABCM是矩形，∴CM⊥AD，

又PA⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴PA⊥CM，

又PM∩AD＝M，PM，AD⊂平面PAD，

∴CM⊥平面PAD，

又CM⊂平面PCM，∴平面PCM⊥平面PAD．

（2）解：

四棱锥PABCD的体积为V＝··（AD＋BC）·AB·PA＝AB·PA，

要使四棱锥PABCD的体积取最大值，只需AB·PA取得最大值．

由条件可得PA2＋AB2＝PB2＝72，∴72≥2PA·AB，即PA·AB≤36，

当且仅当PA＝AB＝6时，PA·AB取得最大值36．

PC＝2，PD＝6，CD＝2，

cos∠CPD＝＝，则sin∠CPD＝，

∴S△PCD＝PC·PD·sin∠CPD＝6，

则四棱锥PABCD的表面积为×（6＋2）×6＋×2＋×2×6＋6＝6（10＋＋）．

B组

2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝，其对角线AC与BD相交于点O，四边形OAEF为矩形，平面OAEF⊥平面ABCD，AB＝AE＝2．

（1）求证：

平面DEF⊥平面BDF；

（2）若点H在线段BF上，且BF＝3HF，求三棱锥HDEF的体积．

（1）证明：

∵ABCD为菱形，∴AO⊥BD．

∵四边形OAEF为矩形，∴AO⊥FO，EF∥AO，

∴EF⊥BD，∴EF⊥FO，

又∵BD∩FO＝O，∴EF⊥平面BDF．

又EF⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面BDF．

（2）解：

连接EH，DH，EB，

则由

（1）可知EF⊥平面BDF，

又△BDF中，BD＝OF＝2，EF＝AO＝，

故三棱锥EBDF的体积为××2×2×＝，

又BF＝3HF，所以VEBDF＝VBDEF＝3VHDEF＝，

故VHDEF＝．

2．如图，四棱锥EABCD中，平面ABCD是平行四边形，M，N分别为BC，DE的中点．

（1）证明：

CN∥平面AME；

（2）若△ABE是等边三角形，平面ABE⊥平面BCE，CE⊥BE，BE＝CE＝2，求三棱锥NAME的体积．

（1）证明：

取AE中点F，连接MF，FN．

因为△AED中，F，N分别为EA，ED的中点，

所以FN綊AD．

又因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC綊AD．

又M是BC中点，所以MC綊AD，所以FN綊MC．

所以四边形FMCN为平行四边形，所以CN∥MF，

又CN⊄平面AEM，MF⊂平面AEM，所以CN∥平面AEM．

（2）解：

取BE中点H，连接AH，则AH⊥BE，

因为平面ABE⊥平面BCE，平面ABE∩平面BCE＝BE，AH⊂平面ABE，

所以AH⊥平面BCE．

又由

（1）知CN∥平面AEM，

所以VNAEM＝VCAEM＝VAMEC．

又因为M为BC中点，

所以VAMEC＝S△MEC·AH＝·S△BEC·AH＝×××2×2×＝．

所以三棱锥NAEM的体积为．

3．如图，三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，AA1⊥面ABC，E，F分别为棱A1B1，BC的中点．

（1）求证：

直线BE∥平面A1FC1；

（2）平面A1FC1与直线AB交于点M，指出点M的位置，说明理由，并求三棱锥BEFM的体积．

（1）

证明：

取A1C1的中点G，连接EG，FG，

于是EG綊B1C1，又BF綊B1C1，

所以BF綊EG．

所以四边形BFGE是平行四边形．所以BE∥FG，

而BE⊄面A1FC1，FG⊂面A1FC1，

所以直线BE∥平面A1FC1．

（2）解：

M为棱AB的中点．

理由如下：

因为AC∥A1C1，AC⊄面A1FC1，A1C1⊂面A1FC1，

所以直线AC∥平面A1FC1，又面A1FC1∩平面ABC＝FM，

所以AC∥FM.又F为棱BC的中点．

所以M为棱AB的中点．

三角形BFM的面积

S△BFM＝S△ABC＝×＝，

所以三棱锥BEFM的体积VBEFM＝VEBFM＝××2＝．

4．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC＝AB＝AA1＝2，∠AA1B1＝60°，E，F分別为棱A1B1，BC的中点．

（1）求三棱柱ABCA1B1C1的体积；

（2）在直线AA1上是否存在一点P，使得CP∥平面AEF？

若存在，求出AP的长；若不存在，说明理由．

解：

（1）三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝AB．

因为AB＝AA1＝2，所以A1B1＝AA1＝2．

又因为∠AA1B1＝60°，

连接AB1，所以△AA1B1是边长为2的正三角形．

因为E是棱A1B1的中点，所以AE⊥A1B1，且AE＝，

又AB∥A1B1，所以AE⊥AB，

又侧面ABB1A1⊥底面ABC，且侧面ABB1A1∩底面ABC＝AB，

又AE⊂侧面ABB1A1，所以AE⊥底面ABC，

所以三棱柱ABCA1B1C1的体积为V＝S△ABC·AE＝AB·AC·AE＝×2×2×＝2．

（2）在直线AA1上存在点P，使得CP∥平面AEF．

证明如下：

连接BE并延长，与AA1的延长线相交，设交点为P，连接CP．

因为A1B1∥AB，故＝＝．

由于E为棱A1B1的中点，

所以＝，故有PE＝EB，

又F为棱BC的中点，故EF为△BCP的中位线，所以EF∥CP．

又EF⊂平面AEF，CP⊄平面AEF，所以CP∥平面AEF．

故在直线AA1上存在点P，使得CP∥平面AEF．

此时，PA1＝AA1＝2.所以AP＝2AA1＝4．