概率例题.docx

1、概率例题第四章4.1例1设射击手甲与乙在同样条件下进行射击，其命中的环数是一随机变量.假如有历史记 录可得它们分别有下面的分布律（其中0表示脱靶）.例2将3个球随机地放入3个盒子中去，球与盒子均可区分，以X表示空盒子数目，求E（X） 例3分组验血：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，可以有两种方法进行.（1）将每个人的血分别去验，这就需要N次.（2）按k个人一组 进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说 明k个人的血都呈阴性反应，这样，这k个人得血就只需验一次.若呈阳性，则再对这k 个人的血液分别进行化验.这样，R个人的血总共要化验R

2、+1次.假如每个人化验呈阳性 的概率为P且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当p较小时，选取适当的k,按第 二种方法可以减少化验的次数.并说明k取什么值时最适宜.例4设随机变量X的密度函数为 %, 0%1f(x) = 2-x, 1 x 10例4 设活塞的直径(以cm计)XN(22.40,0.03)，气缸的直径丫N(22.50,0.042), X, Y相互独立 任取一只活塞任取一只气缸求活塞能装入气缸 的概率例5设X独立同分如N(2,4),试求：(1)X -丫的分布(2)EX-Y3)DX-Y4. 3例1 设(X, Y)N趴心试求X与丫的相关系数例2 已知随机变耿分别服从/V(l,32),/V(

3、0,4)，Pxy=【2,设Z = X/3 + y/2.例3设随机变童(x,y)具有概率密度社2严 0y%105的近似值例3某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元.若老人在该年内死亡，公 司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的槪 率.例4对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05, 0.8, 0.15.若学校共有400名学生，设各 学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布(1)求参加会议的家长数X超过450的 概率;(2)求有1名家长来参加会议的学

4、生数不多于340的概率.例5 售报员在报摊上卖报，已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了 100份报时过路人的数目，求P(280XV320)例6 检验员逐个检査某产品,每査一个需用10秒钟.但有的产品需重复检査一次，再用 去10秒钟.若产品需重复检査的概率为0.5,求检验员在8小时内检査的产品多于1900 个的概率.例7某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电童为千瓦.问 供电所至少要供给这个车间多少电力，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电 不足而影响生产？例8设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与1/6比

5、 较上下不超过1%的概率.例9 设随机变量相互独立且在区间(-1,1) 服从均匀分布(i = l, 2,“),试证当充分大时，随机变量Zn=-X；近似服从1=1正态分布，并指出其分布参数第四、五章习题例1设X服从几何分布它的分布律为PX=R = (1 -p)ip, * = 1,2, 求E(X)和D(X)例2从数字0,1, 2,中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望.例3 (1)设随机变量X的分布律为X026Pk3/124/125/12求 E(X),Eln(X+2)设 XJT(/l),求 E(X+1)T.(3)设随机变量X的概率密度为x, 0 x 1, f(x) = 2-x,

6、lx2,0, 其他.求 E(X2).例4 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度函数为心o, 其他求(X,y)的协方差矩阵及相关系数.例5 设随机变量x和y相互独立,且都服从标准正态分布，求Z = ylx2 + Y2的数学期望 例6甲、乙两人相约于某地12:001300会面，设分別是甲、乙到达的时间，且设X和Y相互独立，己知X, 丫的概率密度分别为其他.求先到达者需要等待用时间的数学期望 例7计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有误差相互独立且在 (-0.5, 0.5)上服从均匀分布.(1)将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多 少？ (2)最多可有几个

7、数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?例8 售报员在报摊上卖报，己知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了100份报时过路人的数目，求P(280X 320).例9有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m、现从这批木柱中随机地取 100根，求其中至少有30根短于3m的概率.例10某医院一个月接受破伤孔患者的人数是一个随机变量，它服从参数2 = 5的泊松分布，各月接受破伤风患者的人数互独立求一年中前9个月内接受的患者(1)40人50人；多于30人的概率.第_章 _例3化简事件(丽UC)AC例1 小王参加某智力游戏节目，他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7

8、和0.2,两类 问题都能答出的概率为0丄求小王(1)答出甲类而答不出乙类问题的概率(2)至少有一类问题能答出的概率(3)两类问题都答不出的概率例1中小王他能答出第一类问题的概率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2,两类问题都能答出的概率为0丄 为什么不是0.7*0.2 ?例2设A.B满足P(A) = 0.6,P(B) = 0.7,在何条件下,P(AB)取得最大(小)值？最人(小) 值是多少？例1 (分房模型)设有k个不同的球，每个球等可能地落入N个盒子中(k=N ),设每 个盒子容球数无限，求下列事件的概率(1)某指定的k个盒子中各有一球：(2)某指定的一个盒子恰有川个球(m=k )(3)

9、某指定的一个盒子没有球；(4)恰有k个盒子中各有一球；(5)至少有两个球在同一盒子中：(6)每个盒子至多有一个球.例5 “分房模型”的应用生物系二年级有个人，求至少有两人生口相同(设为事件A )的概率.例2袋中有d只白球，b只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取川个球(m=a+b), 求其中恰有k个(k=a,k=2)个数，求n个数字的乘积能被10整除的概率.例5 在1-2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除 的概率是多少？例6 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进 行的，问是否可以推断接待时间是有规定的例8某人的表停了，

10、他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的 时间短于十分钟的概率例9 （会面问题）甲、乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面.先到的人等候 另一个人，经过时间t（tT）后离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能 的，且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.例9 甲、乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面.先到的人等候另一个人, 经过时间/（l/2）,问对甲而言釆用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制毎0设各局胜负相互独立例5 同时抛掷一对骰子，共抛两次，求两次所得点数分别为7与11的概率.例7 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率

11、分别为0.4, 0.5, 0.7,飞机被 一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6 ,若三人都击中飞机必 定被击落，求飞机被击落的概率.例8 要验收一批（100件）乐器.验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器 的测试是相互独立的），如呆3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒 绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器 经测试被误认为不纯的概率为0.01.如呆已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这 批乐器被接收的概率是多少？例3设随机变量X的分布函数为F（x） = A+ Barctgx

12、 （-00 x-ko）试求常数A, B例4 一个靶子是半径为2m的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面 积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量X的分布函数 第二章例1从110这10个数字中随机取出5个数字，令X表示取出的5个数字中的最人值.试 求X的分布律例2设一汽车在开往目的妞的道路上需经过四组信号灯,每组信号灯如的概率禁止汽车通过以x表示汽车首次停下时;它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作慰目互独立的），求X的分布律例3设随机变量X的分布律为X-12 31 1 1Pk4 2 41 2 5求X的分布函数,并求PX -, P-X -,2 2

13、2P1X 3.例4设某人进行射击，每次的命中率为0.4,现独立射击10次，问：(1)命中3枪的概率是多少？(2)至多命中3枪的概率是多少？例5 根布条上的疵点数X服从参数为2 = 0.5的泊松分布，试求：(1)此棉条上有2个疵点的概率是多少？(2)此棉条上至少有2个疵点的概率是多少？例6 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车，在一天的某段时间内出事故 的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率 是多少？例8设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的发生故障的概率都是0.01,且一台设备的 故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法

14、，其一是由四人维护，每人负贵20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的人 小.实例 设某批产品的次品率为卩,对该批产品做有放回的抽样检查，直到第一次抽到一 只次品为止(在此之前抽到的全是正品)，那么所抽到的产品数X是一个随机变量，求X 的分布律.例1设随机变量X具有概率密度kx9 0 V x V 3,3 K 4,其它.(1)确定常(2)求X的分布函数7求例 设连续型随机变量X的分布函数为Q x -a,x F(x) = 4 + Baicsin, -a x CL求：(1)系数AB的值；(3)随机变量X的概率密度.求R的概率密度及R例3设电阻值R是一个

15、随机变量，均匀分布在900 1100 落在950 1050的概率.例4 设随机变量X在2, 5 上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率.例 将一温度调节器放置辄:存着某种液体的容器内.调节器整定在dC,液体的温度X(以。C计) 是一个随机变量,且XN(d, 0.5)若d = 90、求X小于89的概率(2)若要求保持液体的温鯉少为8(TC的概率不 低于0.99,问d至少为多少。例设随机变量X的概率密度为x0.求随机变量Y = X2和Y = 2X+3的概率密度例己知随机变量X的概率密度为 f(x) = 4卜1, -co x +s.(1)求系数A;(2)求X的分布函数F(x);(3)求Y = X2的概率密度例设离散型随机变量X的分布函数为XV 1, -1 X 1,1 x 2,