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概率例题

第四章

4.1

例1设射击手甲与乙在同样条件下进行射击，其命中的环数是一随机变量.假如有历史记录可得它们分别有下面的分布律（其中0表示脱靶）.

例2将3个球随机地放入3个盒子中去，球与盒子均可区分，以X表示空盒子数目，求E（X）例3分组验血：

在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，

可以有两种方法进行.

（1）将每个人的血分别去验，这就需要N次.

（2）按k个人一组进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血都呈阴性反应，这样，这k个人得血就只需验一次.若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验.这样，R个人的血总共要化验R+1次.假如每个人化验呈阳性的概率为P且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当p较小时，选取适当的k,按第二种方法可以减少化验的次数.并说明k取什么值时最适宜.

例4设随机变量X的密度函数为%,0<%<1

f（x）=<2-x,1

求E（X）

0,其它

例5如何确定投资决策方向？

某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为30%,可得利润8万元，失败的机会为70%,将损失2万元.若存入银行，同期间的利率为5%,问是否作此项投资？

例6设随机变盘的分布律为

X

-1

0

2

P

0.2

0.3

0.5

求+1）

例7设随机变量（X*）的联合概率密度

例8设二维随机变量（X”）的联合分布律为

xyo12

00.10.250.15

10.150.20.15求随机变量Z=sin/T（X+r）的数学期望。

例9国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X（单位：

吨），它服从[2000,4000]上的均匀分布.设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3千元，但如果销售不出二积压于仓库，则每吨需花费保养及其它各种损失费用1千元，问需要组织多少货源,才能使国家的收益期望最大？

例10—机场班车载有20位旅客自机场开出旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没有祐下车就不停车以X表示停车的次数求0X）（设每位旅客在各个车站F车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立）.

4.2

例1设X为掷一颗骰子出现的点数，试求D（X）

例2：

设随机变量X具有数学期望方差D（X）=bG0,=

证明：

E（X*）=0,D（X*）=1,称X*为X的标准化变量b

例3赵〜N（50,l）,Y〜N（60,4）,X与Y独立，=3X-2丫一10,求P{Z>10}

例4设活塞的直径（以cm计）X〜N（22.40,0.03‘），

气缸的直径丫〜N（22.50,0.042）,X,Y相互独立任取一只活塞任取一只气缸求活塞能装入气缸的概率

例5设X』独立同分如N（2,4）,试求：

（1）X-丫的分布

（2）E\X-Y\^3）D\X-Y\

4.3

例1设（X,Y）〜N趴心试求X与丫的

相关系数

例2已知随机变耿分别服从/V（l,32）,/V（0,4‘），

Pxy=—\【2,设Z=X/3+y/2.

例3设随机变童（x,y）具有概率密度

社2严0

f^y）=[0'其它求E（X）,E（Y）,C"（X』）,Q“

第五章

5.1

**厶徹第tutI

求I=£g（xXx的值

我们介绍均值法，步骤是

1）产生在（0,1）上均匀分布的随机数G

2）计算g（R,〃=1，2,…“

3）用平均值近似积分值

_1“

即

!

MIH回

例1设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种所占比例与1/6比较上下小于1%的概率.

例2设每次试验中，事件4发生的概率为0.75,试用Chebyshev不等式估计，//多大时，才能在“次独立重复试验中，事件4出现的频率在0.74~0.76之间的概率大于0.90?

5.2

例1炮火轰击敌方防御工事100次，每次轰击命中的炮弹数服从同一分布，其数学期望

为2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的，求100次轰击

（1）至少命中180发炮弹的概率；

⑵命中的炮弹数不到200发的概率.

例2—加法器同时收到20个噪声电压匕•

（R=1,2,…20）,设它们是相互独立的随n变量，

且都在区间（0,1）上服从均匀分布记V=空匕，

k=l

求P{V>105}的近似值

例3某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元.若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元.设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的槪率.

例4对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布・

（1）求参加会议的家长数X超过450的概率;

（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.

例5售报员在报摊上卖报，已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了100份报时过路人的数目，求P（280

例6检验员逐个检査某产品,每査一个需用10秒钟.但有的产品需重复检査一次，再用去10秒钟.若产品需重复检査的概率为0.5,求检验员在8小时内检査的产品多于1900个的概率.

例7某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电童为「千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力，才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？

例8设有一批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与1/6比较上下不超过1%的概率.

例9设随机变量相互独立且

在区间（-1,1）±服从均匀分布（i=l,2,…,“）,试

证当"充分大时，随机变量Zn=-±X；近似服从

"1=1

正态分布，并指出其分布参数

第四、五章习题

例1

设X服从几何分布它的分布律为

P{X=R}=（1-p）ip,*=1,2,,求E（X）和D（X）・

例2从数字0,1,2,…,〃中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望.

例3

（1）设随机变量X的分布律为

X

0

2

6

Pk

3/12

4/12

5/12

求E（X）,E[ln（X+2）]・

⑵设X~JT（/l）,求E[（X+1）T].

（3）设随机变量X的概率密度为

x,0

0,其他.

求E（X2）.

例4设二维连续型随机变量（X,Y）的联合密度

函数为心

[o,其他

求（X,y）的协方差矩阵及相关系数.

例5设随机变量x和y相互独立,且都服从标准

正态分布，求Z=ylx2+Y2的数学期望例6甲、乙两人相约于某地£12:

00〜13「00会面，

设分別是甲、乙到达的时间，且设X和Y相互独

立，己知X,丫的概率密度分别为

其他.

求先到达者需要等待用时间的数学期望例7计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有误差相互独立且在（-0.5,0.5）上服从均匀分布.

（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？

（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90?

例8售报员在报摊上卖报，己知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了

100份报时过路人的数目，求P（280

例9有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m、现从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率.

例10某医院一个月接受破伤孔患者的人数是一

个随机变量，它服从参数2=5的泊松分布，各月

接受破伤风患者的人数®互独立•求一年中前9

个月内接受的患者

（1）40人〜50人；⑵多于30人

的概率.

第_章__

例3化简事件（丽UC）AC

例1小王参加某智力游戏节目，他能答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两类问题都能答出的概率为0丄求小王

（1）答出甲类而答不出乙类问题的概率

（2）至少有一类问题能答出的概率

（3）两类问题都答不出的概率

例1中小王他能答出第一类问题的概

率为0.7,答出第二类问题的概率为0.2,两

类问题都能答出的概率为0丄为什么不是0.7*0.2?

例2设A.B满足P（A）=0.6,P（B）=0.7,在何条件下,P（AB）取得最大（小）值？

最人（小）值是多少？

例1（分房模型）设有k个不同的球，每个球等可能地落入N个盒子中（k<=N）,设每个盒子容球数无限，求下列事件的概率

（1）某指定的k个盒子中各有一球：

（2）某指定的一个盒子恰有川个球（m<=k）

（3）某指定的一个盒子没有球；

（4）恰有k个盒子中各有一球；

（5）至少有两个球在同一盒子中：

（6）每个盒子至多有一个球.

例5“分房模型”的应用

生物系二年级有"个人，求至少有两人生口相同（设为事件A）的概率.

例2袋中有d只白球，b只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取川个球（m<=a+b）,求其中恰有k个（k<=a,k<=m）白球的概率

例3在0,1,23,,9中不重复地任取四个数，求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.

例4在1,2,3,,9中重复地任取"（n>=2）个数，求n个数字的乘积能被10整除的概率.

例5在1-2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

例6某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的

例8某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率

例9（会面问题）甲、乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面.先到的人等候另一个人，经过时间t（t

例9甲、乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面.先到的人等候另一个人,经过时间/（『<丁）后离去•设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连.求甲、乙两人能会面的概率.

例10两船欲停同一码头，两船在一昼夜内独立随机地到达码头.若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.

例将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生.问

（1）每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？

（2）3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？

例1一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品.从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”.试求条件概率P（B|A）.

例1一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品.从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”.试求条件概率P（B|A）.

例3某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.&能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率.

例4从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞.求2张都是假钞的概率.

例5盒中装有5个产品，其中3个一等品,2个二等品，从中不放回地取产品，每次1个，求

（1）取两次，两次都取得一等品的概率；

（2）取两次，第二次取得一等品的概率；

（3）取三次，第三次才取得一等品的概率；

（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率

例6设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落卞未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落卞未打破，第三次落卞打破的概率为9/10.试求

透镜落下三次而未打破的概率.

例7有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,

三厂生产的占20%,又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%，问从这批产品中

任取一件是次品的概率是多少？

例8每100件产品为一批，已知每批产品中次品数不超过4件，每批产品中有f件次品的概率为

i01234

P0.10.20.40.20.1

从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格.求

（1）一批产品通过检验的概率；

（2）通过检验的产品中恰有f件次品的概率.

例9根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试

验具有如下的效果:

若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P（A\C）=0.95,P（平）=0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌融概率为0.005,即P（C）=0.005,试求P{C\A）.

例10（选择题的合理性）现在几乎所有的考试试卷中，都会有选择题.一般地，每个选择题有4个答案，其中只有1个是正确的.当学生不会做时可以随机猜测，假如一个学生会做题与不会做题的概率相等.现在从卷面上看该题答对了，求此学生确实会做该题的概率.

例11对以往数据分析结果表明,当机器调整得

良好时，产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时，其合格率为55%•每天早上机器开动时，机器调整良好的概率知5%.试求己知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？

例1已知袋中有5只红球,3只白球.从袋中有放回地取球两次，每次取1球.设第i次取得白球为事件如（/=1,2）.求

p（A）,p（a2|aj,

例3—个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色•现以A,B,C分别记投一次四面体出现红、白、照颜色朝下的爭件，问A,B,C是否相互独立？

已知事件A,B,C相互独立，证明事件

伽甲、乙两人进行乒乓球:

匕赛，每局甲胜的

概率为p（p>l/2）,问对甲而言釆用三局二胜制

有利，还是采用五局三胜制毎0•设各局胜负相

互独立

例5同时抛掷一对骰子，共抛两次，求两次所得点数分别为7与11的概率.

例7甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.

例8要验收一批（100件）乐器.验收方案如下:

自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如呆3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01.如呆已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少？

例3设随机变量X的分布函数为

F（x）=A+Barctgx（-00

试求常数A,B

例4一个靶子是半径为2m的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离。

试求随机变量X的分布函数第二章

例1从1〜10这10个数字中随机取出5个数字，令X表示取出的5个数字中的最人值.试求X的分布律

例2设一汽车在开往目的妞的道路上需经过四

组信号灯,每组信号灯如的概率禁止汽

车通过以x表示汽车首次停下时;它已通过的信

号灯的组数（设各组信号灯的工作慰目互独立的），

求X的分布律

例3设随机变量X的分布律为

X

-123

111

Pk

424

125

求X的分布函数,并求P{X<-},P{-

222

P{1

例4设某人进行射击，每次的命中率为0.4,现独立射击10次，问：

（1）命中3枪的概率是多少？

（2）至多命中3枪的概率是多少？

例5—根布条上的疵点数X服从参数为2=0.5的泊松分布，试求：

（1）此棉条上有2个疵点的概率是多少？

（2）此棉条上至少有2个疵点的概率是多少？

例6有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车，在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？

例8设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法，其一是由四人维护，每人负贵20台;其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的人小.

实例设某批产品的次品率为卩,对该批产品做有放回的抽样检查，直到第一次抽到一只次品为止（在此之前抽到的全是正品），那么所抽到的产品数X是一个随机变量，求X的分布律.

例1

设随机变量X具有概率密度

kx90VxV3,

3K4,

其它.

（1）确定常

（2）求X的分布函数

7

⑶求

例设连续型随机变量X的分布函数为

Qx<-a,

xF（x）=<4+Baicsin—,-a

1,x>CL

求：

（1）系数AB的值；

（3）随机变量X的概率密度

.求R的概率密度及R

例3设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在900~1100落在950~1050的概率.

例4设随机变量X在［2,5］上服从均匀分布，现

对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值

大于3的概率.

例将一温度调节器放置辄:

存着某种液体的

容器内.调节器整定在d°C,液体的温度X（以。

C计）是一个随机变量,且X〜N（d,0.5）

⑴若d=90、求X小于89的概率

（2）若要求保持液体的温鯉少为8（TC的概率不低于0.99,问d至少为多少。

例设随机变量X的概率密度为

x<0,

x>0.

求随机变量Y=X2和Y=2X+3的概率密度

例己知随机变量X的概率密度为f（x）=4»卜1,-co

（1）求系数A;

（2）求X的分布函数F（x）;

（3）求Y=X2的概率密度

例设离散型随机变量X的分布函数为

XV—1,-1

1