小升初小学奥数复习.docx

1、小升初小学奥数复习找规律法 例1 观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来？12345，23451，34512，45123，解：为了寻找规律，再多写出几项出来，并给以编号：仔细观察，可发现该数列的第6项同第1项，第7项同第2项，第8项同第3项，也就是说该数列各项的出现具有周期性，他们是循环出现的，一个循环节包含5项.1005=20.可见第100项与第5项、第10项一样（项数都能被5整除），即第100项是51234.练一练：有一列数是2、9、8、2、，从第三个数起，每一个数都是它前面的两个数相乘积的个位数字（比如第三个数8就是29=18的个位数字）.问这一列数的第100个数是几？考

2、点二 反向思维法例1、在一次考试中共出了10道题，每题完全做对得10分，做错的扣6分，做对一部分得3分，李聪同学做了全部题目，得77分，问李聪同学做题情况。分析：从正面考虑，方法很多，可以列出方程来解答：方法一：用枚举法列表求解，显得要简单一些全做对全做错做对一部分总分数量得分数量扣分数量得分1010000001009901600849900013938802120068880161377880002686方法二：反向思维。从失分着手来计算：得77分，那么失了多少分。1、如果10题全对，则得分。2、如果做对一部分，只得3分，实际是从本题的分值也就是会应得的10分中，扣掉分。3、如果做全错了，要

3、扣6分，实际上是不仅本题的会应得的10分得不到，反而要再。相当于从总分中扣分。4、总失分，它的组成是练一练：1、某池中的睡莲所遮盖的面积，每天扩大1倍，20天恰好遮住整个水池，问若只遮住水池的一半需要多少天？ 2、小亮拿着1包糖，遇见好朋友A，分给了他一半；过一会又遇见好朋友B，把剩下的糖的一半分给了他；后来又遇到了好朋友C，把这时手中所剩下的糖的一半又分给了C，这时他自己手里只有一块了.问在没有分给A以前，小亮那包糖有几块？3、农妇卖蛋，第一次卖掉篮中的一半又1个，第二次又卖掉剩下的一半又1个，这时篮中还剩1个.问原来篮中有蛋几个？4、现有一堆棋子，把它分成三等份后还剩一颗；取出其中的两份又

4、分成三等份后还剩一颗；再取出其中的两份再分成三等份后还剩一颗.问原来至少有多少颗棋子？上楼梯问题例1、时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？分析：如果盲目地计算：124=3（秒），36=18（秒），认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下图：时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：123=4（秒）；时钟敲6下，其间共有5个间隔，所用时间为：45=20（秒）。练一练：1、一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟？2、某人到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，还需要多少

5、秒？3、A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？4、铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米？植树问题例1、马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.解：5分钟汽车共走了：9（501-1）=4500（米），汽车每分钟走：45005=900（米），汽车每小时走： 90060=54000（米）=54（

6、千米）列综合式：9（501-1）5601000=54（千米）练一练：1、一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？2、在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问：甲每分钟走多少米？3、在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？方阵的基本特点是： 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相

7、同.每向里一层，每边上的人数就少2。 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数=每边人（或物）数-14；每边人（或物）数=四周人（或物）数41。 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数每边人（或物）数。例1 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？分析 根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数：6041=16（人）整个方阵共有学生人数：1616=256（人）例2 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一

8、层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？分析 方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。解：最外边一层棋子个数：（14-1）4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1）4=44（个）第三层棋子个数：（14-22-1）4=36（个）.摆这个方阵共用棋子：52+4436132（个）一、牛吃草问题之基本题例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？分析与解：牧场上原有的草是不变的，草地每天新长出的草的数量相同。

9、设1头牛一天吃的草为1份。10头牛20天吃：200份，15头牛10天吃：150份，20015050（份），201010（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。原有草：（l05） 20100（份）或（155）10100（份）。当有25头牛时，每天吃了25份，又新长出来5份，所以每天减少20份所以，这片草地可供25头牛吃：100205（天）。二、牛吃草问题之检票问题例2 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？分析与解：等候检票的旅客人数在变化

10、，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。设1个检票1分钟检票的人数为1份。4个检票30分钟通过：（430）份，5个检票20分钟通过：（520）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（430-520）份，所以每分钟新来旅客（430-520）（30-20）=2（份）。可以求出原有旅客为（4-2）30=60（份）或（5-2）20=60（份）。同时打开7个检票时，每分钟减少7份，增加2份，就是每分钟减少原有的5份，或者理解为，让2个检票专门通过新来的旅客，其余的检票通过原来

11、的旅客，需要60（7-2）=12（分）。三、牛吃草问题之抽水问题例3、 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？分析与解：先进的水相当于原有的草，后放的水相当于后长的草，出水管排水相当于牛吃草。设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2816（份），3个出水管5分钟所排的水是3515（份），两者相差1份，相差3分，所以每分钟的进水量是,可以求出先放过水的水量为16813因为每分进，的以用的时间是1340分答

12、：出水管比进水管晚开40分钟。四、牛吃草问题之天牛吃草例4 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，相差：100-90 =10（份），相差1天，所以牧场1天减少青草10份，或者说寒冷相当于10头牛吃草。所以牧场原有草：205105150（份）。15010105头。五、牛吃草问

13、题之上楼梯问题例5 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？分析与解：“扶梯的梯级总数”相当于 “总的草量”，“梯级上升”相当于“牛吃掉”，也可以看成牛吃草问题。男孩5分钟走了205 100（级），女孩6分钟走了15690（级），女孩比男孩多走一分钟，电梯也就多转一分钟，多了10（级），说明电梯1分钟上升10级。由男孩5分钟到达楼上，他走了205100级扶梯5分钟本身上升10550级，所以：10050150（级）。练习：1、有三块草地，面积分别为5

14、，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？ 2、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？鸡兔同笼：例1

15、、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？解：先假设它们全是鸡。于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看多多少。每多2只脚就说明有一只兔；将所多的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔子。假设全是鸡，则足有：24692(只) 比总足数少的： 1289236 (只) 这些是因为兔子只算了2足，每只兔子还有2足没算，所以：兔子有36218 (只) 鸡有461828(只)例2、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？分析 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？假设100只

16、全是鸡，那么脚的总数是2100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有1206=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。例3、刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？分析 我们分步来考虑：假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 610= 60（人）。假设后的总人数比实

17、际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把182=9（条）小船当成大船。解：610-(41+1）（6-4）= 182=9（条）10-9=1（条）答：有9条小船，1条大船。练习：1、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？2、松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个.问这几天当中有几天有雨？逻辑推理例1、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽

18、毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。第一盘，李明和小华对张虎和小红；第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。所以判断结果是：张虎的妹

19、妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。练习：1、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。赵说：“甲是2号，乙是3号.”钱说：“丙是4号，乙是2号.”孙说：“丁是2号，丙是3号.”李说：“丁是4号，甲是1号.”又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？数的奇偶性：例1、某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：答对一题给3分，不答给1分，答错倒扣1分。请你说明，该班同学得分总和一定是偶数。【分析与解答】解法一：先来考虑每一名参赛同学的得分情况，对于每个同学来说，50道都答对可得150分，是个偶数。如答错一题，就要从150分中减去（3+1）=4分，不管答

20、错几题，4的倍数都是偶数，150减去偶数还是偶数。同样，如不答一题，就要从150分中减去（31）=2分，不管不答几题，2的倍数都是偶数，150减去偶数也还是偶数，因此，无论怎样，每个同学的得分都是偶数。任意多个偶数的和仍为偶数，因此全班同学的得分总和也是偶数。解法二：设某个同学有m道题答对，则得3m分；有n道题答错，则减去n分；那么这个同学未答的题是50mn道，即得50mn分。于是该生实际得分为：3mn+（50mn）=2m2n+50=2（mn）+50=2（mn）+25为偶数即每个同学的得分都是偶数。因此，全班同学的得分总和一定是偶数。练习：任意取出1994个连续的自然数，他们的总和是奇数还是偶

21、数？等量代换：已知：（见下图）求：最大的球的重量是多少克？解：由图（1）得：3=2+48，所以=48（克）.由图（2）得：3=2，即：3=248，所以=2483=32（克）.由图（3）得：=4=432=128（克）.练习：1、小红去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花了1元3角5分钱.已知3支铅笔的价钱与2个笔记本的价钱相等.求1支铅笔和1个笔记本各要多少钱？定义新运算典例1.定义一种运算如下：ab=3a2b，（1）求32，23；（2）求这个运算“”有交换律吗？（3）求（176）2，17（62）；（4）如果已知4b=2,求b。 解析：解这类题的关键是抓住新运算的本质，本题的本质是：用运算符合前

22、面数的3倍减去运算符合后面数的2倍。 解：（1）32=3322=94=5 23=3223=66=0 （2）由（1）的运算结果可知“”没有交换律。 （3）要计算（176）2，先计算括号内的数，176=31726=39，再计算第二步392=33922=113，所以（176）2 =113.对于17（62）可同样计算62=3622=14，1714=317214=23，所以17（62）=23. （4）因为4b=342b=122b=2,解得b=5。训练1:1、规定ab=2ab，如75=275=19，计算：（1）98 （2）15122、规定ab=aab2，如75=7752=4910=39，计算：（1）151

23、4 （2）84典例2.x、y表示两个数，规定新运算“”及“”如下：xy=mxny，xy=kxy,其中m、n、k均为自然数，已知12=5，（23）4=64，求（12）3的值。 解析：我们采用分析法，从要求入手，题目要求（12）3的值，首先我们计算12的值，根据“”的规定：12=k12=2k,由于k的值不知道，所以首先要求出k的值，我们设12=a,(12)3=a3，根据“”的规定a3=ma3n，只有求出m、n，我们才能计算a3的值，因此要计算（12）3的值，我们就要先求出k、m、n的值。根据已知条件12=5可以求出m、n的值，再根据已知条件（23）4=64可以求出k的值。 解：因为12=m1n2=

24、m2n=5，且m、n均为非零自然数，所以解得： m=1 m=2 m=3 m=4 n=2 n= (舍去) n=1 n= (舍去) 当m=1，n=2时，（23）4=（1223）4=84=k84=32k=64 解得 k=2 当m=3，n=1时，（23）4=（3213）4=94=k94=36k=64 解得 k=1 这与k是自然数矛盾，因此m=3，n=1，k=1这组解应舍去。所以当m=1，n=2，k=2时，（12）3=（212）3=43=1423=10训练2：1、对于任意整数A,B，定义新运算“”：AB=（其中M是一确定的整数），如果12=2，求29的值。2、对于任意自然数x、y，定义新运算“”如下：若

25、x、y同奇或同偶，则xy=（xy）2；若x、y的奇偶性不同，则xy=（xy1）2。求456811的值。数的整除性数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。我们把学过的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。（3）一个数各个数位上的数字之和

26、如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。解：能被4整除的数有7756，3728，8064；能被8整除的数有3728，8064；能被9整除的数有234，8865，8064。例2 在四位数562中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能

27、被9，8，4整除？例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和270与570都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。例4、五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？分析与解：已知能被72整除。因为7289，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B6。再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为A329BA3f296A20，因为lA9，所以21A2029。在这

28、个范围内只有27能被9整除，所以A7。练习：1、六位数5A634B能被33整除，求A+B。2、七位数3A8629B是88的倍数，求A和B。递推：例1 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？解：假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k0，1，2，.如图可见。a01a1=a0+12a2=a12=4a3=a23=7a4=a3+411归纳出递推公式an1an+n. （1）即画第n1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a12.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，

29、交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直线的序号.同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段.而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直线的序号，.这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式（1）是正确的.这样就易求得5条直线最多把圆内分成：a5=a4+511=516（部分）。要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域，不能直接用上面公式了，可把上面的递推公式变形：an=an-1+n=nn-2（n-1）n=an-3+（n-2）（n-n）+n 公式（2）也称为数列1，2，4，7，11，16，的通项公式.练习：1：1，5，9，13，17，（ ）。0.625，1.25，2.5，5，