小升初小学奥数复习.docx
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小升初小学奥数复习
找规律法
例1观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来？
12345，23451，34512，45123，…
解：
为了寻找规律，再多写出几项出来，并给以编号：
仔细观察，可发现该数列的第6项同第1项，第7项同第2项，第8项同第3项，…也就是说该数列各项的出现具有周期性，他们是循环出现的，一个循环节包含5项.
100÷5=20.可见第100项与第5项、第10项一样（项数都能被5整除），即第100项是51234.
练一练：
有一列数是2、9、8、2、…，从第三个数起，每一个数都是它前面的两个数相乘积的个位数字（比如第三个数8就是2×9=18的个位数字）.问这一列数的第100个数是几？
考点二反向思维法
例1、在一次考试中共出了10道题，每题完全做对得10分，做错的扣6分，做对一部分得3分，李聪同学做了全部题目，得77分，问李聪同学做题情况。
分析：
从正面考虑，方法很多，可以列出方程来解答：
方法一：
用枚举法列表求解，显得要简单一些
全做对
全做错
做对一部分
总分
数量
得分
数量
扣分
数量
得分
10
100
0
0
0
0
100
9
90
1
6
0
0
84
9
90
0
0
1
3
93
8
80
2
12
0
0
68
8
80
1
6
1
3
77
8
80
0
0
2
6
86
方法二：
反向思维。
从失分着手来计算：
得77分，那么失了多少分。
1、如果10题全对，则得＿＿＿＿＿＿＿分。
2、如果做对一部分，只得3分，实际是从本题的分值也就是会应得的10分中，扣掉＿＿＿＿分。
3、如果做全错了，要扣6分，实际上是不仅本题的会应得的10分得不到，反而要再＿＿＿＿＿。
相当于从总分中扣＿＿＿＿＿分。
4、总失分＿＿＿＿＿＿＿，它的组成是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
练一练：
1、某池中的睡莲所遮盖的面积，每天扩大1倍，20天恰好遮住整个水池，问若只遮住水池的一半需要多少天？
2、小亮拿着1包糖，遇见好朋友A，分给了他一半；过一会又遇见好朋友B，把剩下的糖的一半分给了他；后来又遇到了好朋友C，把这时手中所剩下的糖的一半又分给了C，这时他自己手里只有一块了.问在没有分给A以前，小亮那包糖有几块？
3、农妇卖蛋，第一次卖掉篮中的一半又1个，第二次又卖掉剩下的一半又1个，这时篮中还剩1个.问原来篮中有蛋几个？
4、现有一堆棋子，把它分成三等份后还剩一颗；取出其中的两份又分成三等份后还剩一颗；再取出其中的两份再分成三等份后还剩一颗.问原来至少有多少颗棋子？
上楼梯问题
例1、时钟4点钟敲4下，12秒钟敲完，那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？
分析：
如果盲目地计算：
12÷4=3（秒），3×6=18（秒），认为敲6下需要18秒钟就错了.请看下图：
时钟敲4下，其间有3个间隔，每个间隔是：
12÷3=4（秒）；时钟敲6下，其间共有5个间隔，所用时间为：
4×5=20（秒）。
练一练：
1、一列火车共20节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过81米长的隧道，需要几分钟？
2、某人到高层建筑的10层去，他从1层走到5层用了100秒，如果用同样的速度走到10层，还需要多少秒？
3、A、B二人比赛爬楼梯，A跑到4层楼时，B恰好跑到3层楼，照这样计算，A跑到16层楼时，B跑到几层楼？
4、铁路旁每隔50米有一根电线杆，某旅客为了计算火车的速度，测量出从第一根电线杆起到经过第37根电线杆共用了2分钟，火车的速度是每秒多少米？
植树问题
例1、马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？
分析张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.
解：
5分钟汽车共走了：
9×（501-1）=4500（米），
汽车每分钟走：
4500÷5=900（米），
汽车每小时走：
900×60=54000（米）=54（千米）
列综合式：
9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）
练一练：
1、一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？
多少棵月季？
两棵月季之间的株距是多少米？
2、在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问：
甲每分钟走多少米？
3、在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段？
方阵的基本特点是：
①方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2。
②每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；
每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。
③中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。
例1某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？
这个方阵共有五年级学生多少人？
分析根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：
方阵最外层每边人数：
60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：
16×16=256（人）
例2晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
分析方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解：
最外边一层棋子个数：
（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：
（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：
（14-2×2-1）×4=36（个）.
摆这个方阵共用棋子：
52+44＋36＝132（个）
一、牛吃草问题之基本题
例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。
这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。
问：
可供25头牛吃几天？
分析与解：
牧场上原有的草是不变的，草地每天新长出的草的数量相同。
设1头牛一天吃的草为1份。
10头牛20天吃：
200份，15头牛10天吃：
150份，
200－150＝50（份），20—10＝10（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。
原有草：
（l0—5）×20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
当有25头牛时，每天吃了25份，又新长出来5份，所以每天减少20份
所以，这片草地可供25头牛吃：
100÷20＝5（天）。
二、牛吃草问题之检票问题
例2某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。
从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。
如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
分析与解：
等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成：
一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。
设1个检票1分钟检票的人数为1份。
4个检票30分钟通过：
（4×30）份，
5个检票20分钟通过：
（5×20）份，
说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
可以求出原有旅客为 （4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
同时打开7个检票时，每分钟减少7份，增加2份，就是每分钟减少原有的5份，或者理解为，让2个检票专门通过新来的旅客，其余的检票通过原来的旅客，需要60÷（7-2）=12（分）。
三、牛吃草问题之抽水问题
例3、一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。
先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。
如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。
那么出水管比进水管晚开多少分钟？
分析与解：
先进的水相当于原有的草，后放的水相当于后长的草，出水管排水相当于牛吃草。
设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），两者相差1份，相差3分，所以每分钟的进水量是
可以求出先放过水的水量为 16－
×8＝13
因为每分进
，的以用的时间是13
÷
＝40分
答：
出水管比进水管晚开40分钟。
四、牛吃草问题之天牛吃草
例4由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。
已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。
照此计算，可供多少头牛吃10天？
分析与解：
与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。
但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。
设1头牛1天吃的草为1份。
20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，
相差：
100-90=10（份），相差1天，所以牧场1天减少青草10份，或者说寒冷相当于10头牛吃草。
所以牧场原有草：
20×5＋10×5＝150（份）。
150÷10－10＝5头。
五、牛吃草问题之上楼梯问题
例5自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。
已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。
问：
该扶梯共有多少级？
分析与解：
“扶梯的梯级总数”相当于“总的草量”，“梯级上升”相当于“牛吃掉”，也可以看成牛吃草问题。
男孩5分钟走了20×5＝100（级），
女孩6分钟走了15×6＝90（级），
女孩比男孩多走一分钟，电梯也就多转一分钟，多了10（级），说明电梯1分钟上升10级。
由男孩5分钟到达楼上，他走了20×5＝100级
扶梯5分钟本身上升10×5＝50级，
所以：
100＋50＝150（级）。
练习：
1、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。
草地上的草一样厚，而且长得一样快。
第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。
问：
第三块草地可供19头牛吃多少天？
2、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。
假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？
3、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。
白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。
黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。
结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。
那么，井深多少米？
鸡兔同笼：
例1、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
解：
先假设它们全是鸡。
于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看多多少。
每多2只脚就说明有一只兔；将所多的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔子。
假设全是鸡，则足有：
2×46＝92（只）
比总足数少的：
128－92＝36（只）
这些是因为兔子只算了2足，每只兔子还有2足没算，
所以：
兔子有36÷2＝18（只）鸡有46－18＝28（只）
例2、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
分析这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
例3、刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
分析我们分步来考虑：
①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6×10=60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。
解：
[6×10-（41+1）÷（6-4）=18÷2=9（条）
10-9=1（条）
答：
有9条小船，1条大船。
练习：
1、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？
2、松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个.问这几天当中有几天有雨？
逻辑推理
例1、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。
第一盘，李明和小华对张虎和小红；
第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。
请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。
解：
因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。
第一种可能是：
李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；
第二种可能是：
李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。
对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。
所以判断结果是：
张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。
练习：
1、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
赵说：
“甲是2号，乙是3号.”
钱说：
“丙是4号，乙是2号.”
孙说：
“丁是2号，丙是3号.”
李说：
“丁是4号，甲是1号.”
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？
数的奇偶性：
例1、某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：
答对一题给3分，不答给1分，答错倒扣1分。
请你说明，该班同学得分总和一定是偶数。
【分析与解答】
解法一：
先来考虑每一名参赛同学的得分情况，对于每个同学来说，50道都答对可得150分，是个偶数。
如答错一题，就要从150分中减去（3+1）=4分，不管答错几题，4的倍数都是偶数，150减去偶数还是偶数。
同样，如不答一题，就要从150分中减去（3－1）=2分，不管不答几题，2的倍数都是偶数，150减去偶数也还是偶数，因此，无论怎样，每个同学的得分都是偶数。
任意多个偶数的和仍为偶数，因此全班同学的得分总和也是偶数。
解法二：
设某个同学有m道题答对，则得3m分；有n道题答错，则减去n分；那么这个同学未答的题是50－m－n道，即得50―m―n分。
于是该生实际得分为：
3m－n+（50－m－n）
=2m－2n+50
=2（m－n）+50
=2[（m－n）+25]为偶数
即每个同学的得分都是偶数。
因此，全班同学的得分总和一定是偶数。
练习：
任意取出1994个连续的自然数，他们的总和是奇数还是偶数？
等量代换：
已知：
（见下图）求：
最大的球的重量是多少克？
解：
由图
（1）得：
3●=2●+48，所以●=48（克）.
由图
（2）得：
3○=2●，即：
3○=2×48，
所以○=2×48÷3=32（克）.
由图（3）得：
○=4○=4×32=128（克）.
练习：
1、小红去文具店买了6支铅笔和5个笔记本，共花了1元3角5分钱.已知3支铅笔的价钱与2个笔记本的价钱相等.求1支铅笔和1个笔记本各要多少钱？
定义新运算
典例1.定义一种运算△如下：
a△b=3×a－2×b，
（1）求3△2，2△3；
（2）求这个运算“△”有交换律吗？
（3）求（17△6）△2，17△（6△2）；
（4）如果已知4△b=2,求b。
解析：
解这类题的关键是抓住新运算的本质，本题的本质是：
用运算符合前面数的3倍减去运算符合后面数的2倍。
解：
（1）3△2=3×3－2×2=9－4=52△3=3×2－2×3=6－6=0
（2）由
（1）的运算结果可知“△”没有交换律。
（3）要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，17△6=3×17－2×6=39，再计算第二步39△2=3×39－2×2=113，所以（17△6）△2=113.对于17△（6△2）可同样计算6△2=3×6－2×2=14，17△14=3×17－2×14=23，所以17△（6△2）=23.
（4）因为4△b=3×4－2×b=12－2b=2,解得b=5。
训练1:
1、规定a△b=2a＋b，如7△5=2×7＋5=19，计算：
（1）9△8
（2）15△12
2、规定a△b=a×a－b×2，如7△5=7×7－5×2=49－10=39，
计算：
（1）15△14
（2）8△4
典例2.x、y表示两个数，规定新运算“※”及“△”如下：
x※y=mx＋ny，x△y=kxy,其中m、n、k均为自然数，已知1※2=5，（2※3）△4=64，求（1△2）※3的值。
解析：
我们采用分析法，从要求入手，题目要求（1△2）※3的值，首先我们计算1△2的值，根据“△”的规定：
1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道，所以首先要求出k的值，我们设1△2=a,（1△2）※3=a※3，根据“※”的规定a※3=ma＋3n，只有求出m、n，我们才能计算a※3的值，因此要计算（1△2）※3的值，我们就要先求出k、m、n的值。
根据已知条件1※2=5可以求出m、n的值，再根据已知条件（2※3）△4=64可以求出k的值。
解：
因为1※2=m×1＋n×2=m＋2n=5，且m、n均为非零自然数，所以解得：
m=1m=2m=3m=4
n=2n=
（舍去）n=1n=
（舍去）
①当m=1，n=2时，（2※3）△4=（1×2＋2×3）△4=8△4=k×8×4=32k=64解得k=2
②当m=3，n=1时，（2※3）△4=（3×2＋1×3）△4=9△4=k×9×4=36k=64解得k=1
这与k是自然数矛盾，因此m=3，n=1，k=1
这组解应舍去。
所以当m=1，n=2，k=2时，（1△2）※3=（2×1×2）※3=4※3=1×4＋2×3=10
训练2：
1、对于任意整数A,B，定义新运算“△”：
A△B=
（其中M是一确定的整数），如果1△2=2，求2△9的值。
2、对于任意自然数x、y，定义新运算“※”如下：
若x、y同奇或同偶，则x※y=（x＋y）÷2；若x、y的奇偶性不同，则x※y=（x＋y＋1）÷2。
求4※5※6※8※11的值。
数的整除性
数的整除具有如下性质：
性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
我们把学过的一些整除的数字特征列出来：
（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除
例1在下面的数中，哪些能被4整除？
哪些能被8整除？
哪些能被9整除？
234，789，7756，8865，3728，8064。
解：
能被4整除的数有7756，3728，8064；
能被8整除的数有3728，8064；
能被9整除的数有234，8865，8064。
例2在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？
例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
解：
因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
例4、五位数
能被72整除，问：
A与B各代表什么数字？
分析与解：
已知
能被72整除。
因为72＝8×9，8和9是互质数，所以
既能被8整除，又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征，要求
能被8整除，由此可确定B＝6。
再根据能被9整除的数的特征，
的各位数字之和为
A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。
在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
练习：
1、六位数
5A634B能被33整除，求A+B。
2、七位数
3A8629B是88的倍数，求A和B。
递推：
例1平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？
平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？
解：
假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k＝0，1，2，….如图可见。
a0＝1 a1=a0+1＝2 a2=a1＋2=4 a3=a2＋3=7 a4=a3+4＝11
…
归纳出递推公式an＋1＝an+n.
（1）
即画第n＋1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：
第一条直线最多把圆分成两部分，故a1＝2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直线的序号.同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段.而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直线的序号，….这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式
（1）是正确的.这样就易求得5条直线最多把圆内分成：
a5=a4+5＝11=5＝16（部分）。
要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域，不能直接用上面公式了，可把上面的递推公式变形：
∵an=an-1+n=nn-2＋（n-1）＋n=an-3+（n-2）＋（n-n）+n
公式
（2）也称为数列1，2，4，7，11，16，…的通项公式.
练习：
1：
①1，5，9，13，17，（）。
②0.625，1.25，2.5，5，
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