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1、电感计算总结汇总磁路和电感计算不管是一个空心螺管线圈，还是带气隙的磁芯线圈，通电流后磁力线分布在它周围的整个空间。对于静止或低频电磁场问题，可以根据电磁理论应用有限元分析软件进行求解，获得精确的结果，但是不能提供简单的、指导性的和直观的物理概念。在开关电源中，为了用较小的磁化电流产生足够大的磁通(或磁通密度)，或在较小的体积中存储较多的能量，经常采用一定形状规格的软磁材料磁芯作为磁通的通路。因磁芯的磁导率比周围空气或其他非磁性物质磁导率大得多，把磁场限制在结构磁系统之内，即磁结构内磁场很强，外面很弱，磁通的绝大部分经过磁芯而形成一个固定的通路。在这种情况下，工程上常常忽略次要因素，只考虑导磁体

2、内磁场或同时考虑较强的外部磁场，使得分析计算简化。通常引入磁路的概念，就可以将复杂的场的分析简化为我们熟知的路的计算。3.1 磁路的概念从磁场基本原理知道，磁力线或磁通总是闭合的。磁通和电路中电流一样，总是在低磁阻的通路流通，高磁阻通路磁通较少。所谓磁路指凡是磁通(或磁力线)经过的闭合路径称为磁路。3.2 磁路的欧姆定律 以图3.1(a)为例，在一环形磁芯磁导率为的磁芯上，环的截面积A，平均磁路长度为l，绕有N匝线圈。在线圈中通入电流I，在磁芯建立磁通，同时假定环的内径与外径相差很小，环的截面上磁通是均匀的。根据式(1.7)，考虑到式(1.1)和(1.3)有 (3.1) 或 =F/Rm (3.

3、2) 式中F=NI是磁动势；而 表3.1 磁电模拟对应关系 磁 路 电 路 磁动势F 电动势 E 磁通电流I 磁通密度B 电流密度J 磁阻Rm=l/A电阻R=l/A 磁导Gm=A/l电导G=A/l磁压降Um=Hl电压U=IR Rm= (3.3)Rm称为磁路的磁阻，与电阻的表达式相似，正比于路的长度l，反比于截面积A和材料的磁导率；其倒数称为磁导 (3.3a) 式(3.1)即为磁路的欧姆定律。在形式上与电路欧姆定律相似，两者对应关系如表3.1所示。磁阻的单位在SI制中为安/韦，或1/亨；在CGS制中为安/麦。磁导的单位是磁阻单位的倒数。同理，在磁阻两端的磁位差称为磁压降Um，即 Um=Rm=BA

4、=Hl(安匝) (3.4) 引入磁路以后，磁路的计算服从于电路的克希荷夫两个基本定律。根据磁路克希菏夫第一定律，磁路中任意节点的磁通之和等于零，即 (3.5)根据安培环路定律得到磁路克希菏夫第二定律，沿某一方向的任意闭合回路的磁势的代数和等于磁压降的代数和 (3.6)或 (3.6a) A I l F=NI R N (a) (b) 图 3.1 环形磁芯线圈和等效磁路 式(3.5)对应磁场的高斯定理，即穿过任何闭合曲面的磁通之和为零。而式(3.6)则为磁路的欧姆定律。 应当指出的是磁路仅在形式上将场的问题等效成路来考虑，它与电路根本不同： (1) 电路中，在电动势的驱动下，确实存在着电荷在电路中流

5、动，并因此引起电阻的发热。而磁路中磁通是伴随电流存在的，对于恒定电流，在磁导体中，并没有物质或能量在流动，因此不会在磁导体中产生损耗。即使在交变磁场下，磁导体中的损耗也不是磁通流动产生的。(2) 电路中电流限定在铜导线和其它导电元件内，这些元件的电导率高，比电路的周围材料的电导率一般要高1012倍以上(例如空气或环氧板)。因为没有磁“绝缘”材料，周围介质(例如空气)磁导率只比组成磁路的材料的磁导率低几个数量级。实际上，磁导体周围空气形成磁路的一部分，有相当部分磁通从磁芯材料路径中发散出来，并通过外部空气路径闭合，称为散磁通。对于磁路中具有空气隙的磁路，没有磁芯的空心线圈更是如此。一般情况下，在

6、磁路中各个截面上的磁通是不等的。附带说明：这里所谓“散磁通”是指所有不经过整个磁芯磁路的磁通。因为在上一章我们定义了漏磁通只在耦合磁路中存在。散磁通也可能是互感的一部分，如果采用电磁电器中不经过主气隙的磁通（不产生力）就是漏磁，对应的电感称为漏感，就会在变压器中造成混淆，故引出散磁通。 (3) 在电路中，导体的电导率与导体流过的电流无关。而在磁路中，磁路中磁导率是与磁路中磁通密度有关的非线性参数。即使磁通路径铁磁结构保证各处截面积相等，但由于有散磁通存在，在磁芯中各截面的磁通密度仍不相等。磁芯材料非线性使得不同，导致相同磁路长度，不同的磁压降。需要由磁通求磁阻，又由磁阻求磁通反复试探，作出系统

7、的磁化曲线，这样工作量很大。虽然空气的磁导率是常数，但气隙磁场与结构有关，很难准确计算。 (4) 由于有散磁通的存在，即使均匀绕在环形磁芯上的两个线圈也不能做到全耦合，漏磁通一般很难用分析的方法求得，通常采用经验公式计算。 （5）直流（即恒定）磁场已经相当复杂，如果是交流激励的磁场，在其周围有导体，在导体中产生涡流效应，涡流对激励线圈来说相当于一个变压器的次级，涡流产生的磁通对主磁通产生影响，磁场分布更加复杂。可见，磁路计算是近似的。为了得到较精确的结果，首先应对静态磁场分布情况应当有较清晰的概念，才能作出合乎实际的等效磁路。例3：一个环形磁芯线圈的磁芯内径d=25mm，外径D=41mm,环高

8、h=10mm（见图例3）。磁芯相对磁导率r50。线圈匝数N50匝。通入线圈电流为0.5A。求磁芯中最大、最小以及平均磁场强度，磁通，磁链和磁通密度。解：磁芯的截面积 磁路平均长度 线圈产生的磁势 d D h 图 例3 磁芯中最大磁场强度发生在内径处 最小磁场强度发生在外径处 平均磁场强度 磁芯中平均磁通密度 磁芯中磁通 或 磁芯线圈的磁链 从磁芯中最大和最小磁场强度可以看到，内外径相差很大，可见磁芯中磁通密度是不均匀的。一般希望内径与外径比在0.8左右。3.3 磁芯磁场和磁路3.3.1 无气隙磁芯磁场 如果电路中两点之间有电位差，就可能在两点之间产生电流。同理，在磁路中两点之间有磁位差，在两点

9、之间就可能产生磁通。图3.2(a)所示为一等截面环形磁芯，线圈均匀分布在磁芯上。这种磁路系统完全对称，可以应用相似于电路中电位分析方法，作出磁位分布图。根据磁位分布图，可以了解散磁场的分布，确定等效磁路。 (A) 均匀绕线环形磁芯首先在磁路的平均长度上选取一点(或一个截面)作为磁位的参考点(即x=0)，并假定沿磁芯中磁通的正方向x取正值，然后求磁路中某x点相对于参考点的磁位差Ux。根据磁路克希荷夫第二定律，沿图示虚线闭合回路得到 Fx= Ucx+Ux (3.7) 式中Fx0x段磁路所匝链的线圈磁势， Ucx 0x段磁芯的磁阻压降。由于线圈均匀绕，所以x段线圈匝数为Nx=Nx/l，x段磁势 (3

10、.8) F N NI 0 l x F=NI Rm x Ucx NI Ux l x x I 0 l x x=0 (a) (b) (c) 图3.2 等截面均匀绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路磁芯中的磁场强度H=IN/l，应有 （3.9)式中IN线圈总磁势；l磁路平均长度。因此，沿磁路平均长度展开，Fx和Ucx的分布情况如图3.2(b)所示。 由图3.2(b)可见，Ucx的分布和Fx完全相同。由式(3.7)得到x点与基准的磁位差 Ux =Fx-Ucx (3.10)也就是说，将图形Fx减去Ucx 图形，就得到Ux 分布情况。显然, Ux处处为零（式(3.8)(3.9)。即等截面均匀绕线的环形磁铁任意点

11、间没有磁位差，即等磁位。在环外不会有任何散磁通，磁力线局限于导磁体内。 根据式(3.1)和(3.3)，因为磁场集中在线圈磁芯内，各截面磁通相等，故可将磁势和磁阻画成集中元件。图3.2(a)的等效磁路如图3.2（c）所示。 (B) 集中绕线的等截面环形磁芯 将图3.3(a)中磁芯线圈集中绕在一边。如果线圈长度为lw，取其线圈中点为参考点。应用相似的方法，得到磁势Fx分布图(图3.3(b)。在x方向lw /2至l- lw /2段，没有增加匝链磁势，故为一水平线。如果有散磁存在，磁芯各截面的磁通密度和Hx不再是常数，Ucx 也就不能用式(3.9)来计算。如果散磁通的比例很小，假设Hx为常数，可以作出

12、Ucx 分布图如图3.3 (b)。由上述两个图相减，就得到磁位差Ux 分布图。由图可见，除对称轴(x=0和l/2) 外，磁路中Ux都不等于零，因此有散磁通分布于圆环周围空间，如图3.3(c)所示。由于对称，通过x=0和x=l/2的平面定义为0等磁位面。在磁芯中存在若干磁位相等的磁位面，简称 0等位面 F lw /2 IN Ri l s Ucx lw /2 l x R Rl lw IN F I Ux l x x x=0 lw /2 l x (a) (b) (c) 图3.3 等截面集中绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路等位面。和电场一样，在周围空间也存在等磁位面，磁力线垂直于等位面，终止在电流上（图

13、1.31.4和图3.3(a)）。 由图3.3(a)可见，在磁芯中x=0处磁通最大，由于磁芯截面积是均匀的，x=0处的磁通密度也就最大；而x=l/2处,磁通最小，磁通密度最低。在+ lw /2和- lw /2之间磁位差最大，因此磁力线最密。尽管散磁通是分布的，在画等效磁路时，可近似等效为散磁通是在最大磁位差的地方(lw /2)流出的。因此有 cs式中c全部经过磁芯的磁通；s“散”磁通。散磁通s是部分通过磁芯经过周围空气路径闭合的磁通。如果是电感线圈，它是电感磁通的一部分；如果是变压器，s可能是主磁通的一部分，其余是漏磁通，也可能全部是漏磁通，即部分或全部不与次级耦合。等效磁路如图3.3(c)所示

14、。图中Ri= lw /Alw段磁阻，相当于总磁势的内阻；而Rl=(l- lw)/Alk以外的磁芯磁阻。Rs散磁磁阻，则由经验决定。 (C)有气隙时环形磁芯磁场 图3.4(a)为线圈均匀绕，等截面环形有气隙为的磁芯线圈。线圈磁势降落在磁芯和气隙两部分 式中Hc和H分别为磁芯和气隙的磁场强度。虽然气隙不大，因空气磁导率比磁芯磁导率低得多，所以气隙磁场强度H比磁芯磁场强度Hc大得多。因此，H占有总磁势的较大的比例。仍然取线圈中心为参考。F，Hcl和H的分布图如图3.4(b)中实线所示，磁芯的磁势图为线性增加。如仍假设Hc为常数，与没有气隙一样，Ux不等于零，因此，也有散磁通s，所不同的是对称面左右两

15、侧的磁位差比前者大，所以散磁通也大。当磁芯有气隙时，集中绕线将对称线圈放置在气隙正对面（图3.4(c)时，磁位分布图如图3.4（b）中虚线所示，在大部分磁通路径上，磁位差很大，从图(c)看到，集中绕线比均匀分布绕线具有更大的散磁。如果将集中对称线圈放置在气隙上，在绕线长度上磁势大部分降落在气隙上，在线圈以外的磁芯上磁位差很小，散磁也很小，如图(b)中虚线所示。 A F A IN I Ucx l x l I X=0 l IN N Ux l x N 0 l x (a) (b) (c) 图3.4 磁路中有气隙时磁位分布图3.3.2 E型磁芯磁场和等效磁路E型磁芯是最常用的磁芯形状。其它形状如C型（硅

16、钢片），ETD型，EC型，RM型等等（铁氧体）的等效磁路与E型相似。这些磁芯，为了便于装配线圈，通常是两个相同的“E”形状磁芯开口相对合成一个封闭磁芯。根据等截面原理，E型磁芯（图3.5）的两个边柱的截面积之和等于中柱截面积。线圈一般绕在中柱上。(A) 无气隙时等效磁路和磁位图半个E型磁芯尺寸如图3.5所示。中柱的截面积 A2 A1 D E A C F B 图3.5 E型磁芯尺寸图 边柱截面积 端部面积 将两个磁芯柱端相对合在一起，形成闭合磁路，称为变压器磁芯（图3.6(a)）。中柱上绕有激励线圈N。假设忽略散磁通，则在磁芯整个截面上磁通密度是均匀的，磁通的平均路径如图中虚线所示。因此 因此各

17、磁路段磁阻为 R1 R2 R3磁路总激励磁势F=NI，其等效磁路如图3.6(b)所示。如果进行磁位分析，磁位分布图相似于图3.4。因集中线圈占平均磁路长度的大部分，比环形磁路短，磁芯磁导率很高，散磁通很少，通常忽略周围空气中磁场。因为两个边柱是对称的，可合并成一路，R2=R2/2=l2/2A2，R3=R3/2=l3/2A3。简化的等效磁路如图3.6(c)所示。中柱通过的磁通 （3.11）因为A1=2A2=2A3,因此R= R1+ R2+2 R3=2(l1+l3)/A1=1/G。式(3.11)可简化为 =NIG (3.11a)式中G总磁导。最后等效磁路如图3.6(d)所示。 l3 R3 R3 R

18、3 1 2 R1 2 R2 R1 l2=l1 R2 1 R2 F=IN R(G) F=NI F=IN R3 R3 (a) (b) (c) (d) 图3.6 E型磁芯等效磁路(B) 带气隙E型磁芯带气隙的E型磁芯线圈一般作为直流滤波电感或反激变压器。如果线圈匝数为N,激磁磁势为F=NI。它的磁位分布图类似集中线圈的带气隙环形磁芯磁位图。当带有气隙时，一般可能有两种情况：EE型磁芯中柱和边柱相同的空气隙，边柱气隙和中柱气隙相等，以及只有中柱气隙。 l2 F F l1 IN IN A 0 x 0 x UC IN UC IN x /2 0 x 0 x x=0 Ucx Ucx 0 x 2 l1+ x /

19、2 /2 2l1+2l2+ (a) (b) (c) 图3.7 E型磁芯中柱、边柱有气隙和只中柱有气隙磁位图因磁芯磁导率远大于空气磁导率，尽管气隙长度很小，但磁阻很大（式3.3）。两种情况磁位图3.7(b)和图3.7(c)所示。比较图(b)和图(c)可见，图(b)在很长的磁路上磁位差较大，尤其在边柱部分较大，这样引起较大的散磁通。如果磁场是脉动的，将对周围电路引起严重的干扰磁场。而图(c)仅在中柱有较大的磁位差，在相同的磁势下，磁位差明显小于图(b)。这说明仅中柱有气隙比三个芯柱都有气隙好。3.3.3 气隙磁导的计算 （A）气隙尺寸相对端面尺寸很小时磁导计算在图3.4和图3.7中，如果气隙相对气

20、隙端面尺寸很小(5%),可以忽略散磁，认为磁芯气隙端面面积就是气隙截面积。因此气隙磁导 (3.12)对于E型磁芯，如果只是中柱带有气隙，同时气隙尺寸(C,D)时，气隙磁导 如果中柱和边柱都带有相同的气隙，则中柱（G1）和一个边柱(G2)磁导分别（尺寸参看图3.5）为 G1 和 G2总的气隙磁导 (3.13) a 图3.8 边缘磁通 (B) 气隙较大时，气隙磁导计算在大多数情况下，气隙相对端面尺寸较大，磁通不仅经过磁芯的端面，而且还通过气隙的边缘，尖角，气隙附近的磁芯侧表面流通（图3.8），这些磁通通常统称为边缘磁通。端面磁导仍然可按式（3.12）计算。边缘磁通计算十分复杂，有分析法，经验公式法

21、，许多文献进行了讨论。对于规则形状可按以下经验公式求得： 相对正方形端面气隙磁导（图3.9） 端面 G (3.14) a a x x 图3.9 正方形端面气隙 当时，由端面至x处的侧表面 G (3.14a)通常取x=23。总磁导为式(3.14),(3.14a)之和。如果正方形端面对一个比端面大得多的平板，式(3.14)和（3.14a）计算值放大一倍。 相对圆形端面气隙磁导（图3.10） 端面 G (3.15) x xd 图 3.10 圆形端面气隙 当时，由端面至x处的侧表面 G (3.15a)一般x=(23)。 两个相等的矩形端面间气隙磁导 a b 2 m 1 4 m 2 图3.11 矩形磁极

22、之间的边缘磁导 用有限元以及电磁场相似原则分析磁场虽然准确，但使用的情况毕竟有限。比较实用的方法是可以估计磁通可能的路径，把整个磁场分成几个简单的几何形状的磁通管。然后用分析法求解，或用以下近似公式： （3.16）式中 Abav磁通管的平均截面积(米2);lbav磁通管内力线的平均长度(m);Vb磁通管的体积(m3);k磁通管号码。整个气隙磁导是这些磁导总和。 1半圆柱 G1 a lbav 2半圆筒 G2 a m 31/4球 G3 41/4球壳 G4 m 图3.12 矩形端面分割的磁通管(a) 方形磁极图3.11是一个正方形磁极。将气隙磁通路径分成的几何形状如图3.11中1半圆柱，2半圆筒，3

23、1/4圆球，41/4圆球壳。分割的各磁通管如图3.12所示。以2号半圆筒为例，平均磁路长度lbav=(+m)/2。截面积Abav=ma。根据式(3.16)求得半圆筒磁导 (3.17)式中m=(12)。当3m时, (3.17a)同理得到其它分割的磁导半圆柱: (3.18)1/4 球 (3.19)1/4球壳 (3.20)由式（3.12）得到端面间气隙磁导 (3.21)总的气隙磁导为 如果端面是ab的矩形。取m=，则总磁导为 (3.22)(b) 圆柱形磁极圆柱形磁极之间的气隙磁导也可用正方形的分割法计算，将边缘磁导分成圆环和圆环壳。如柱的直径为d，气隙长度为，用分割法求得圆柱总气隙磁导为 (3.23

24、)(C) 气隙磁导粗略估算从图3.4和图3.7可见，在气隙附近磁位差很大，存在强烈的边缘磁通，向外扩展超过气隙的边界，有效的气隙截面积大于磁芯端面截面积，即等效的气隙截面积加大了。为避免过大的误差，计算时必须根据有效截面积，而不是极端面积。经验近似方法是加一个气隙长度到磁芯端面尺寸上。对于边长a和b矩形极，有效气隙面积Ae近似为： Ae =(a+)(b+) (3.23a)对于直径为D园端面截面: (3.23b) 当0.1D时，面积校正系数Ae/A为1.21。A磁极端面面积。当校正系数低于20以上的校正系数是有帮助的。较精确计算用前面经验公式。更加精确的校正需要用有限元求解，例4：磁极尺寸如图例

25、5（a），磁芯中柱一边短3mm，即磁极气隙3mm。求中柱气隙磁导。解：从图例5（a）得到磁极的尺寸C=27mm，D=19.8mm，是一个矩形截面。中柱边缘磁通扩展宽度m和边柱与中柱之间的距离（m(E-d)/2）有关,这里选取m=1.5.由式(3.22)得到气隙总磁导 G =0.306210-6(H) 如果采用粗略估算公式（3.12）和（3.23a）计算 (H)式中04107H/m。上述两种方法计算结果相差小于10。例5：图例5所示变压器磁芯为EE65。标称尺寸A=65mm，B=32.6mm，C=27mm，D=19.8mm，E=44.2mm，F=22.6mm。假定磁芯02000，线圈绕在中柱上，

26、匝数N1=25匝，N2=5匝。初级加一个幅值为400V，脉冲宽度Ton=3.6s。次级电流峰值为I2p=30A的矩形波。求：1.作出等效磁路图；2.计算磁芯最大磁感应Bmax；3.计算次级电压u2；4.计算初级电流最大幅值。如果在两半磁芯结合部有一个0.05mm的气隙，重复以上的计算。解：1. 磁芯是由两半的一副组成。上下两半是对称的。平均磁路参考图3.7(a)： mm=2.76cm=l2 =2.24cm R3 R3 C R2 R1 R2 F=IN F B R2 R1 R2 D R3 R3 E A(a) (b) 图例5 E型磁芯线圈 中柱截面积 边柱截面积 =2.81cm2端部截面积 =2.7

27、cm2 等效磁阻 R1 R2 R3得到等效磁路中R1，R2，R3。等效磁路如图例5(b)所示。2. 当输入电压为400V，持续时间Ton=3.5S，由式（2.19）得到中柱中磁通 中柱中最大磁通密度 因中柱总磁通分成相等两部分通过边柱，边柱(端部)面积之和大于中柱面积，故磁通密度小于中柱。3. 根据式（2.21）得到 4. 根据式（2.24）得到初级电流 次级反射电流 根据磁势平衡定律，由式(3.6)得到 因此得到 2.045+3.91+3.3)104 =0.127(A)输入峰值电流 如果两半磁芯结合处有0.05mm气隙，仅在每个磁路中增加一个气隙磁阻，因气隙相对端面尺寸很小，可忽略边缘磁通，

28、两边柱气隙磁阻相等 R2中柱磁阻 R1 初级磁化电流 磁芯仅50m气隙，气隙磁阻比总磁芯磁阻还要大，磁化电流增加一倍多，磁芯气隙对磁化电流影响很大。初级总的输入电流 3.4 电感计算有电流流通，就建立磁场。根据式（2.1）电感系数的定义 (3.24)这就是说，一段导线，一个线圈都存在电感，只是大小不同。在有些情况下必须考虑，而在有些情况下，则可以忽略。在开关电源中，电路的工作状态一直处于瞬时变化状态，某些在前面讨论的静态磁场和低频磁场可以忽略的问题，随着工作频率的提高，变得越来越重要，而且成为主要矛盾，因此，定量或至少定性分析电感量是十分必要的。从式（3.24）可见，一般计算载流导体的电感是十

29、分困难的。除了线圈带有高磁导率磁路闭合磁芯，或磁路中很小气隙外，磁链的计算十分复杂。一般采用经验公式。3.4.1 导线和无磁芯线圈的电感计算经验公式A.导线电感 (1) 一定长度的导线电感载流导线总是闭合的，包围的面积越大，磁链越大，电感就越大。一段导线是总自感的一部分。导线长度为l(cm),直径为d(cm),磁导率为=0，则低频电感 10-7(H) （3.25）如果导线长度很短(l100d)，在括号内增加一项d/2l。在很高频率(大于1GHz)时，导线电感趋于极限值 10-7(H) (3.25a)高频时，由于导线的集肤效应减少了磁场空间，使得磁场减少，电感量减少。一般用式（3.25）计算，中频时（数百kHz）最大有6的误差，高频时只有2误差。这在工程上完全允许的。例6：求一段直径为1mm，长50cm的铜连接线的低频电感量。解：根据公式(3.25)得到 =0.546H （2）单导线对大平面(地回路)之间电感(图3.13)单导线直径为d(m)，长度为l（m）,导线与平面之间平行，导线与平面间距离为h(m),其电感量