电感计算总结汇总.docx

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电感计算总结汇总

磁路和电感计算

不管是一个空心螺管线圈，还是带气隙的磁芯线圈，通电流后磁力线分布在它周围的整个空间。

对于静止或低频电磁场问题，可以根据电磁理论应用有限元分析软件进行求解，获得精确的结果，但是不能提供简单的、指导性的和直观的物理概念。

在开关电源中，为了用较小的磁化电流产生足够大的磁通（或磁通密度），或在较小的体积中存储较多的能量，经常采用一定形状规格的软磁材料磁芯作为磁通的通路。

因磁芯的磁导率比周围空气或其他非磁性物质磁导率大得多，把磁场限制在结构磁系统之内，即磁结构内磁场很强，外面很弱，磁通的绝大部分经过磁芯而形成一个固定的通路。

在这种情况下，工程上常常忽略次要因素，只考虑导磁体内磁场或同时考虑较强的外部磁场，使得分析计算简化。

通常引入磁路的概念，就可以将复杂的场的分析简化为我们熟知的路的计算。

3.1磁路的概念

从磁场基本原理知道，磁力线或磁通总是闭合的。

磁通和电路中电流一样，总是在低磁阻的通路流通，高磁阻通路磁通较少。

所谓磁路指凡是磁通（或磁力线）经过的闭合路径称为磁路。

3.2磁路的欧姆定律

以图3.1（a）为例，在一环形磁芯磁导率为μ的磁芯上，环的截面积A，平均磁路长度为l，绕有N匝线圈。

在线圈中通入电流I，在磁芯建立磁通，同时假定环的内径与外径相差很小，环的截面上磁通是均匀的。

根据式（1.7），考虑到式（1.1）和（1.3）有

（3.1）

或

=F/Rm（3.2）

式中F=NI是磁动势；而

表3.1磁电模拟对应关系

磁路

电路

磁动势F

电动势E

磁通

电流I

磁通密度B

电流密度J

磁阻Rm=l/A

电阻R=l/A

磁导Gm=A/l

电导G=A/l

磁压降Um=Hl

电压U=IR

Rm=

（3.3）

Rm—称为磁路的磁阻，与电阻的表达式相似，正比于路的长度l，反比于截面积A和材料的磁导率；其倒数称为磁导

（3.3a）

式（3.1）即为磁路的欧姆定律。

在形式上与电路欧姆定律相似，两者对应关系如表3.1所示。

磁阻的单位在SI制中为安/韦，或1/亨；在CGS制中为安/麦。

磁导的单位是磁阻单位的倒数。

同理，在磁阻两端的磁位差称为磁压降Um，即

Um=Rm=BA×

=Hl（安匝）（3.4）

引入磁路以后，磁路的计算服从于电路的克希荷夫两个基本定律。

根据磁路克希菏夫第一定律，磁路中任意节点的磁通之和等于零，即

（3.5）

根据安培环路定律得到磁路克希菏夫第二定律，沿某一方向的任意闭合回路的磁势的代数和等于磁压降的代数和

（3.6）

或

（3.6a）

Aφ

IlF=NIR

N

（a）（b）

图3.1环形磁芯线圈和等效磁路

式（3.5）对应磁场的高斯定理，即穿过任何闭合曲面的磁通之和为零。

而式（3.6）则为磁路的欧姆定律。

应当指出的是磁路仅在形式上将场的问题等效成路来考虑，它与电路根本不同：

（1）电路中，在电动势的驱动下，确实存在着电荷在电路中流动，并因此引起电阻的发热。

而磁路中磁通是伴随电流存在的，对于恒定电流，在磁导体中，并没有物质或能量在流动，因此不会在磁导体中产生损耗。

即使在交变磁场下，磁导体中的损耗也不是磁通‘流动’产生的。

（2）电路中电流限定在铜导线和其它导电元件内，这些元件的电导率高，比电路的周围材料的电导率一般要高1012倍以上（例如空气或环氧板）。

因为没有磁“绝缘”材料，周围介质（例如空气）磁导率只比组成磁路的材料的磁导率低几个数量级。

实际上，磁导体周围空气形成磁路的一部分，有相当部分磁通从磁芯材料路径中发散出来，并通过外部空气路径闭合，称为散磁通。

对于磁路中具有空气隙的磁路，没有磁芯的空心线圈更是如此。

一般情况下，在磁路中各个截面上的磁通是不等的。

附带说明：

这里所谓“散磁通”是指所有不经过整个磁芯磁路的磁通。

因为在上一章我们定义了漏磁通只在耦合磁路中存在。

散磁通也可能是互感的一部分，如果采用电磁电器中不经过主气隙的磁通（不产生力）就是漏磁，对应的电感称为漏感，就会在变压器中造成混淆，故引出散磁通。

（3）在电路中，导体的电导率与导体流过的电流无关。

而在磁路中，磁路中磁导率是与磁路中磁通密度有关的非线性参数。

即使磁通路径铁磁结构保证各处截面积相等，但由于有散磁通存在，在磁芯中各截面的磁通密度仍不相等。

磁芯材料非线性使得不同，导致相同磁路长度，不同的磁压降。

需要由磁通求磁阻，又由磁阻求磁通反复试探，作出系统的磁化曲线，这样工作量很大。

虽然空气的磁导率是常数，但气隙磁场与结构有关，很难准确计算。

（4）由于有散磁通的存在，即使均匀绕在环形磁芯上的两个线圈也不能做到全耦合，漏磁通一般很难用分析的方法求得，通常采用经验公式计算。

（5）直流（即恒定）磁场已经相当复杂，如果是交流激励的磁场，在其周围有导体，在导体中产生涡流效应，涡流对激励线圈来说相当于一个变压器的次级，涡流产生的磁通对主磁通产生影响，磁场分布更加复杂。

可见，磁路计算是近似的。

为了得到较精确的结果，首先应对静态磁场分布情况应当有较清晰的概念，才能作出合乎实际的等效磁路。

例3：

一个环形磁芯线圈的磁芯内径d=25mm，外径D=41mm,环高h=10mm（见图例3）。

磁芯相对磁导率μr＝50。

线圈匝数N＝50匝。

通入线圈电流为0.5A。

求磁芯中最大、最小以及平均磁场强度，磁通，磁链和磁通密度。

解：

磁芯的截面积

磁路平均长度

线圈产生的磁势

d

D

h

图例3

磁芯中最大磁场强度发生在内径处

最小磁场强度发生在外径处

平均磁场强度

磁芯中平均磁通密度

磁芯中磁通

或

磁芯线圈的磁链

从磁芯中最大和最小磁场强度可以看到，内外径相差很大，可见磁芯中磁通密度是不均匀的。

一般希望内径与外径比在0.8左右。

3.3磁芯磁场和磁路

3.3.1无气隙磁芯磁场

如果电路中两点之间有电位差，就可能在两点之间产生电流。

同理，在磁路中两点之间有磁位差，在两点之间就可能产生磁通。

图3.2（a）所示为一等截面环形磁芯，线圈均匀分布在磁芯上。

这种磁路系统完全对称，可以应用相似于电路中电位分析方法，作出磁位分布图。

根据磁位分布图，可以了解散磁场的分布，确定等效磁路。

（A）均匀绕线环形磁芯

首先在磁路的平均长度上选取一点（或一个截面）作为磁位的参考点（即x=0），并假定沿磁芯中磁通的正方向x取正值，然后求磁路中某x点相对于参考点的磁位差Ux。

根据磁路克希荷夫第二定律，沿图示虚线闭合回路得到

Fx=Ucx+Ux（3.7）

式中Fx－0x段磁路所匝链的线圈磁势，Ucx－0x段磁芯的磁阻压降。

由于线圈均匀绕，所以x段线圈匝数为Nx=Nx/l，x段磁势

（3.8）

F

NNIφ

0lxF=NIRm

xUcxNI

фUxlx

xI0lx

x=0（a）（b）（c）

图3.2等截面均匀绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路

磁芯中的磁场强度H=IN/l，应有

（3.9）

式中IN—线圈总磁势；l—磁路平均长度。

因此，沿磁路平均长度展开，Fx和Ucx的分布情况如图3.2（b）所示。

由图3.2（b）可见，Ucx的分布和Fx完全相同。

由式（3.7）得到x点与基准的磁位差

Ux=Fx-Ucx（3.10）

也就是说，将图形Fx减去Ucx图形，就得到Ux分布情况。

显然,Ux处处为零（式（3.8）~（3.9）。

即等截面均匀绕线的环形磁铁任意点间没有磁位差，即等磁位。

在环外不会有任何散磁通，磁力线局限于导磁体内。

根据式（3.1）和（3.3），因为磁场集中在线圈磁芯内，各截面磁通相等，故可将磁势和磁阻画成集中元件。

图3.2（a）的等效磁路如图3.2（c）所示。

（B）集中绕线的等截面环形磁芯

将图3.3（a）中磁芯线圈集中绕在一边。

如果线圈长度为lw，取其线圈中点为参考点。

应用相似的方法，得到磁势Fx分布图（图3.3（b））。

在x方向lw/2至l-lw/2段，没有增加匝链磁势，故为一水平线。

如果有散磁存在，磁芯各截面的磁通密度和Hx不再是常数，Ucx也就不能用式（3.9）来计算。

如果散磁通的比例很小，假设Hx为常数，可以作出Ucx分布图如图3.3（b）。

由上述两个图相减，就得到磁位差Ux分布图。

由图可见，除对称轴（x=0和l/2）外，磁路中Ux都不等于零，因此有散磁通分布于圆环周围空间，如图3.3（c）所示。

由于对称，通过x=0和x=l/2的平面定义为0等磁位面。

在磁芯中存在若干磁位相等的磁位面，简称

0等位面Flw/2φ

INRiφσφl

φsUcxlw/2lxRσRl

φlwINF

IUxlx

xx=0lw/2

lx

（a）（b）（c）

图3.3等截面集中绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路

等位面。

和电场一样，在周围空间也存在等磁位面，磁力线垂直于等位面，终止在电流上（图1.3~1.4和图3.3（a））。

由图3.3（a）可见，在磁芯中x=0处磁通最大，由于磁芯截面积是均匀的，x=0处的磁通密度也就最大；而x=l/2处,磁通最小，磁通密度最低。

在+lw/2和-lw/2之间磁位差最大，因此磁力线最密。

尽管散磁通是分布的，在画等效磁路时，可近似等效为散磁通是在最大磁位差的地方（±lw/2）流出的。

因此有

φ＝φc＋φs

式中φc－全部经过磁芯的磁通；φs－“散”磁通。

散磁通φs是部分通过磁芯经过周围空气路径闭合的磁通。

如果是电感线圈，它是电感磁通的一部分；如果是变压器，φs可能是主磁通的一部分，其余是漏磁通，也可能全部是漏磁通，即部分或全部不与次级耦合。

等效磁路如图3.3（c）所示。

图中Ri=lw/μA－lw段磁阻，相当于总磁势的内阻；而Rl=（l-lw）/μA－lk以外的磁芯磁阻。

Rs－散磁磁阻，则由经验决定。

（C）有气隙时环形磁芯磁场

图3.4（a）为线圈均匀绕，等截面环形有气隙为的磁芯线圈。

线圈磁势降落在磁芯和气隙两部分

式中Hc和H分别为磁芯和气隙的磁场强度。

虽然气隙不大，因空气磁导率比磁芯磁导率低得多，所以气隙磁场强度H比磁芯磁场强度Hc大得多。

因此，H占有总磁势的较大的比例。

仍然取线圈中心为参考。

F，Hcl和H的分布图如图3.4（b）中实线所示，磁芯的磁势图为线性增加。

如仍假设Hc为常数，与没有气隙一样，Ux不等于零，因此，也有散磁通s，所不同的是对称面左右两侧的磁位差比前者大，所以散磁通也大。

当磁芯有气隙时，集中绕线将对称线圈放置在气隙正对面（图3.4（c））时，磁位分布图如图3.4（b）中虚线所示，在大部分磁通路径上，磁位差很大，从图（c）看到，集中绕线比均匀分布绕线具有更大的散磁。

如果将集中对称线圈放置在气隙上，在绕线长度上磁势大部分降落在气隙上，在线圈以外的磁芯上磁位差很小，散磁也很小，如图（b）中虚线所示。

AFA

IN

IUcxlxlI

X=0l

INN

Uxlx

N

0lx

（a）（b）（c）

图3.4磁路中有气隙时磁位分布图

3.3.2E型磁芯磁场和等效磁路

E型磁芯是最常用的磁芯形状。

其它形状如C型（硅钢片），ETD型，EC型，RM型等等（铁氧体）的等效磁路与E型相似。

这些磁芯，为了便于装配线圈，通常是两个相同的“E”形状磁芯开口相对合成一个封闭磁芯。

根据等截面原理，E型磁芯（图3.5）的两个边柱的截面积之和等于中柱截面积。

线圈一般绕在中柱上。

（A）无气隙时等效磁路和磁位图

半个E型磁芯尺寸如图3.5所示。

中柱的截面积

A2

A1DEA

CF

B

图3.5E型磁芯尺寸图

边柱截面积

端部面积

将两个磁芯柱端相对合在一起，形成闭合磁路，称为变压器磁芯（图3.6（a））。

中柱上绕有激励线圈N。

假设忽略散磁通，则在磁芯整个截面上磁通密度是均匀的，磁通的平均路径如图中虚线所示。

因此

因此各磁路段磁阻为

R1

R2

R3

磁路总激励磁势F=NI，其等效磁路如图3.6（b）所示。

如果进行磁位分析，磁位分布图相似于图3.4。

因集中线圈占平均磁路长度的大部分，比环形磁路短，磁芯磁导率很高，散磁通很少，通常忽略周围空气中磁场。

因为两个边柱是对称的，可合并成一路，R2’=R2/2=l2/2μA2，R3’=R3/2=l3/2μA3。

简化的等效磁路如图3.6（c）所示。

中柱通过的磁通

（3.11）

因为A1=2A2=2A3,因此R=R1+R2’+2R3’=2（l1+l3）/μA1=1/G。

式（3.11）可简化为

=NIG（3.11a）

式中G－总磁导。

最后等效磁路如图3.6（d）所示。

l3R3R3R3

φ1φ2R1φ2R2R1φ

l2=l1R2φ1φR2F=INR（G）

F=NIF=IN

R3R3

（a）（b）（c）（d）

图3.6E型磁芯等效磁路

（B）带气隙E型磁芯

带气隙的E型磁芯线圈一般作为直流滤波电感或反激变压器。

如果线圈匝数为N,激磁磁势为F=NI。

它的磁位分布图类似集中线圈的带气隙环形磁芯磁位图。

当带有气隙时，一般可能有两种情况：

EE型磁芯中柱和边柱相同的空气隙，边柱气隙和中柱气隙相等，以及只有中柱气隙。

l2FF

l1ININ

A0x0x

UCINUCIN

xδ/20x0x

x=0UcxUcxδ

0x2l1+δx

δ/2δ/2

2l1+2l2+δ

（a）（b）（c）

图3.7E型磁芯中柱、边柱有气隙和只中柱有气隙磁位图

因磁芯磁导率远大于空气磁导率，尽管气隙长度很小，但磁阻很大（式3.3）。

两种情况磁位图3.7（b）和图3.7（c）所示。

比较图（b）和图（c）可见，图（b）在很长的磁路上磁位差较大，尤其在边柱部分较大，这样引起较大的散磁通。

如果磁场是脉动的，将对周围电路引起严重的干扰磁场。

而图（c）仅在中柱有较大的磁位差，在相同的磁势下，磁位差明显小于图（b）。

这说明仅中柱有气隙比三个芯柱都有气隙好。

3.3.3气隙磁导的计算

（A）气隙尺寸相对端面尺寸很小时磁导计算

在图3.4和图3.7中，如果气隙相对气隙端面尺寸很小（<5%）,可以忽略散磁，认为磁芯气隙端面面积就是气隙截面积。

因此气隙磁导

（3.12）

对于E型磁芯，如果只是中柱带有气隙，同时气隙尺寸δ<<（C,D）时，气隙磁导

如果中柱和边柱都带有相同的气隙δ，则中柱（G1δ）和一个边柱（G2δ）磁导分别（尺寸参看图3.5）为

G1δ

和G2δ

总的气隙磁导

（3.13）

a

δ

φ

图3.8边缘磁通

（B）气隙较大时，气隙磁导计算

在大多数情况下，气隙相对端面尺寸较大，磁通不仅经过磁芯的端面，而且还通过气隙的边缘，尖角，气隙附近的磁芯侧表面流通（图3.8），这些磁通通常统称为边缘磁通。

端面磁导仍然可按式（3.12）计算。

边缘磁通计算十分复杂，有分析法，经验公式法，许多文献进行了讨论。

对于规则形状可按以下经验公式求得：

●相对正方形端面气隙磁导（图3.9）

端面G

（3.14）

δa

a

xx

图3.9正方形端面气隙

当

时，

由端面至x处的侧表面

G

（3.14a）

通常取x=2～3δ。

总磁导为式（3.14）,（3.14a）之和。

如果正方形端面对一个比端面大得多的平板，式（3.14）和（3.14a）计算值放大一倍。

●相对圆形端面气隙磁导（图3.10）

端面G

（3.15）

xx

d

δ

图3.10圆形端面气隙

当

时，

由端面至x处的侧表面

G

（3.15a）

一般x=（2～3）。

●两个相等的矩形端面间气隙磁导

ab

2

m1

δ4

m2

图3.11矩形磁极之间的边缘磁导

用有限元以及电磁场相似原则分析磁场虽然准确，但使用的情况毕竟有限。

比较实用的方法是可以估计磁通可能的路径，把整个磁场分成几个简单的几何形状的磁通管。

然后用分析法求解，或用以下近似公式：

（3.16）

式中Abav—磁通管的平均截面积（米2）;lbav—磁通管内力线的平均长度（m）;Vb—磁通管的体积（m3）;k—磁通管号码。

整个气隙磁导是这些磁导总和。

1－半圆柱

G1

δa

lbav

2－半圆筒

G2

a

δ

m

3－1/4球

G3

δ

4－1/4球壳

G4

m

δ

图3.12矩形端面分割的磁通管

（a）方形磁极

图3.11是一个正方形磁极。

将气隙磁通路径分成的几何形状如图3.11中1－半圆柱，2－半圆筒，3－1/4圆球，4－1/4圆球壳。

分割的各磁通管如图3.12所示。

以2号半圆筒为例，平均磁路长度lbav=π（δ+m）/2。

截面积Abav=m×a。

根据式（3.16）求得半圆筒磁导

（3.17）

式中m=（1~2）δ。

当<3m时,

（3.17a）

同理得到其它分割的磁导

半圆柱:

（3.18）

1/4球

（3.19）

1/4球壳

（3.20）

由式（3.12）得到端面间气隙磁导

（3.21）

总的气隙磁导为

如果端面是a×b的矩形。

取m=δ，则总磁导为

（3.22）

（b）圆柱形磁极

圆柱形磁极之间的气隙磁导也可用正方形的分割法计算，将边缘磁导分成圆环和圆环壳。

如柱的直径为d，气隙长度为δ，用分割法求得圆柱总气隙磁导为

（3.23）

（C）气隙磁导粗略估算

从图3.4和图3.7可见，在气隙附近磁位差很大，存在强烈的边缘磁通，向外扩展超过气隙的边界，有效的气隙截面积大于磁芯端面截面积，即等效的气隙截面积加大了。

为避免过大的误差，计算时必须根据有效截面积，而不是极端面积。

经验近似方法是加一个气隙长度到磁芯端面尺寸上。

对于边长a和b矩形极，有效气隙面积Ae近似为：

Ae=（a+δ）×（b+δ）（3.23a）

对于直径为D园端面截面:

（3.23b）

当δ＝0.1D时，面积校正系数Ae/A为1.21。

A－磁极端面面积。

当校正系数低于20％以上的校正系数是有帮助的。

较精确计算用前面经验公式。

更加精确的校正需要用有限元求解，

例4：

磁极尺寸如图例5（a），磁芯中柱一边短3mm，即磁极气隙δ＝3mm。

求中柱气隙磁导。

解：

从图例5（a）得到磁极的尺寸C=27mm，D=19.8mm，是一个矩形截面。

中柱边缘磁通扩展宽度m和边柱与中柱之间的距离（m<（E-d）/2）有关,这里选取m=1.5δ.由式（3.22）得到气隙总磁导

Gδ

=0.3062×10-6（H）

如果采用粗略估算公式（3.12）和（3.23a）计算

（H）

式中μ0＝4π×10－7H/m。

上述两种方法计算结果相差小于10％。

例5：

图例5所示变压器磁芯为EE65。

标称尺寸A=65mm，B=32.6mm，C=27mm，D=19.8mm，E=44.2mm，F=22.6mm。

假定磁芯μ＝μ0×2000，线圈绕在中柱上，匝数N1=25匝，N2=5匝。

初级加一个幅值为400V，脉冲宽度Ton=3.6μs。

次级电流峰值为I2p=30A的矩形波。

求：

1.作出等效磁路图；2.计算磁芯最大磁感应Bmax；3.计算次级电压u2；4.计算初级电流最大幅值。

如果在两半磁芯结合部有一个0.05mm的气隙，重复以上的计算。

解：

1.磁芯是由两半的一副组成。

上下两半是对称的。

平均磁路参考图3.7（a）：

mm=2.76cm=l2

=2.24cm

R3R3

C

R2R1R2

F=IN

FB

R2R1R2

DR3R3

E

A

（a）（b）

图例5E型磁芯线圈

中柱截面积

边柱截面积

=2.81cm2

端部截面积

=2.7cm2

等效磁阻

R1

R2

R3

得到等效磁路中R1，R2，R3。

等效磁路如图例5（b）所示。

2.当输入电压为400V，持续时间Ton=3.5μS，由式（2.19）得到中柱中磁通

中柱中最大磁通密度

因中柱总磁通分成相等两部分通过边柱，边柱（端部）面积之和大于中柱面积，故磁通密度小于中柱。

3.根据式（2.21）得到

4.根据式（2.24）得到初级电流

次级反射电流

根据磁势平衡定律，由式（3.6）得到

因此得到

2.045+3.91+3.3）×104

=0.127（A）

输入峰值电流

如果两半磁芯结合处有0.05mm气隙，仅在每个磁路中增加一个气隙磁阻，因气隙相对端面尺寸很小，可忽略边缘磁通，两边柱气隙磁阻相等

Rδ2

中柱磁阻

Rδ1

初级磁化电流

磁芯仅50μm气隙，气隙磁阻比总磁芯磁阻还要大，磁化电流增加一倍多，磁芯气隙对磁化电流影响很大。

初级总的输入电流

3.4电感计算

有电流流通，就建立磁场。

根据式（2.1）电感系数的定义

（3.24）

这就是说，一段导线，一个线圈都存在电感，只是大小不同。

在有些情况下必须考虑，而在有些情况下，则可以忽略。

在开关电源中，电路的工作状态一直处于瞬时变化状态，某些在前面讨论的静态磁场和低频磁场可以忽略的问题，随着工作频率的提高，变得越来越重要，而且成为主要矛盾，因此，定量或至少定性分析电感量是十分必要的。

从式（3.24）可见，一般计算载流导体的电感是十分困难的。

除了线圈带有高磁导率磁路闭合磁芯，或磁路中很小气隙外，磁链ψ的计算十分复杂。

一般采用经验公式。

3.4.1导线和无磁芯线圈的电感计算－经验公式

A.导线电感

（1）一定长度的导线电感

载流导线总是闭合的，包围的面积越大，磁链ψ越大，电感就越大。

一段导线是总自感的一部分。

导线长度为l（cm）,直径为d（cm）,磁导率为μ=μ0，则低频电感

×10-7（H）（3.25）

如果导线长度很短（l<100d），在括号内增加一项d/2l。

在很高频率（大于1GHz）时，导线电感趋于极限值

×10-7（H）（3.25a）

高频时，由于导线的集肤效应减少了磁场空间，使得磁场减少，电感量减少。

一般用式（3.25）计算，中频时（数百kHz）最大有6％的误差，高频时只有2％误差。

这在工程上完全允许的。

例6：

求一段直径为1mm，长50cm的铜连接线的低频电感量。

解：

根据公式（3.25）得到

=0.546μH

（2）单导线对大平面（地回路）之间电感（图3.13）

单导线直径为d（m），长度为l（m）,导线与平面之间平行，导线与平面间距离为h（m）,其电感量