弦图之妙.docx

1、弦图之妙周髀算经把勾股定律当常识的天文书 给你一根八尺长的棍子，和一个“勾三股四弦五”的提示，请问你“地球距离太阳有多远？” 这个题目你能答得出来吗？ 这个题目就是出现在近二千年前的周髀算经上。古人不会电脑，但是也不见得就是没有科学能力，他们对二十四节气、二十八星宿都有很深的认识了。 除了前述“以日影求日高”的题目外，还有一题是用“璇玑”（即北斗星的第一颗到第四颗星，状如“口”字少掉一笔的“”）来量测太阳直径，也是出现在同一本周髀算经。 这个题目你也答得出来吗？ 周髀算经简称周髀，其中的“周”指的是周代，而“髀”（读b）的原意是大腿或大腿骨，此处意思是“表（竿）”，是一种“用来测量日影长度的表

2、（状如长棍）”全书以周公和商子的对谈开场。从“勾三股四弦五”谈起，从日影、日高、不同纬度的日高、不同节气的日高，到一年中24个节气各时节的日影表；表面谈的是天文，但是行文中也出现开方、等差级数的数学概念了。它出版的年代最迟不晚过汉代。 周髀算经除了有后汉赵君卿的注释外，唐代的李淳风、宋代的李籍等多人也都有注释过。在唐代，周髀算经还被选列为算经十书之一，是科举取士中“明算科”应试者要研读的算学教科书之一。 周髀算经全书分为上、下二卷，体裁格式从对谈式（周公、商高，陈子、荣方），到独白式（法曰、术曰）作为不同单元的开头。英国人李约瑟（Joseph T.M. Needham， 19001995）博士

3、把此书按西人习用的格式来分章节 第一章是周公与商高对谈第一节谈商高定律、第二节谈表竿、方、圆的使用与距离的量测； 第二章是荣方与陈子的对谈第一节继续谈日影的变化，乃至以璇玑太阳直径；第二节以日高图开始；第三节以七衡图开始。 第三章各节才是原书的各章谈论范围从太阳的岁动、各节气的日影长度，到各恒星、二十八宿、十九年周期。对于举头不识星斗、低头不熟文言文的现代人，还真的像是一本“天书”呢。 周髀算经书中最有名的一句话除了“径一周三”（圆周率），要算是“勾三股四弦五”了，稍后还有一句“句股各自乘并而开方除之”，简直就是把a2+b2=c2和c2开平方的算法，都当成国民常识，随口带过，反而让后代子孙大叹

4、它比古希腊的“毕氏定律”还要早出现，所以课本上的“毕氏定律”都应该改称为“勾股定律”或“商高定律”。 其实，单看赵爽注释的“句股圆方图”（即上图之弦图），把“勾三股四弦五”的“常识”，用面积重组的方式，简洁地给证明出来。就令人赞叹不已。可惜许多现代人，还以为中国古人那些线装书都是很落伍的。 本文来自神州智慧网()详文参考： 2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。 中算史中的張本例(generic examples) 台師大數學系 洪萬生教授 最近與研究生一起研讀 Macia Pinto, David Tall的 “Buil

5、ding Formal Mathematics on Visual Imagery: A case study and a theory” (2002) 與 John Mason and David Pimm的 “Generic Examples: Seeing the general in the particular” (1984) 兩篇論文，發現其中有一些論述可以關連到HPM上頭來。事實上，中算史文本中也有很多張本例 (generic examples)，可供HPM研究者或使用者參考與援用。茲在此列舉一二，聊供談助可也。 何謂張本例？或許我們可以看看如何利用它來證明！如果有人利用下列圖示

6、來證明：偶數加偶數等於偶數，那麼，我們就可以說他（她）使用了張本例： 加 等於 根據英文字典的說明，“generic 是 “genus”（類或屬）的形容詞，意思是某類(class) 或群體(group) 所共有的（特性）。這樣說來，如果不夠明白，我們不妨訴諸權威。上述 Mason 與 Pimm 兩人合寫的論文中，曾引述了希爾伯特 (David Hilbert)的一段夫子自道，非常值得在此引述： 假使你想要解題，首先，剝除與此一問題本質 (essential) 無關的任何事物。簡化此一問題，並且盡可能地在不犧牲它的核心 (core) 的情況下將它特殊化 (specialize)。如此一來，它會變

7、得簡單 (simple)，盡可能簡單，但卻不會喪失它的任何精華(punch)，然後，你就可以來解題了。至於所謂的延拓 (generalization)，不過是一種你毋需太過勞神的無聊之舉 (triviality)。 在這一段中譯引文中，我刻意地附上原文中（的英文）如 essential，core，specialize，simple, generalization，triviality等等二十世紀數學家修辭用的口頭禪，忠實地保留一點原味，希望大家喜歡！不過，Mason 與 Pimm 引述的主要目的是指出：希爾伯特的進路(approach) 可以說是在於尋找一個張本例，它儘管特殊 (special

8、ization) 但卻談論了一般 (generality)。因此，他們才會在上述論文中的副標題中，強調從特殊性中看到一般性 (Seeing the generality in the particular)。換句話說，對他們來說，張本例固然是一個真實的例子，但是它卻以被刻意要求成為承載一般性的角色來呈現 (A generic example is an actual example, but one presented in such a way as to bring out its intended role as the carrier of the general)。 現在，我們就舉中

9、算史上的兩個張本例，來說明它們在證明上可以發揮的積極功能。第一例出自三國時代孫吳國的趙爽，他對勾股定理提供了一個非常漂亮的弦圖證明，請參考下圖，其中根據三、四、五這三個特殊的數目所作的圖形，就很容易搖身一變，而成為勾、股、弦分別是a, b, c的弦圖，因此，我們從趙爽的弦圖特殊性，很容易看出它的一般性來。 另一個例子，則出自南北朝時代的孫子算經。在本書的下卷中有一個物不知數題，堪稱是中國剩餘定理(Chinese Remainder Theorem) 的起點，茲引述內容如下： 今有物，不知其數，三、三數之賸二，五、五數之賸三，七、七數之賸二，問物幾何？ 答曰：二十三。 術曰：三、三數之賸二，置一

10、百四十；五、五數之賸三，置六十三；七、七數之賸二，置三十。併之，得二百二十三，以二百一十減之，即得。凡三、三數之賸一，則置七十；五、五數之賸一，則置二十一；七、七數之賸一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。 在本題中，如果我們利用任意三個兩兩互質的除數替代三、五、七，而且餘數也改成任意不相等的三個整數（但分別小於前述的三個除數），那麼，在術曰中的一百四十、六十三、三十、七十、二十一、十五等數，也就可以跟著改寫成為對應的數，從而得證（一般性）的中國剩餘定理了。 最後，有關張本例一詞的敲定，我們必須作一點說明。它也被稱為啟蒙例或構念例。然而，我們若將 “generic example” 中

11、譯成張本例，或許更加貼切傳神，蓋取其彰顯本質屬性之義也！我的考慮是基於下列對比： genus vs. species，generic vs. special，generality vs. specialization，請大家批評與指教。 弦图之妙赏弦图之美用弦图之妙河南王兵伟早在一千三百多年前，我国著名的数学家赵爽巧妙的借助面积，证明了勾股定理，下图就是赵爽证题时用到的图形，史称“弦图”；此图不仅构造巧妙美观，而且还蕴含着不少“玄机”；一、引出结论：由于AFE、EFR、EBH、EHQ、HCG、HGP、GDF、FGO都是全等的Rt，设它们的面积为S，则4S+，8S+，于是不难得出如下结论：；我们

12、不妨在此弦图正方形的基础上推广延伸到矩形中去，如下图:易知，利用此结论可以轻松的求解与此相关的问题；二、应用举例：例1、如右图，在一个由44个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是（ ）A.3：4 B.5：8 C.9：16 D.1：2解析：此题图形可构造成下图所示的“弦图”：设小正方形的边长为a，由结论得：所以阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是：，故选D；例2、如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为（ ）A、2 B、 C、 D、解析

13、：设小正方形的边长为a，则矩形ABCD的面积为15a2，由结论得：，所以，矩形ABCD的面积为，故选D；例3、如下图，正方形ABCD的面积是S，A、B、C、D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点，试用S表示四边形EFGH的面积S1；解析：构造如上图所示的“弦图”， 设正方形ABCD的边长是2a，则正方形OPQR的边长是3a，由结论得：因为正方形ABCD的面积S，所以四边形EFGH的面积S1S【本讲教育信息】一. 教学内容： 用“弦图”求面积 同学们，你们好！今天，我们一起来研究“弦图”的知识。 这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一

14、个小正方形。 三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。 我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。（一）阅读思考 例1. 有一大一小的两个正方形（如下图），对应边之间的距离都是1厘米，如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？ 分析与解答：要想求出图中大正方形的面积，根据公式，只要先求出大正方形或小正方形的边长就行。下面我们就设法求出这两个量中的某个量。 解这道题有很多种方法；但都要添加辅助线。 方法1： 方法2： 方法3： 方法4： 图中两个梯形共12平方厘米，它们每个面积是平方厘米，因为

15、梯形的高是2厘米，所以梯形上下底之和是厘米，上下底之差是2厘米，所以梯形的上底（大正方形边长）是4厘米，所以大正方形面积是平方厘米。 例2. 从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？ 分析与解答：我们可以将四个剩下的长方形这样的木板拼成一个如下图的“弦图”。 从图中可以看出，中间的小正方形面积是平方米，大正方形的面积是平方米。 由于，所以大正方形的边长是4.5米。也就是剩下的长方形的长和宽的和是4.5米，长与宽的差是0.5米。从图中也可以看出，大正方形的边长小正方形边长长方形宽2，所以长方形的宽是2米，那么长是2.

16、5米。所以锯下的木条的面积是平方米。（二）尝试体验 1. 四个完全一样的长方形木板，拼成如图的正方形，大正方形周长32厘米，小正方形周长8厘米。求：每块长方形木板的面积和周长。 2. 同样大小的长方形纸片摆成下面这样的图形。已知每张小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。 3. 四个相同的小长方形，宽是1厘米，它们的面积和是12平方厘米，求正方形ABCD的面积。 4. 有9张相同的小长方形卡片，摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长是18厘米，宽是4厘米，求大长方形的面积。 5. 从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多

17、少平方分米？ 6. 计划修一个正方形的花坛，并在花坛周围铺上宽2米的草坪，草坪的面积是40平方米，那么修建花坛需占地多少平方米？【模拟试题】（答题时间：40分钟）1、有一条红色的正方形丝巾，它的边长是30厘米，丝巾上横竖各有两道宽均为5厘米的黑条，如图中的阴影部分，则丝巾黑色部分的面积是_平方厘米。2、四个一样的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形，如图，已知大、小正方形的面积分别为81和25平方厘米，则长方形的长是_厘米，宽是_厘米。3、如图，用同样大小的长方形纸片拼成一个大长方形，已知，每张小纸片的宽是8厘米，则阴影部分的面积的和是_平方厘米。4、一个斜边是40厘米的直角三角形，两条直角边

18、之差是6厘米，则这个直角三角形的面积是_平方厘米。5、用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框，如图，边框的外周长为288厘米，里面的小正方形面积为1600平方厘米，则每块长方形砖的长是_厘米，宽是_厘米。6、计划修一个正方形的花坛，并在花坛的周围铺上宽4米的甬道，甬道的面积是80平方米，那么修建花坛（包括甬道）需占地_平方米。7、如图，小长方形的长是宽的2倍，两个长方形对应边的距离是1厘米，夹在大、小两个长方形之间的面积是64平方厘米，则小长方形的面积是_平方厘米。8、26个长为6厘米的小纸片，摆成如图所示的图形，则阴影部分的面积和是_平方厘米。【试题答案】1、答案：500 解析

19、：丝巾黑色部分的面积为（平方厘米）。2、答案：7，2 解析：由已知得，大正方形的边长为9厘米，小正方形的边长为5厘米，又因为长方形的长加宽等于大正方形边长，长减去宽等于小正方形边长，所以长方形的长为（95）27（厘米），宽为（95）22（厘米）。3、答案：48 解析：由原图可知，5个小长方形的长等于3个小长方形的长加3个宽，所以2个小长方形的长等于3个长方形的宽，则小长方形的长为（厘米）， 每个小阴影部分的边长为1284（厘米）， 所以阴影部分面积的和为44348（平方厘米）。4、答案：391 解析：用四个这样的直角三角形拼成如图所示的大正方形。 大正方形的面积为（平方厘米）， 小正方形的面积

20、为6636（平方厘米），一个直角三角形的面积为（160036）4391（平方厘米）。5、答案：28，16 解析：由原图可知长方形砖的2个长加上1个宽为288472（厘米），由已知得，小正方形的边长为40厘米，即长方形砖的2个长减去1个宽为40厘米，所以长方形砖的长为（厘米），宽为（厘米）。6、答案：81 解析：如图，小长方形的面积为80420（平方米），小长方形的长为2045（米），大正方形的边长为459（米），所以修建花坛需占地为9981（平方米）。7、答案：200 解析：如图，长方形A的面积为（6414）610（平方厘米），长方形A的长为10110（厘米），所以小长方形的面积为（102）1

21、0200（平方厘米）。8、答案：8 解析：由原图可知，3个小纸片的宽等于它的长，所以小纸片宽为632（厘米），每个小阴影部分的边长为小纸片的宽，所以阴影部分的面积和为2228（平方厘米）。圖說一體、不證自明台師大數學系 洪萬生教授本刊曾多次刊出看圖說話，贏得不少的注意與好評。今年十月二十三日，我應邀到台北市西松高中演講（由西松高中教師會舉辦）時，順便介紹了幾張看圖說話，沒想到與會的台北市、縣數學教師，竟然立即發現了它們的力與美，真是令人高興。最近黃哲男老師在北市建中教學實習，曾利用圖形來講解平方項的求和公式（參見圖一），學生的反應是：從小到大第一次感受到數學的美與神奇。 那些圖形大部分都從美國

22、數學協會 (The Mathematical Association of America，簡稱MAA) 所出版的 Mathematics Magazine 所摘錄出來的。MAA與AMS、NCTM並列為美國三大數學社團，它們關心數學教育的方式，則側重面大有不同。譬如說吧，AMS即美國數學學會 (American Mathematical Society) 的簡稱，它的組成份子都是專業數學家，因此，學會出版品中的 American Mathematical Monthly 與 Notices of the American Mathematical Society，雖然不乏教育方面的論述，但是，

23、前者偏向大學層次的解題活動，後者則提供論壇，讓數學家抒發他們對數學教育的熱情關懷與高韜理想。另一方面，NCTM則處在另一個極端，它是全國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics) 的簡稱，出版品中有針對中小學數學教師為訴求對象的 The Mathematics Teacher 與 The Arithmetic Teacher，內容主要涉及具體的教學策略與方法，可見NCTM是數學教育專家 (mathematics educator) 與中小學數學教師的自主團體。 至於MAA則在體制上比較符合中庸之道。譬如，它的組成份子就容納了專業數學家

24、、大學與中、小學數學教師等各個層面，尤其難得的是，像George Polya 這樣的偉大數學家，就曾經是MAA的忠誠會員。再者，MAA的刊物 Mathematics Magazine 雖然內容稍偏大學數學層次，但是，教育與人文關懷相當濃厚，所以，它比起 American Mathematical Monthly 來，顯得世俗(secular) 一些，然而，就觸及數學知識活動來說，它相較於 The Mathematics Teacher 與The Arithmetic Teacher，則無疑深刻(deep) 多了。 正因為如此，所以，Mathematics Magazine 於1975年提出此一

25、看圖說話專欄構想，原先只是用以補白(use as end-of-article fillers)，沒想到後來主編 J. Arthur Seebach 與 Lynn Arthur Steen 竟然進一步強調：利用一個令人歡喜的圖示，來提出一個重要的數學觀點，這比起原先目的，恐怕再也不能更好的吧？顯然由於此一專欄的大受歡迎，因此，MAA 的另一份刊物 The College Mathematics Journal 在八十年代的稿約中，就不斷地聲明：本刊除了歡迎側重解釋性的論文之外，也邀請其他類型的撰稿，尤其是不用文字的證明 (Proofs without words) (Proofs withou

26、t words)，數學詩篇，遺聞軼事引述，. 不過，誠如 Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking (MAA出版，1993) 的編者 Roger B. Nelsen 所指出，這種看圖說話卻早已不乏先例。事實上，Martin Gardner 就曾在1973年十月號的【科學的美國人】(Scientific American) 討論這種不用文字的證明。他將這種圖形視為一瞥就懂的圖形 (look-see diagrams)，這是因為在很多時候一個蠢笨的證明，若能輔以一個幾何的類比圖形 (geometric analogue)，則後者的簡潔與美

27、妙，讓讀者幾乎可以一瞥即對定理的真實性瞭然於胸 (the truth of a theorem is almost seen at a glance)。 此外，Nelsen 還特別指出：在數學史上，這種圖形也常常出現。誠然，中國趙爽、劉徽（三世紀）與印度巴斯卡拉（十一世紀）對畢氏定理所提供的弦圖證明（圖二），就是十分著名的例子。可見，它們也曾經在數學史上扮演相當有意義的角色。針對此一例子，古典希臘的歐幾里得所提供的證法之附圖（圖三），大概就少了一目瞭然的特性。究其原因，圖形只被他們認為具有輔助思考的功能而已。對歐幾里得影響深遠的柏拉圖，在他的【理想國】(The Republic) 中甚至強調吾

28、人在心靈 (mind) 思考數學客體（即形式 (forms) 或理念 (ideas)）時，千萬不可被圖形所迷惑或左右。在這種情況下，圖形作為認識或核證數學知識的一種憑藉，希臘數學家對它的正當性一定相當保留，於是，他們對文字論述的方式，當然更加全力以赴了。 在數學史上，數學家言說或論述方式總是受限於符號的使用 - 當然，這也常常關聯到他（她）們對於某些關鍵概念的透明清晰度之掌握，因此，利用圖形的自我解說(self-explanation) 能力，往往是他（她）們呈現數學知識的一個重要策略。譬如說吧，十四世紀巴黎學派的 Oresme 就使用了下列圖四，發現 / 證明了下列級數和:至於他所根據的理由

29、則是：一個有限面積的平面區域，可以照我們所喜歡的程度去拉長或變高它的延展性，而不改變它的尺寸大小。可見，無窮級數如何求和對他來說，數學符號與術語大概都不足以講明白，說清楚，因此，想辦法去建構一個圖示，或許是最具說服力了。 所以，偶而在課堂上利用這種圖形，應該可以帶來意想不到的學習結果，至少我們可以利用這種難得的機會，拉近學生與古代數學文本的距離。尤其，當代數符號演算對初學者極為抽象時，幾何圖示 (geometric demonstration / illustration) 往往可以發揮相當大的澄清或說服功能，譬如【幾何原本】中的平方和公式之圖示（圖五），以及阿爾花拉子摩 (Al-Khwarizmi) 利用配方法 (completing the square) 來圖示二次方程 （圖六），都是非常值得參考借鏡的文本，值得我們珍視與利用。附註：阿爾花拉子摩的原題敘述成平方加上10根等於39，問平方是多少？，至於解法則寫成：取根的係數10的一半，即5，自乘得25，加上39等於64，其平方根是8，在減去根的係數10之半，餘3。這就是根，它的平方根是9。