弦图之妙.docx
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弦图之妙
《周髀算经》∶把勾股定律当常识的天文书
给你一根八尺长的棍子，和一个“勾三股四弦五”的提示，请问你“地球距离太阳有多远？
”
这个题目你能答得出来吗？
这个题目就是出现在近二千年前的《周髀算经》上。
古人不会电脑，但是也不见得就是没有科学能力，他们对二十四节气、二十八星宿……都有很深的认识了。
除了前述“以日影求日高”的题目外，还有一题是用“璇玑”（即北斗星的第一颗到第四颗星，状如“口”字少掉一笔的“ㄈ”）来量测太阳直径，也是出现在同一本《周髀算经》。
这个题目你也答得出来吗？
《周髀算经》简称《周髀》，其中的“周”指的是周代，而“髀”（读bì）的原意是大腿或大腿骨，此处意思是“表（竿）”，是一种“用来测量日影长度的表（状如长棍）”全书以周公和商子的对谈开场。
从“勾三股四弦五”谈起，从日影、日高、不同纬度的日高、不同节气的日高……，到一年中24个节气各时节的日影表；表面谈的是天文，但是行文中也出现开方、等差级数的数学概念了。
它出版的年代最迟不晚过汉代。
《周髀算经》除了有后汉赵君卿的注释外，唐代的李淳风、宋代的李籍等多人也都有注释过。
在唐代，《周髀算经》还被选列为《算经十书》之一，是科举取士中“明算科”应试者要研读的算学教科书之一。
《周髀算经》全书分为上、下二卷，体裁格式从对谈式（周公、商高，陈子、荣方），到独白式（法曰、术曰）作为不同单元的开头。
英国人李约瑟（JosephT.M.Needham，1900～1995）博士把此书按西人习用的格式来分章节∶
第一章是周公与商高对谈∶第一节谈商高定律、第二节谈表竿、方、圆的使用与距离的量测；
第二章是荣方与陈子的对谈∶第一节继续谈日影的变化，乃至以璇玑太阳直径；第二节以日高图开始；第三节以七衡图开始。
第三章各节才是原书的各章∶谈论范围从太阳的岁动、各节气的日影长度，到各恒星、二十八宿、十九年周期……。
对于举头不识星斗、低头不熟文言文的现代人，还真的像是一本“天书”呢。
《周髀算经》书中最有名的一句话除了“径一周三”（圆周率），要算是“勾三股四弦五”了，稍后还有一句“句股各自乘并而开方除之”，简直就是把a2+b2=c2和c2开平方的算法，都当成国民常识，随口带过，反而让后代子孙大叹它比古希腊的“毕氏定律”还要早出现，所以课本上的“毕氏定律”都应该改称为“勾股定律”或“商高定律”。
其实，单看赵爽注释的“句股圆方图”（即上图之弦图），把“勾三股四弦五”的“常识”，用面积重组的方式，简洁地给证明出来。
就令人赞叹不已。
可惜许多现代人，还以为中国古人那些线装书都是很落伍的。
本文来自神州智慧网（）
详文参考：
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。
中算史中的『張本例』（genericexamples）
台師大數學系洪萬生教授
最近與研究生一起研讀MaciaPinto,DavidTall的“BuildingFormalMathematicsonVisualImagery:
Acasestudyandatheory”（2002）與JohnMasonandDavidPimm的“GenericExamples:
Seeingthegeneralintheparticular”（1984）兩篇論文，發現其中有一些論述可以關連到HPM上頭來。
事實上，中算史文本中也有很多『張本例』（genericexamples），可供HPM研究者或使用者參考與援用。
茲在此列舉一二，聊供談助可也。
何謂『張本例』？
或許我們可以看看如何利用它來證明！
如果有人利用下列圖示來『證明』：
偶數加偶數等於偶數，那麼，我們就可以說他（她）使用了『張本例』：
●●●加●●●●等於●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●
根據英文字典的說明，“generic’是“genus”（『類』或『屬』）的形容詞，意思是某『類』（class）或『群體』（group）所共有的（特性）。
這樣說來，如果不夠明白，我們不妨『訴諸』權威。
上述Mason與Pimm兩人合寫的論文中，曾引述了希爾伯特（DavidHilbert）的一段『夫子自道』，非常值得在此引述：
假使你想要解題，首先，剝除與此一問題本質（essential）無關的任何事物。
簡化此一問題，並且盡可能地在不犧牲它的核心（core）的情況下將它特殊化（specialize）。
如此一來，它會變得簡單（simple），盡可能簡單，但卻不會喪失它的任何『精華』（punch），然後，你就可以來解題了。
至於所謂的延拓（generalization），不過是一種你毋需太過勞神的無聊之舉（triviality）。
在這一段中譯引文中，我刻意地附上原文中（的英文）如essential，core，specialize，simple,generalization，triviality等等二十世紀數學家修辭用的口頭禪，忠實地保留一點『原味』，希望大家喜歡！
不過，Mason與Pimm引述的主要目的是指出：
希爾伯特的『進路』（approach）可以說是在於尋找一個『張本例』，它儘管特殊（specialization）但卻談論了一般（generality）。
因此，他們才會在上述論文中的副標題中，強調從特殊性中看到一般性（Seeingthegeneralityintheparticular）。
換句話說，對他們來說，「張本例固然是一個真實的例子，但是它卻以被刻意要求成為『承載一般性』的角色來呈現（Agenericexampleisanactualexample,butonepresentedinsuchawayastobringoutitsintendedroleasthecarrierofthegeneral）。
」
現在，我們就舉中算史上的兩個『張本例』，來說明它們在證明上可以發揮的積極功能。
第一例出自三國時代孫吳國的趙爽，他對勾股定理提供了一個非常漂亮的『弦圖』證明，請參考下圖，其中根據三、四、五這三個特殊的數目所作的圖形，就很容易『搖身一變』，而成為勾、股、弦分別是a,b,c的『弦圖』，因此，我們從趙爽的弦圖『特殊性』，很容易看出它的『一般性』來。
另一個例子，則出自南北朝時代的《孫子算經》。
在本書的下卷中有一個『物不知數』題，堪稱是『中國剩餘定理』（ChineseRemainderTheorem）的起點，茲引述內容如下：
今有物，不知其數，三、三數之賸二，五、五數之賸三，七、七數之賸二，問物幾何？
答曰：
二十三。
術曰：
三、三數之賸二，置一百四十；五、五數之賸三，置六十三；七、七數之賸二，置三十。
併之，得二百二十三，以二百一十減之，即得。
凡三、三數之賸一，則置七十；五、五數之賸一，則置二十一；七、七數之賸一，則置十五。
一百六以上，以一百五減之，即得。
在本題中，如果我們利用任意三個兩兩互質的除數替代三、五、七，而且餘數也改成任意不相等的三個整數（但分別小於前述的三個除數），那麼，在『術曰』中的『一百四十』、『六十三』、『三十』、『七十』、『二十一』、『十五』等數，也就可以跟著『改寫』成為對應的數，從而得證（一般性）的『中國剩餘定理』了。
最後，有關『張本例』一詞的敲定，我們必須作一點說明。
它也被稱為『啟蒙例』或『構念例』。
然而，我們若將“genericexample”中譯成『張本例』，或許更加貼切傳神，蓋取其『彰顯本質屬性』之義也！
我的考慮是基於下列對比：
genusvs.species，genericvs.special，generalityvs.specialization，請大家批評與指教。
弦图之妙赏弦图之美 用弦图之妙
河南 王兵伟
早在一千三百多年前，我国著名的数学家赵爽巧妙的借助面积，证明了勾股定理，下图就是赵爽证题时用到的图形，史称“弦图”；此图不仅构造巧妙美观，而且还蕴含着不少“玄机”；
一、引出结论：
由于△AFE、△EFR、△EBH、△EHQ、△HCG、△HGP、△GDF、△FGO都是全等的Rt△，设它们的面积为S，则
＝4S+
，
＝8S+
，于是不难得出如下结论：
……①；我们不妨在此弦图—正方形的基础上推广延伸到矩形中去，如下图:
易知
……②，利用此结论可以轻松的求解与
此相关的问题；
二、应用举例：
例1、如右图，在一个由4×4个小正方形组成的正方
形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD的面积比
是（ ）
A.3：
4 B.5：
8 C.9：
16 D.1：
2
解析：
此题图形可构造成下图所示的“弦图”：
设小正方形的边长为a，由结论①
得：
所以阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是：
，故选D；
例2、如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为（ ）
A、2 B、
C、
D、
解析：
设小正方形的边长为a，则矩形ABCD的面积为15a2，由结论②
得：
，
所以
，矩形ABCD的面积为
，故选D；
例3、如下图，正方形ABCD的面积是S，A、B、C、D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点，试用S表示四边形EFGH的面积S1；
解析：
构造如上图所示的“弦图”，设正方形ABCD的边长是2a，则正方形OPQR的边长是3a，由结论①
得：
因为正方形ABCD的面积S＝
，所以四边形EFGH的面积S1＝
S．
【本讲教育信息】
一.教学内容：
用“弦图”求面积
同学们，你们好！
今天，我们一起来研究“弦图”的知识。
这就是一个“弦图”。
“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。
三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。
我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。
（一）阅读思考
例1.有一大一小的两个正方形（如下图），对应边之间的距离都是1厘米，如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？
分析与解答：
要想求出图中大正方形的面积，根据公式，只要先求出大正方形或小正方形的边长就行。
下面我们就设法求出这两个量中的某个量。
解这道题有很多种方法；但都要添加辅助线。
方法1：
方法2：
方法3：
方法4：
图中两个梯形共12平方厘米，它们每个面积是
平方厘米，因为梯形的高是2厘米，所以梯形上下底之和是
厘米，上下底之差是2厘米，所以梯形的上底（大正方形边长）是4厘米，所以大正方形面积是
平方厘米。
例2.从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？
分析与解答：
我们可以将四个剩下的长方形这样的木板拼成一个如下图的“弦图”。
从图中可以看出，中间的小正方形面积是
平方米，大正方形的面积是
平方米。
由于
，所以大正方形的边长是4.5米。
也就是剩下的长方形的长和宽的和是4.5米，长与宽的差是0.5米。
从图中也可以看出，大正方形的边长＝小正方形边长＋长方形宽×2，所以长方形的宽是2米，那么长是2.5米。
所以锯下的木条的面积是
平方米。
（二）尝试体验
1.四个完全一样的长方形木板，拼成如图的正方形，大正方形周长32厘米，小正方形周长8厘米。
求：
每块长方形木板的面积和周长。
2.同样大小的长方形纸片摆成下面这样的图形。
已知每张小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。
3.四个相同的小长方形，宽是1厘米，它们的面积和是12平方厘米，求正方形ABCD的面积。
4.有9张相同的小长方形卡片，摆成一个大长方形，已知每个小长方形的周长是18厘米，宽是4厘米，求大长方形的面积。
5.从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？
6.计划修一个正方形的花坛，并在花坛周围铺上宽2米的草坪，草坪的面积是40平方米，那么修建花坛需占地多少平方米？
【模拟试题】（答题时间：
40分钟）
1、有一条红色的正方形丝巾，它的边长是30厘米，丝巾上横竖各有两道宽均为5厘米的黑条，如图中的阴影部分，则丝巾黑色部分的面积是__________平方厘米。
2、四个一样的长方形和一个小正方形拼成一个大正方形，如图，已知大、小正方形的面积分别为81和25平方厘米，则长方形的长是___________厘米，宽是__________厘米。
3、如图，用同样大小的长方形纸片拼成一个大长方形，已知，每张小纸片的宽是8厘米，则阴影部分的面积的和是_________平方厘米。
4、一个斜边是40厘米的直角三角形，两条直角边之差是6厘米，则这个直角三角形的面积是__________平方厘米。
5、用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框，如图，边框的外周长为288厘米，里面的小正方形面积为1600平方厘米，则每块长方形砖的长是_________厘米，宽是___________厘米。
6、计划修一个正方形的花坛，并在花坛的周围铺上宽4米的甬道，甬道的面积是80平方米，那么修建花坛（包括甬道）需占地___________平方米。
7、如图，小长方形的长是宽的2倍，两个长方形对应边的距离是1厘米，夹在大、小两个长方形之间的面积是64平方厘米，则小长方形的面积是__________平方厘米。
8、26个长为6厘米的小纸片，摆成如图所示的图形，则阴影部分的面积和是________平方厘米。
【试题答案】
1、答案：
500
解析：
丝巾黑色部分的面积为
（平方厘米）。
2、答案：
7，2
解析：
由已知得，大正方形的边长为9厘米，小正方形的边长为5厘米，又因为长方形的长加宽等于大正方形边长，长减去宽等于小正方形边长，
所以长方形的长为（9＋5）÷2＝7（厘米），宽为（9－5）÷2＝2（厘米）。
3、答案：
48
解析：
由原图可知，5个小长方形的长等于3个小长方形的长加3个宽，所以2个小长方形的长等于3个长方形的宽，则小长方形的长为
（厘米），
每个小阴影部分的边长为12－8＝4（厘米），
所以阴影部分面积的和为4×4×3＝48（平方厘米）。
4、答案：
391
解析：
用四个这样的直角三角形拼成如图所示的大正方形。
大正方形的面积为
（平方厘米），
小正方形的面积为6×6＝36（平方厘米），
一个直角三角形的面积为（1600－36）÷4＝391（平方厘米）。
5、答案：
28，16
解析：
由原图可知长方形砖的2个长加上1个宽为288÷4＝72（厘米），由已知得，小正方形的边长为40厘米，即长方形砖的2个长减去1个宽为40厘米，所以长方形砖的长为
（厘米），宽为
（厘米）。
6、答案：
81
解析：
如图，小长方形的面积为80÷4＝20（平方米），小长方形的长为20÷4＝5（米），大正方形的边长为4＋5＝9（米），所以修建花坛需占地为9×9＝81（平方米）。
7、答案：
200
解析：
如图，长方形A的面积为（64－1×4）÷6＝10（平方厘米），长方形A的长为10÷1＝10（厘米），所以小长方形的面积为（10×2）×10＝200（平方厘米）。
8、答案：
8
解析：
由原图可知，3个小纸片的宽等于它的长，所以小纸片宽为6÷3＝2（厘米），每个小阴影部分的边长为小纸片的宽，所以阴影部分的面积和为2×2×2＝8（平方厘米）。
圖說一體、不證自明
台師大數學系洪萬生教授
本刊曾多次刊出「看圖說話」，贏得不少的注意與好評。
今年十月二十三日，我應邀到台北市西松高中演講（由西松高中教師會舉辦）時，順便介紹了幾張「看圖說話」，沒想到與會的台北市、縣數學教師，竟然立即發現了它們的「力」與「美」，真是令人高興。
最近黃哲男老師在北市建中教學實習，曾利用圖形來講解平方項的求和公式（參見圖一），學生的反應是：
『從小到大第一次感受到數學的美與神奇。
』
那些圖形大部分都從「美國數學協會」（TheMathematicalAssociationofAmerica，簡稱MAA）所出版的MathematicsMagazine所摘錄出來的。
MAA與AMS、NCTM並列為美國三大數學社團，它們關心數學教育的方式，則側重面大有不同。
譬如說吧，AMS即「美國數學學會」（AmericanMathematicalSociety）的簡稱，它的組成份子都是專業數學家，因此，學會出版品中的AmericanMathematicalMonthly與NoticesoftheAmericanMathematicalSociety，雖然不乏教育方面的論述，但是，前者偏向大學層次的解題活動，後者則提供論壇，讓數學家抒發他們對數學教育的熱情關懷與高韜理想。
另一方面，NCTM則處在另一個極端，它是「全國數學教師協會」（NationalCouncilofTeachersofMathematics）的簡稱，出版品中有針對中小學數學教師為訴求對象的TheMathematicsTeacher與TheArithmeticTeacher，內容主要涉及具體的教學策略與方法，可見NCTM是數學教育專家（mathematicseducator）與中小學數學教師的自主團體。
至於MAA則在體制上比較符合中庸之道。
譬如，它的組成份子就容納了專業數學家、大學與中、小學數學教師等各個層面，尤其難得的是，像GeorgePolya這樣的偉大數學家，就曾經是MAA的忠誠會員。
再者，MAA的刊物MathematicsMagazine雖然內容稍偏大學數學層次，但是，教育與人文關懷相當濃厚，所以，它比起AmericanMathematicalMonthly來，顯得「世俗」（secular）一些，然而，就觸及數學知識活動來說，它相較於TheMathematicsTeacher與TheArithmeticTeacher，則無疑「深刻」（deep）多了。
正因為如此，所以，MathematicsMagazine於1975年提出此一「看圖說話」專欄構想，原先只是用以「補白」（useasend-of-articlefillers），沒想到後來主編J.ArthurSeebach與LynnArthurSteen竟然進一步強調：
利用一個令人歡喜的圖示，來提出一個重要的數學觀點，這比起原先目的，恐怕再也不能更好的吧？
顯然由於此一專欄的大受歡迎，因此，MAA的另一份刊物TheCollegeMathematicsJournal在八十年代的稿約中，就不斷地聲明：
本刊除了歡迎側重解釋性的論文之外，「也邀請其他類型的撰稿，尤其是不用文字的證明（Proofswithoutwords）（Proofswithoutwords），數學詩篇，遺聞軼事引述，......」
不過，誠如ProofsWithoutWords:
ExercisesinVisualThinking（MAA出版，1993）的編者RogerB.Nelsen所指出，這種「看圖說話」卻早已不乏先例。
事實上，MartinGardner就曾在1973年十月號的【科學的美國人】（ScientificAmerican）討論這種「不用文字的證明」。
他將這種圖形視為「一瞥就懂」的圖形（"look-see"diagrams），這是因為在很多時候一個蠢笨的證明，若能輔以一個幾何的類比圖形（geometricanalogue），則後者的簡潔與美妙，讓讀者幾乎可以一瞥即對定理的真實性瞭然於胸（thetruthofatheoremisalmostseenataglance）。
此外，Nelsen還特別指出：
在數學史上，這種圖形也常常出現。
誠然，中國趙爽、劉徽（三世紀）與印度巴斯卡拉（十一世紀）對畢氏定理所提供的「弦圖證明」（圖二）
，就是十分著名的例子。
可見，它們也曾經在數學史上扮演相當有意義的角色。
針對此一例子，古典希臘的歐幾里得所提供的證法之附圖（圖三），
大概就少了一目瞭然的特性。
究其原因，圖形只被他們認為具有輔助思考的功能而已。
對歐幾里得影響深遠的柏拉圖，在他的【理想國】（TheRepublic）中甚至強調吾人在心靈（mind）思考數學客體（即形式（forms）或理念（ideas））時，千萬不可被圖形所迷惑或左右。
在這種情況下，圖形作為認識或核證數學知識的一種憑藉，希臘數學家對它的『正當性』一定相當保留，於是，他們對文字論述的方式，當然更加全力以赴了。
在數學史上，數學家言說或論述方式總是受限於符號的使用--當然，這也常常關聯到他（她）們對於某些關鍵概念的透明清晰度之掌握，因此，利用圖形的「自我解說」（self-explanation）能力，往往是他（她）們呈現數學知識的一個重要策略。
譬如說吧，十四世紀巴黎學派的Oresme就使用了下列圖四，發現/證明了下列級數和:
至於他所根據的理由則是：
『一個有限面積的平面區域，可以照我們所喜歡的程度去拉長或變高它的延展性，而不改變它的尺寸大小。
』可見，無窮級數如何求和對他來說，數學符號與術語大概都不足以『講明白，說清楚』，因此，想辦法去建構一個圖示，或許是最具說服力了。
所以，偶而在課堂上利用這種圖形，應該可以帶來意想不到的學習結果，至少我們可以利用這種難得的機會，拉近學生與古代數學文本的距離。
尤其，當代數符號演算對初學者極為抽象時，幾何圖示（geometricdemonstration/illustration）往往可以發揮相當大的澄清或說服功能，譬如【幾何原本】中的平方和公式之圖示（圖五），
以及阿爾花拉子摩（Al-Khwarizmi）利用配方法（completingthesquare）來圖示二次方程
（圖六），
都是非常值得參考借鏡的文本，值得我們珍視與利用。
附註：
阿爾花拉子摩的原題敘述成『平方加上10根等於39，問平方是多少？
』，至於解法則寫成：
『取根的係數10的一半，即5，自乘得25，加上39等於64，其平方根是8，在減去根的係數10之半，餘3。
這就是根，它的平方根是9。
』
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