《一元二次方程的解法》word优秀获奖教案.docx

1、一元二次方程的解法word优秀获奖教案按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法教学目标【知识与技能】1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程.2.学会用直接开

2、平方法解形如(ax+b)2-k=0(k0)的方程.3.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣.【教学重点】运用配方法解一元二次方程.【教学难点】把一元二次方程转化为形如（x+n）2=d(d0)的过程.教学过程一、情景导入，初步认知1.根据完全平方公式填空：（1）x26x9( )2（2）x28x16( )2（3）x210x( )2( )2（4）x23x( )2( )22.前

3、面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？3.你会解方程x26x160吗?你会将它变成(xm)2n（n为非负数）的形式吗？试试看如果是方程2x213x呢？【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础.二、思考探究，获取新知1.解方程：x2-2500=0.问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?把方程写成x2=2500这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得x=或x=-因此，原方程的解为x1=50,x2=-50【归纳结

4、论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根.2.解方程（2x+1）2=2解：根据平方根的有意义，得2x+1=或2x+1=-因此，原方程的根为x1=,x2=3.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？【归纳结论】对于形如（x+n）2=d(d0)的方程，可直接用开平方法解.直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d (d0)，然后直接开平方得x+n=和x+n=-，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解.4.解方程x2+4x=12我们已知，如果把方程x2+4x=12写成（x+n）2=d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.那么，如何将左边写成（

5、x+n）2的形式呢？我们学过完全平方式，你能否将左边x2+4x添上一项使它成为一个完全平方式.请相互交流.写出解题过程.【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.5.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？如果二次项系数为1，那就好办了！那么怎样将二次项的系数化为1呢？同伴之间可以相互交流.试着写出解题过程.6.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？【归

6、纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d(d0)的形式.三、运用新知，深化理解1.见教材P33例3、

7、P34例4.2.列方程（注：学生练习，教师巡视，适当辅导.）（1）x2-10x+24=0；（2）(2x-1)(x+3)=5；（3）3x2-6x+4=0.解：（1）移项，得x2-10x=-24配方，得x2-10x+25=-24+25，由此可得(x-5)2=1，x-5=1，x1=6，x2=4.（2）整理，得2x2+5x-8=0.移项，得2x2+5x=8二次项系数化为1得x2+5/2x=4，配方，得x2+5/2x+(5/4)2=4+(5/4)2(x+5/4)2=89/16，由此可得x+5/4=/4，x1= ，x2=.（3）移项，得3x2-6x=-4二次项系数化为1，得x2-2x=-4/3，配方，得x

8、2-2x+12=-4/3+12,(x-1)2=-1/3因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.3.解方程x2-8x+1=0分析：显然这个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式.解：x2-8x+1=0移项得：x2-8x=-1配方得：x2-8x+16=-1+16即(x-4)2=15两边开平方得：x-4=x1=4+，x2=4.4.用配方法将下列各式化为a(x+h)2+k的形式.(1)-3x2-6x+1；(2)2/3y2+1/3y+2；(3)0.4x2-0.8x-1.解：(1)-3x2-6x+1=-3(x2+2x-

9、1/3)=-3(x2+2x+12-12-1/3)=-3(x+1)2-4/3=-3(x+1)2+4(2)2/3y2+1/3y2=2/3(y2+1/2y3)=2/3y2+1/2y+(1/4)2(1/4)23=2/3(y+1/4)249/16=2/3(y+1/4)249/24.(3)0.4x2-0.8x-1=0.4(x2-2x-2.5)=0.4(x2-2x+12)-12-2.5=0.4(x-1)2-1.4【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的认识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材

10、“习题2.2”中第1、2、3题.教学反思在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动.同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习.教学反思学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。本节课的教学活动，主要是

11、让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。一元二次方程根的判别式教学目标【知识与技能】能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【过程与方法】经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.【情感态

12、度】积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲.【教学重点】能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【教学难点】从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系.教学过程一、情景导入，初步认知同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我.【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.二、思考探究，获取新知1.问题：什么是求根公式

13、？它有什么作用？2.观察求根公式 回答下列问题：（1）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有几个根？（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有几个根？（3）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即，.当=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根.当=b2-4ac0所以，原方程有两个不相等的实数根.（2）将原方程化为一般形式，得4x2-12x+9=0因为=b2-4ac=(-12)2-449=0所以，原方程有两个相等的实数根.（3）将原方程化为一般形式，得5y2-7y+5

14、=0因为=b2-4ac=(-7)2-455=-510所以，原方程没有实数根.【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣.三、运用新知，深化理解1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实根，则p与q的关系是【答案】 p2-4q=02.若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3，则p，q的值分别为.【答案】 -1，-63.判断下列方程是否有解：（1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0解析：演算或口算出b24ac，从而判断是否有根解：（1）有（2）没有4.不解方程，判定方程根的情况.（1）16x2+8x=-3（2）9x

15、2+6x+1=0（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可解：（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4163=-1280方程有两个不相等的实根（4）a=1，b=-7，c=-18b2-4ac=（-7）2-41（-18）=1210方程有两个不相等的实根5.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+30的解集（用含a的式子表示）分析：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二

16、次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）0就可求出a的取值范围解：关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+80a0即ax-3,x-3/a所求不等式的解集为x-3/a6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=-3时，求方程的根分析：（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式=b24ac的值的符号即可判断：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根.（2）把m的值代

17、入方程，用因式分解法求解即可.解：（1）当m=3时，=b2-4ac=22-43=-80，原方程无实数根.（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，（x-1）（x+3）=0，x-1=0，x+3=0.x1=1，x2=-3.7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2(1)求q关于p的关系式；(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点分析：（1）根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式；（2）由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点解：（1）一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，4+2p+q+1=0，即q=-2p-5；（2）证明：令x2+px+q=0则=p2-4q=p2-4（-2p-5）=（p+4）2+40，即0，所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3题.