《一元二次方程的解法》word优秀获奖教案.docx

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《一元二次方程的解法》word优秀获奖教案

按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。

2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。

从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

2.2一元二次方程的解法

2.2.1配方法

教学目标

【知识与技能】

1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程.

2.学会用直接开平方法解形如（ax+b）2-k=0（k≥0）的方程.

3.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法.

【过程与方法】

通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.

【情感态度】

学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣.

【教学重点】

运用配方法解一元二次方程.

【教学难点】

把一元二次方程转化为形如（x+n）2=d（d≥0）的过程.

教学过程

一、情景导入，初步认知

1.根据完全平方公式填空：

（1）x2＋6x＋9＝（）2

（2）x2－8x＋16＝（）2

（3）x2＋10x＋（）2＝（）2

（4）x2－3x＋（）2＝（）2

2.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？

（消元、化二元一次方程组为一元一次方程）.由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？

3.你会解方程x2＋6x－16＝0吗?

你会将它变成（x＋m）2＝n（n为非负数）的形式吗？

试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？

【教学说明】学会利用完全平方知识填空，初步配方为后面学习打下基础.

二、思考探究，获取新知

1.解方程：

x2-2500=0.

问：

怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?

把方程写成x2=2500

这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得

x=

或x=-

因此，原方程的解为x1=50,x2=-50

【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根.

2.解方程（2x+1）2=2

解：

根据平方根的有意义，得

2x+1=

或2x+1=-

因此，原方程的根为

x1=

x2=

3.通过上面的两个例题，你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢？

【归纳结论】对于形如（x+n）2=d（d≥0）的方程，可直接用开平方法解.

直接开平方法的步骤是：

把方程变形成（x+n）2=d（d≥0），然后直接开平方得x+n=

和x+n=-

，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解.

4.解方程x2+4x=12

我们已知，如果把方程x2+4x=12写成（x+n）2=d的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解.

那么，如何将左边写成（x+n）2的形式呢？

我们学过完全平方式，你能否将左边x2+4x添上一项使它成为一个完全平方式.请相互交流.

写出解题过程.

【归纳结论】一般地，像上面这样，在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.

5.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢？

如果二次项系数为1，那就好办了！

那么怎样将二次项的系数化为1呢？

同伴之间可以相互交流.

试着写出解题过程.

6.通过上面配方法解一元二次方程的过程，你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗？

【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；

（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

（3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；

（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

【教学说明】通过这一过程，学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式，一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式，所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为（x+n）2=d（d≥0）的形式.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P33例3、P34例4.

2.列方程（注：

学生练习，教师巡视，适当辅导.）

（1）x2-10x+24=0；

（2）（2x-1）（x+3）=5；

（3）3x2-6x+4=0.

解：

（1）移项，得x2-10x=-24

配方，得x2-10x+25=-24+25，

由此可得（x-5）2=1，

x-5=±1，

∴x1=6，x2=4.

（2）整理，得2x2+5x-8=0.

移项，得2x2+5x=8

二次项系数化为1得x2+5/2x=4，

配方，得x2+5/2x+（5/4）2=4+（5/4）2

（x+5/4）2=89/16，

由此可得x+5/4=±

/4，

x1=

，x2=

.

（3）移项，得3x2-6x=-4

二次项系数化为1，得x2-2x=-4/3，

配方，得x2-2x+12=-4/3+12,

（x-1）2=-1/3

因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，（x-1）2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.

3.解方程x2-8x+1=0

分析：

显然这个方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式.

解：

x2-8x+1=0

移项得：

x2-8x=-1

配方得：

x2-8x+16=-1+16

即（x-4）2=15

两边开平方得：

x-4=±

∴x1=4+

，

x2=4－

.

4.用配方法将下列各式化为a（x+h）2+k的形式.

（1）-3x2-6x+1；

（2）2/3y2+1/3y+2；

（3）0.4x2-0.8x-1.

解：

（1）-3x2-6x+1

=-3（x2+2x-1/3）

=-3（x2+2x+12-12-1/3）

=-3［（x+1）2-4/3］

=-3（x+1）2+4

（2）2/3y2+1/3y－2

=2/3（y2+1/2y－3）

=2/3［y2+1/2y+（1/4）2－（1/4）2－3］

=2/3［（y+1/4）2－49/16］

=2/3（y+1/4）2－49/24.

（3）0.4x2-0.8x-1

=0.4（x2-2x-2.5）

=0.4［（x2-2x+12）-12-2.5］

=0.4（x-1）2-1.4

【教学说明】通过练习，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的认识.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

课后作业

布置作业：

教材“习题2.2”中第1、2、3题.

教学反思

在教学过程中，坚持由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比，合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究发现结论，教师做学生学习的引导者，合作者，促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动.同时，我认识到教师不仅仅要教给学生知识，更要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习.

[教学反思]

学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。

本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折

叠后的形状。

教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒

，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。

由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。

学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。

通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生

都获得了成功的体验，建立自信心。

一元二次方程根的判别式

教学目标

【知识与技能】

能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.

【过程与方法】

经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

【情感态度】

积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲.

【教学重点】

能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.

【教学难点】

从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系.

教学过程

一、情景导入，初步认知

同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？

那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：

我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！

同学们可以随便地出两个题考考我.

【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.

二、思考探究，获取新知

1.问题：

什么是求根公式？

它有什么作用？

2.观察求根公式

回答下列问题：

（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？

（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？

（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？

3.综上所知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况是由b2-4ac来判断的.

【归纳结论】我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：

Δ=b2-4ac

⑴当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即

，

.

⑵当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根.

⑶当Δ=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.

4.不解方程判定下列方程的根的情况.

（1）3x2+4x-3=0

（2）4x2=12x-9

（3）7y=5（y2+1）

解：

（1）因为Δ=b2-4ac=42-4×3×（-3）

=52>0

所以，原方程有两个不相等的实数根.

（2）将原方程化为一般形式，得

4x2-12x+9=0

因为Δ=b2-4ac=（-12）2-4×4×9

=0

所以，原方程有两个相等的实数根.

（3）将原方程化为一般形式，得

5y2-7y+5=0

因为Δ=b2-4ac=（-7）2-4×5×5

=-51<0

所以，原方程没有实数根.

【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣.

三、运用新知，深化理解

1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实根，则p与q的关系是．

【答案】p2-4q=0

2.若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3，则p，q的值分别为.

【答案】-1，-6

3.判断下列方程是否有解：

（1）5x2-2=6x

（2）3x2+2x+1=0

解析：

演算或口算出b2－4ac，从而判断是否有根

解：

（1）有

（2）没有

4.不解方程，判定方程根的情况.

（1）16x2+8x=-3

（2）9x2+6x+1=0

（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0

分析：

不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．

解：

（1）化为16x2+8x+3=0

这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0

所以，方程没有实数根．

（2）a=9，b=6，c=1，

b2-4ac=36-36=0，

∴方程有两个相等的实数根．

（3）a=2，b=-9，c=8

b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0

∴方程有两个不相等的实根．

（4）a=1，b=-7，c=-18

b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0

∴方程有两个不相等的实根．

5.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

分析：

要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．

解：

∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．

∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

∴a<-2

∵ax+3>0即ax>-3,∴x<-3/a

∴所求不等式的解集为x<-3/a

6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．

（1）当m=3时，判断方程的根的情况；

（2）当m=-3时，求方程的根．

分析：

（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式Δ=b2－4ac的值的符号即可判断：

当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根.

（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可.

解：

（1）∵当m=3时，Δ=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，

∴原方程无实数根.

（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，

∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0.

∴x1=1，x2=-3.

7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．

（1）求q关于p的关系式；

（2）求证：

抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．

分析：

（1）根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式；

（2）由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．

解：

（1）∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，

∴4+2p+q+1=0，

即q=-2p-5；

（2）证明：

令x2+px+q=0．则Δ=p2-4q=p2-4（-2p-5）=（p+4）2+4＞0，即Δ＞0，

所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．

【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

课后作业

布置作业:

教材“习题2.3”中第1、2、3题.