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1、专业计算教材第一章 比例11比例及其应用1.1.1比的意义及基本性质1、比：表示两个同种类、同单位的量之间倍数关系的一种方式。例如：某工人用机械加工零件，每小时生产30个，用手工操作每小时生产6个，两者相比，前者是后者生产效率的几倍？（两数相比较）30：65 我们说前者是后者的5倍。两个数a与b之间的倍数关系可以写作a：b，读作a比b，“比”用符号“：”表示。比式a：b也可写成分数a/ b的形式，这里的被除数a叫做比的前项，除数b叫做比的后项，其商值叫做比值。a：b=a/ b，a为前项，b为后项。因此，两数之比等于比的前项除以后项。相除所得的商叫比值。在生产图的标题栏内，1：1 ，1：2，2：

2、1，1：2.5等表示图形尺寸与实物尺寸的关系，前项为图形尺寸，后项为实物尺寸，其比值分别为1、0.5、2和0.4。根据“比”和除法、分数的关系，可知道“比”有如下基本性质。2、比的基本性质：比的前项和后项用同一个不为零的数乘或除时，其比值不变。利用比的基本性质，可以将其化简或扩大。例如：求下列比式的最小的整数比。化简：12：4=（12/4）：（4：4）=3：1扩大：（2/3）：0.5=(2/3 6)：（0.5 6)=4：31.1.2 比例的意义及基本性质1、比例：表示两个比值相等的式子叫做比例。若a：b=k, c：d=k，则a：b= c：d，比例也可写成分式形式，/。这四个量a、b、c 、d都

3、叫做这一比例的项，其中a、d为比例外项，b、c为比例内项。2、比例性质：任何比例中两个外项相乘的积等于两个内项相乘的积。即：则有。利用比例的基本性质，可通过已知比例中的任意三项，则可求出第四个未知数。例如： 已知2：5=4：X根据比例的基本性质可得 2X=54 X=5.54/2=111.1.3成比例的量两个不同的量值，可以相互依赖，若这两个量的数值的比值保持不变，这两个不同的量叫成比例的量。它们的比值叫比例系数。1、成正比例的量例3L煤油重2.4：2.4/30.84L煤油重3.2：3.2/40.86L煤油重4.8：4.8/60.8由此可见煤油的质量与体积是成比例的量，而且当质量增加时，体积也增

4、加，但它们的比值不变。两个相互关联的量，当一个量增加时，另一个量以同样的比增加，则这两个量叫成正比例的量。2、成反比例的量两个相互关联的量，当一个量增加时，另一个量以同样的比减少，则这两个量叫成反比例的量。生产产品数量工作时间例工作效率= 当生产产品数量一定时（比值一定）时，工作效率与工作时间是成反比例的量。1.1.4正比例、反比例的计算1、三段法：1段：命题正比例：用除法2段：推算 反比例：用乘法3段：结算例1排水泵在60中排水498L，那么在150可排水多少升？解：1、命题：60排水498L2、推算：每1排水498L/603、结算：150排水量为150（49860）1245L正比例计算中，

5、推算用除法。例2某厂有三个工人用170安装一台机器，问12人完成同样的工作需要多少小时？解：1、命题：3个工人用1702、推算：1个工人用31703、结算：12个工人所用的时间31701242.5反比例计算中，推算段用乘法。2、列比例式例3 某班工人3H可加工210个工件，问5H可加工多少个相同的工件？分析：在该班工人每小时的工作效率相同的情况下，当工作时间增加（或减少）几倍时，所完成的工件数也会相应增加（或减少）相同的倍数，所以工作时间与工件数量是成正比例的。工作效率的计算公式为：工作效率=生产数量/工作时间解：设5H可加工X个工件，依题意可列出以下比例式：210/3=X/53X=2105X

6、=2105/3=350答：5H可加工相同工件350个。例4 用铁丝根据图纸要求作一个三角形，已知图示比例为1：1.5，图上三角形周长为74mm，求实际所需铁丝长度。解：设实际所需铁丝长度为S 74/S=1/1.5 ，S=741.5=111 mm答：实际所需铁丝长度为111 mm习题：1、 求下列式中的X的值（1）X：3=4：7 （2）（X-3）：12=30：21 （3） （X-4）：（X-3）=（X+5）：（X-6）2、已知工件实际尺寸为450，图纸中的比例是1：5，求工件在图纸上的尺寸。3、某工程需焊的焊缝长度为78m，在焊了24.75m时，已用去乙炔气4950升，完成此项工程还需多少乙炔气

7、体？4、40个工人完成某工程需48天，现在想在18天内完成此工程，需增加多少工人？第二章 勾股定理2.1勾股定理及应用在三角学里有一个很重要的定理，描述的是直角三角形三条边的关系？我国称之为勾股定理，也叫商高定理，是公元前1100年，有一个叫商高的人，研究直角三角形得到“勾三股四弦五”的说法，即5232+42 弦2勾2+股2公元前540年，希腊数学家毕达哥拉斯也发现了这个规律，西方人称之为毕达哥拉斯定理。2.1.1 勾股定理c2a2+b2揭示直角三角形三条边的关系a2c2b2或 b2c2a2或2.1.2勾股定理的运用例1在直角三角形中，勾a5cm，弦c13cm求股b 解：12cm在直角三角形中

8、，已知1）、a9，c41则b402）、a6 ，b8则c103）、c25，b15则a20 4）、an21，b2n则cn2+1例2 一个尺寸L1=1500 mm，L2=2000 mm的盖板，需沿其对角线用型材加固，问每根型材需多长？ 解： =1500 2 + 20002 =2500 mm由于边长不可能为负数，因此在利用勾股定理计算边长时，只取算术平方根。习题：1、如图(2-1)所示圆锥体，锥底直径为120mm，母线长L=170mm。试求锥高h？2、如图(2-2)所示，在边长为60mm的正方形上钻孔，求两小孔之间的距离X3、如图(2-3)所示方头螺杆，螺杆直径d=60mm，求扳手口宽度S。4、 如图

9、(2-4)所示六角头，需板手宽度S为32mm，试求六角头所在圆的直径d。5、 如图(2-5)所示长方体，宽215mm，长为420mm，高为180mm，试求底面对角线L1和空间对角线L2。 图2-1圆锥体 图2-2正方形板钻孔 图2-3方头螺杆 图2-4六角头 图2-5长方体6、 如图(2-6)所示用端面铣刀铣削长方形表面。试求铣刀越程Ls及铣刀行程L。7、如图（2-7）所示球形孔，求控制尺寸x。8、如图（2-8）所示梯形板，求板长L。9、如图（2-9）所示加工开口槽，求控制尺寸x。 图2-6 铣平面 图2-7 球形孔图2-8 梯形板 图2-9开口槽第三章长度计算3.1圆周长、椭圆周长、弧长的计

10、算在现代工业制造中经常会遇到圆形或带圆弧的零件，（如：沉头螺栓、油桶、支架等），在加工的过程中，我们需要知道这些零件的周长、弧长、弦长，那么这些周长、弧长、弦长是如何计算的？3.1.1周长、椭圆周长、弧长1、圆周长：圆的直径为则圆周长=直径圆周率 即L或L2（半径为）一般情况下取3.14。如果要求更精确的计算，小数点后面的数可多取几位。用计算器计算的数值为3.1415926。例1用钢板气割一个图示罐盖，如图所示，求气割长度L。 解：LU大+U小1500+2505497.8答：气割长度L为5497.8 图3-1罐盖2、椭圆周长:长轴D、短轴椭圆周长 图3-2椭圆例2气割图示板形零件，求气割长度L

11、。 解； LU椭圆+2U圆+2 图3-3气割零件+21603742.8答：气割长度为3742.8例3 一椭圆形桌旁可坐6人，平均每人可占桌边长度为700，：D=3：4求此桌面之短轴与长轴D 解： 椭圆周长=7006 D+=8400/ 又：D=3：4 D+3/4 D=8400/ 7/4D=8400/ D=1528 =3/4D=1146 答：桌面的长轴为1528，短轴为1146。3、弧长圆心角度，直径为的圆弧长度LB 圆周长所对应的圆心角360每1圆心角所对应弧长 图3-4圆弧任意圆心角所对应弧长例3气割图示板料，直径380求气割长度L。解：180（6224+90）207.6L/2+/2+LB+3

12、80+ 380+688.08 图3-5气割板料1068.08答：气割长度为1068.0832钢板展开长度的计算在机械加工中，有很多零件需要进行弯曲，在弯曲前要根据图纸备料，那么备料时毛坯的长度如何计算？弯形展开长为其直线长和曲线部分展开长之和。3.2.1弯曲件毛坯长度的确定（1）中性层的概念材料在弯曲时，外层纤维受拉伸长，内层纤维受压缩短，由于内外层纤维是连续的，因此，在它们中间必然存在一层既不伸长也不缩短的纤维层，我们把这个纤维层称为中性层。在计算弯曲件毛坯长度时，按中性层的长度计算。（2）中性层的位置 中性层的位置取决于材料的变形程度，而变形程度则由r/t（弯曲半径/料厚）的大小来确定。r

13、/t较大时，变形程度小，中性层与弯曲坯料的几何中心重合，即Rzx=r+0.5t; r/t较小时，中性层不在材料厚度的几何中心，而是偏向弯曲部分内表面一侧。通常，在确定中性层半径时，可以用下列简化公式算出；Rzx=r+xtRzx：中性层半径 r：弯曲半径 t：料厚 x：中性层位移系数（见表）r/t01.0.20.30.40.5x0.210.220.230.240.25r/t0.60.70.811.2x0.260.280.30.320.33r/t1.31.522.53x0.340.360.380.390.4r/t45678x0.420.440.460.480.5这样计算也比较麻烦,一般情况下，当r

14、/t8时，取Rzxr0.5t（即x=0.5）;当r/t8时，取Rzxrt/3（即x=1/3）。2、毛坯长度的确定弯曲件不光只有弯曲部分，而且还有直线段，在计算这样的弯曲件展开长度时，弯曲件展开长度等于弯曲件长度与直线段长度之和。直线段长度在弯曲时没有发生变化，因此它的长度不变。（1）毛坯展开长度等于弯曲件直线部分的长度和圆弧部分中心层长度之和。即：Llzly式中L-弯曲件毛坯长度之和 (mm) lz- 弯曲件各直线段长度之和(mm)ly-弯曲件各圆弧部分中性层长度之和(mm)其中弯曲部分展开长度计算公式：ly：中性层弧长（mm）r：弯曲半径（mm）t：材料厚度（mm）：圆心角（） 图3-6弯曲

15、件 图3-7无圆角半径工件的弯曲例1 计算图示3-6弯曲件的展开长度 解：Llzly 其中lzAB+CD ly=BDABAEBE=60(Rt)ctan60/234.02mmCDCEDE=76(Rt)ctan60/250.02mmBD=（rxt）/180 因为 r/t10/52 8所以取 x1/3BD=（rxt）/180 3.14（105/3）（18060）/180 24.44mmLlzly AB+CDBD 34.02+50.02+24.44 108.48mm（2）圆角半径很小即r/t0.3的工件，（如图3-7）无圆角半径或圆角半径很小的弯曲件，其毛坯展开长度计算是计算毛坯长度的公式：LlzKn

16、t L：弯曲件毛坯长度（mm）lz：弯曲件各直线段长度之和（mm）n：弯角数目t：材料厚度（mm）K：系数，单角时K0.480.5；双角时K0.450.8；多角时K0.25；材料塑性很大时，K0.125。 图示3-8例2 计算图示（3-8）工件的展开长度，材料为10钢，厚度为2.5 mm。解：根据LlzKnt计算 因为是多角，所以取K0.25 Ll1l2l3l4l5l6l70.2560.25 =1525630810180.2562.5=115.75mm习题：1、一个椭圆板的短轴20mm，面积为6282 试计算另一长轴尺寸。2、已知一密封圈外径66 mm，内径58 mm，求密封圈的面积。3、已知

17、一个圆的面积A=379.94cm2, 计算圆的直径。4、求如图所示（3-9）的外轮廓气割长度和内孔气割长度。5、如图所示（3-10）工件，厚度为1.5mm,计算展开长度. （210页3、4、5）6、计算如图所示（3-11）工件的展开长度7、计算如图所示（3-12）的工件展开长度图示3-9 图示3-10 图示3-11图示3-12第四章 面积计算4.1几何形体面积计算一个平面图形的面积，是指这个图形所含有的面积单位的倍数。取边长为1个单位长度的正方形，我们规定这个正方形是1个面积单位，通常称1平方。例如：以1米为单位长度，那么，取边长为1米的正方形的面积，就是1平方米（），以1公里为单位长度，那么

18、，取边长为1公里的正方形的面积就是1平方公里（k）。4.1.1面积的单位换算 1102dm210421062 1210-2210-4 d10-6 1k=106例1、要从一块7.5的钢板上割下5.35、 0.936 d、 165.022 、43.8252 ，求剩余部分的面积为多少平方分米？已知：A1=750d A2=535d A3=0.936 d A4=1.6502d A5=0.0043825d求：A=？解：A=A1-A2-A3-A4-A5 =750d-535d-0.936 d-1.6502d-0.0043825d =212.41d4.1.2直线包围的图形的面积1、规则四边形面积（图4-1）若四

19、边形的各条边都相互平行，则称该四边形为规则四边形，如矩形（长方形、正方形）和平行四边形都是规则四边形。图4-1 规则四边形规则四边形的面积公式：面积=底边高 即 A=lh例2、将一个高2100，宽950的门用一块铁板加固，问需要多少平方米铁板？ 已知：h=2100=2.1m l=950=0.95 m 求:A=?解: A=lh=0.95 m2.1m=1.9952、三角形面积（图4-2）若把三角形某一边叫做底边l，那么，其高是指另一顶点与底边的垂直距离h。每一个规则四边形都可以平均分解成两个完全相等的三角形，故三角形面积是规则四边形的一半。 图4-2 三角形三角形的面积公式： 例3、一个横截面积为

20、三角形的通道，底边长l=48，横截面积A=7682， 求通道的高h？ 解： h=2A/l=2768/48=323、梯形面积（图4-3）每一个梯形都可以分解成两个三角形，因而，每个梯形的面积都可以按两个三角形面积计算。 图4-3梯形 梯形面积公式： 例4、一个梯形盖板面积为10d，下底长700，高20cm，计算上底长度为多少解： L1=2A/h-l2=21000002 /200-700=3004.1.3圆弧包围的图形面积圆弧包围的图形包括：圆形、扇形、弓形、圆环形、截圆环图形。1、 圆形面积公式:r:圆的半径 d:圆的直径 例1、 已知一个圆的面积A=379.942 ,计算圆的直径为多少毫米?

21、解: d=4379.94/3.14=22cm=220mm2、 扇形面积公式：（图4-4）扇形面积可以看作是圆面积的一部分。 图4-4扇形 r:圆的半径 d:圆的直径 a:扇形弧所对的圆心角例2、计算图中（4-5）扇形面积2 图4-5 扇形面积已知：r=60 mm=6 a=180-45=135求：A=？2 解： =3.1462(135/360)=42.3923、弓形面积公式 ：（图4-6）弓形面积可以看作是扇形面积与三角形面积之差。 图4-6 弓形面积A=扇形面积三角形面积 S:弦长 h:弦高例3、 如图所示（4-7）铣削一根60 mm的轴，铣削高度为10 mm，扇形角为96 24。问该轴的截面

22、积将减少多少平方毫米？ 解：(1)计算弦长s 由三角形部分知：（s/2）2 +（r-h）2 =r2 s/2= = 图4-7铣削轴 =22.36mm S=222.36=44.72mm (2)计算面积s： 由题意知： =3.14602mm296.4/4360-44.72 mm(30-10) /2 =309.54mm24、圆环形面积公式：（图4-8） 圆环面积，可以看作大圆面积与小圆面积之差。 图4-8圆环 例4、 已知一密封圈外径66mm，内径为58mm，求密封圈的面积。 解： =3.14/4 (662 -582 ) mm2 =778.72 mm2 5、椭圆面积公式： 若椭圆长轴与短轴长度一样，此

23、时，椭圆就为圆，所以圆可以看成是椭圆的特殊情况。 D：长轴 d:短轴例5、一个椭圆板的短轴20mm ，面积为628mm2， 试计算另一长轴尺寸。解： D=（4628mm2 ） /(3.1420mm)=40mm4.1.4复合面积计算许多工件的图形，往往是由几个不同形状的简单图形组成，对这类工件图形面积计算，可采用先分解后叠加的方法进行。例1 凸模固定板如图（4-9）示，试求阴影部分面积A1。 图4-9 凸模固定板解：A1A2A小8050220（5030）236002 42板材成品面积和材料利用率的计算前面的面积计算都是求工件几个后的面积（成形面积），工件加工过程中有边角余料出现，因此，加工工件的

24、材料用量实际上要比工件面积大，那么材料用量与工件面积有何关系？4.2.1材料用量和边角余料 钣金工在下料过程中，可根据工件所需面积（A），计算 出板材用量（A），从而计算边角料（A）。边角料板材用量工件所需面积 即：AAA 如图4-10从一长方形板材切割出一个椭圆 图4-10长方形板材切割椭圆孔根据边角料A可计算出边角料占板材用量的百分数即边角料量A。 例1如上图（4-10）所示，在一长方形板材上切割出一个椭圆，求板材用量A、工件面积A、边角料A、边角料量A。解；A8005004000002A3.147504504264937.52AAA400000264937.5135062.52答：略例2

25、、从一正方形板料切割一十字形工件，如图示（4-11），求板材用量A、工件面积A、边角料A、边角料量A。（A1600002A1125002、A475002A29.69） 图4-11十字形工件4.2.2材料利用率在板料上冲裁或剪切工件时，应尽量提高材料的利用率。 例2 铰链板如图示（4-12），若需12块铰链板，剪裁中损耗12.5，求所需钢板用量。图4-12铰链板解：一块铰链板面积A2A1+ +A2+A3=222(46-22)2+(46+18)(110-28)2+46(28-22)=528+2624+276=3428212块铰链板面积：12A123248411362材料用量AA工件面积材料利用率41136（112.5）4701220.5答：略习题：1、 角板如图（4-13）所示，求其面积。2、 试求如图（4-14）所示的方钢的横截面面积。3、 试求如图（4-15）所示的十字支柱横截面积。 图4-13角板 图4-14方钢 图4-15十字支柱 4、 燕尾导轨横截面积如图4-16所示，试求其面积。 图4-16燕尾导轨 5、密封环如图4-18所示，试求其面积。 图4-179、如图4-18所示，分别求出板材用量Ab,工件面积A，边角料AV及边角料量AV%。10、如图4-19已知20、30、20+121、30+232，求材料利用率。 图4-18 图4-19