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专业计算教材
第一章比例
1．1比例及其应用
1.1.1比的意义及基本性质
1、比：
表示两个同种类、同单位的量之间倍数关系的一种方式。
例如：
某工人用机械加工零件，每小时生产30个，用手工操作每小时生产6个，两者相比，前者是后者生产效率的几倍？
（两数相比较）
30：
6＝5我们说前者是后者的5倍。
两个数a与b之间的倍数关系可以写作a：
b，读作a比b，“比”用符号“：
”表示。
比式a：
b也可写成分数a/b的形式，这里的被除数a叫做比的前项，除数b叫做比的后项，其商值叫做比值。
a：
b=a/b，a为前项，b为后项。
因此，两数之比等于比的前项除以后项。
相除所得的商叫比值。
在生产图的标题栏内，1：
1，1：
2，2：
1，1：
2.5等表示图形尺寸与实物尺寸的关系，前项为图形尺寸，后项为实物尺寸，其比值分别为1、0.5、2和0.4。
根据“比”和除法、分数的关系，可知道“比”有如下基本性质。
2、比的基本性质：
比的前项和后项用同一个不为零的数乘或除时，其比值不变。
利用比的基本性质，可以将其化简或扩大。
例如：
求下列比式的最小的整数比。
化简：
12：
4=（12/4）：
（4：
4）=3：
1
扩大：
（2/3）：
0.5=（2/3×6）：
（0.5×6）=4：
3
1.1.2比例的意义及基本性质
1、比例：
表示两个比值相等的式子叫做比例。
若a：
b=k,c：
d=k，则a：
b=c：
d，比例也可写成分式形式，ａ/ｂ＝ｃ/ｄ。
这四个量a、b、c、d都叫做这一比例的项，其中a、d为比例外项，b、c为比例内项。
2、比例性质：
任何比例中两个外项相乘的积等于两个内项相乘的积。
即：
ａ：
ｂ＝ｃ：
ｄ则有ａ×ｄ＝ｂ×ｃ。
利用比例的基本性质，可通过已知比例中的任意三项，则可求出第四个未知数。
例如：
已知2：
5=4：
X
根据比例的基本性质可得2·X=5·4∴X=5.5×4/2=11
1.1.3成比例的量
两个不同的量值，可以相互依赖，若这两个量的数值的比值保持不变，这两个不同的量叫成比例的量。
它们的比值叫比例系数。
1、成正比例的量
例3L煤油重2.4㎏：
2.4/3＝0.8
4L煤油重3.2㎏：
3.2/4＝0.8
6L煤油重4.8㎏：
4.8/6＝0.8
由此可见煤油的质量与体积是成比例的量，而且当质量增加时，体积也增加，但它们的比值不变。
――两个相互关联的量，当一个量增加时，另一个量以同样的比增加，则这两个量叫成正比例的量。
2、成反比例的量
――两个相互关联的量，当一个量增加时，另一个量以同样的比减少，则这两个量叫成反比例的量。
生产产品数量
工作时间
例
工作效率
= ＝
当生产产品数量一定时（比值一定）时，工作效率与工作时间是成反比例的量。
1.1.4正比例、反比例的计算
1、三段法：
1段：
命题
正比例：
用除法
2段：
推算反比例：
用乘法
3段：
结算
例1 排水泵在60ｈ中排水498L，那么在150ｈ可排水多少升？
解：
1、命题：
60ｈ排水498L
2、推算：
每1ｈ排水 498L/60ｈ
3、结算：
150ｈ排水量为
150×（498÷60）＝1245L
正比例计算中，推算用除法。
例2 某厂有三个工人用170ｈ安装一台机器，问12人完成同样的工作需要多少小时？
解：
1、命题：
3个工人用170ｈ
2、推算：
1个工人用3×170ｈ
3、结算：
12个工人所用的时间
3×170÷12＝42.5ｈ
反比例计算中，推算段用乘法。
2、列比例式
例3某班工人3H可加工210个工件，问5H可加工多少个相同的工件？
分析：
在该班工人每小时的工作效率相同的情况下，当工作时间增加（或减少）几倍时，所完成的工件数也会相应增加（或减少）相同的倍数，所以工作时间与工件数量是成正比例的。
工作效率的计算公式为：
工作效率=生产数量/工作时间
解：
设5H可加工X个工件，依题意可列出以下比例式：
210/3=X/5
3X=210×5
X=210×5/3=350
答：
5H可加工相同工件350个。
例4用铁丝根据图纸要求作一个三角形，已知图示比例为1：
1.5，图上三角形周长为74mm，求实际所需铁丝长度。
解：
设实际所需铁丝长度为S
74/S=1/1.5，S=74×1.5=111mm
答：
实际所需铁丝长度为111mm
习题：
1、求下列式中的X的值
（1）X：
3=4：
7
（2）（X-3）：
12=30：
21（3）（X-4）：
（X-3）=（X+5）：
（X-6）
2、已知工件实际尺寸为450，图纸中的比例是1：
5，求工件在图纸上的尺寸。
3、某工程需焊的焊缝长度为78m，在焊了24.75m时，已用去乙炔气4950升，完成此项工程还需多少乙炔气体？
4、40个工人完成某工程需48天，现在想在18天内完成此工程，需增加多少工人？
第二章勾股定理
2.1勾股定理及应用
在三角学里有一个很重要的定理，描述的是直角三角形三条边的关系？
我国称之为勾股定理，也叫商高定理，是公元前1100年，有一个叫商高的人，研究直角三角形得到“勾三股四弦五”的说法，即52＝32+42弦2＝勾2+股2公元前540年，希腊数学家毕达哥拉斯也发现了这个规律，西方人称之为毕达哥拉斯定理。
2.1.1勾股定理
c2＝a2+b2
揭示直角三角形三条边的关系
a2＝c2－b2或
b2＝c2－a2或
2.1.2勾股定理的运用
例1 在直角三角形中，勾a＝5cm，弦c＝13cm求股b
解：
＝
＝12cm
在直角三角形中，已知
1）、a＝9，c＝41则b＝40
2）、a＝6，b＝8则c＝10
3）、c＝25，b＝15则a＝20
4）、a＝n2－1，b＝2n则c＝n2+1
例2一个尺寸L1=1500mm，L2=2000mm的盖板，需沿其对角线用型材加固，问每根型材需多长？
解：
=15002+20002
=2500mm
由于边长不可能为负数，因此在利用勾股定理计算边长时，只取算术平方根。
习题：
1、如图（2-1）所示圆锥体，锥底直径为￠120mm，母线长L=170mm。
试求锥高h？
2、如图（2-2）所示，在边长为60mm的正方形上钻孔，求两小孔之间的距离X
3、如图（2-3）所示方头螺杆，螺杆直径d=60mm，求扳手口宽度S。
4、如图（2-4）所示六角头，需板手宽度S为32mm，试求六角头所在圆的直径d。
5、如图（2-5）所示长方体，宽215mm，长为420mm，高为180mm，试求底面对角线L1和空间对角线L2。
图2-1圆锥体图2-2正方形板钻孔图2-3方头螺杆
图2-4六角头图2-5长方体
6、如图（2-6）所示用端面铣刀铣削长方形表面。
试求铣刀越程Ls及铣刀行程L。
7、如图（2-7）所示球形孔，求控制尺寸x。
8、如图（2-8）所示梯形板，求板长L。
9、如图（2-9）所示加工开口槽，求控制尺寸x。
图2-6铣平面图2-7球形孔
图2-8梯形板图2-9开口槽
第三章长度计算
3.1圆周长、椭圆周长、弧长的计算
在现代工业制造中经常会遇到圆形或带圆弧的零件，（如：
沉头螺栓、油桶、支架等），在加工的过程中，我们需要知道这些零件的周长、弧长、弦长，那么这些周长、弧长、弦长是如何计算的？
3.1.1周长、椭圆周长、弧长
1、圆周长：
圆的直径为ｄ则圆周长=直径×圆周率即L＝πｄ或L＝2πｒ（半径为ｒ）
一般情况下π取3.14。
如果要求更精确的计算，小数点后面的数可多取几位。
用计算器计算π的数值为3.1415926。
例1 用钢板气割一个图示罐盖，如图所示，求气割长度L。
解：
L＝U大+U小
＝π×1500+π×250
＝5497.8㎜
答：
气割长度L为5497.8㎜
图3-1罐盖
2、椭圆周长:
长轴D、短轴ｄ
椭圆周长
图3-2椭圆
例2 气割图示板形零件，求气割长度L。
解；
L＝U椭圆+2U圆＝
+2πｄ
图3-3气割零件
＝
+2π×160
＝3742.8㎜
答：
气割长度为3742.8㎜
例3一椭圆形桌旁可坐6人，平均每人可占桌边长度为700㎜，ｄ：
D=3：
4求此桌面之短轴ｄ与长轴D
解：
椭圆周长
=700×6
D+ｄ=8400/π又ｄ：
D=3：
4
D+3/4D=8400/π
7/4D=8400/π
D=1528
ｄ=3/4D=1146
答：
桌面的长轴为1528㎜，短轴为1146㎜。
3、弧长
圆心角α度，直径为ｄ的圆弧长度LB
圆周长πｄ所对应的圆心角
α＝360° 每1°圆心角
所对应弧长
图3-4圆弧
任意圆心角α所对应弧长
例3 气割图示板料，直径ｄ＝380㎜求气割长度L。
解：
α＝180－（62°24′+90°）
＝207.6°
L＝ｄ/2+ｄ/2+LB
＝ｄ+
＝380+
＝380+688.08图3-5气割板料
＝1068.08
答：
气割长度为1068.08㎜
3．2钢板展开长度的计算
在机械加工中，有很多零件需要进行弯曲，在弯曲前要根据图纸备料，那么备料时毛坯的长度如何计算？
弯形展开长为其直线长和曲线部分展开长之和。
3.2.1弯曲件毛坯长度的确定
（1）中性层的概念
材料在弯曲时，外层纤维受拉伸长，内层纤维受压缩短，由于内外层纤维是连续的，因此，在它们中间必然存在一层既不伸长也不缩短的纤维层，我们把这个纤维层称为中性层。
在计算弯曲件毛坯长度时，按中性层的长度计算。
（2）中性层的位置
中性层的位置取决于材料的变形程度，而变形程度则由r/t（弯曲半径/料厚）的大小来确定。
r/t较大时，变形程度小，中性层与弯曲坯料的几何中心重合，即Rzx=r+0.5t;r/t较小时，中性层不在材料厚度的几何中心，而是偏向弯曲部分内表面一侧。
通常，在确定中性层半径时，可以用下列简化公式算出；
Rzx=r+xt
Rzx：
中性层半径r：
弯曲半径t：
料厚x：
中性层位移系数（见表）
r/t
01.
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
r/t
0.6
0.7
0.8
1
1.2
x
0.26
0.28
0.3
0.32
0.33
r/t
1.3
1.5
2
2.5
3
x
0.34
0.36
0.38
0.39
0.4
r/t
4
5
6
7
≥8
x
0.42
0.44
0.46
0.48
0.5
这样计算也比较麻烦,一般情况下，当r/t≥8时，取Rzx＝r＋0.5t（即x=0.5）;
当r/t＜8时，取Rzx＝r＋t/3（即x=1/3）。
2、毛坯长度的确定
弯曲件不光只有弯曲部分，而且还有直线段，在计算这样的弯曲件展开长度时，弯曲件展开长度等于弯曲件长度与直线段长度之和。
直线段长度在弯曲时没有发生变化，因此它的长度不变。
（1）毛坯展开长度等于弯曲件直线部分的长度和圆弧部分中心层长度之和。
即：
L＝∑lz＋∑ly
式中L---弯曲件毛坯长度之和（mm）
∑lz----弯曲件各直线段长度之和（mm）
∑ly-----弯曲件各圆弧部分中性层长度之和（mm）
其中弯曲部分展开长度计算公式：
ly：
中性层弧长（mm）
r：
弯曲半径（mm）
t：
材料厚度（mm）
α：
圆心角（°）
图3-6弯曲件图3-7无圆角半径工件的弯曲
例1计算图示3-6弯曲件的展开长度
解：
L＝∑lz＋∑ly其中
∑lz＝AB+CD∑ly=BD
AB＝AE－BE=60－（R＋t）ctan60°/2＝34.02mm
CD＝CE－DE=76－（R＋t）ctan60°/2＝50.02mm
BD=π（r＋xt）α/180°
因为r/t＝10/5＝2＜8
所以取x＝1/3
BD=π（r＋xt）α/180
＝3.14（10＋5/3）（180°－60°）/180°
＝24.44mm
L＝∑lz＋∑ly
＝AB+CD＋BD
＝34.02+50.02+24.44
＝108.48mm
（2）圆角半径很小即r/t＜0.3的工件，（如图3-7）无圆角半径或圆角半径很小的弯曲件，其毛坯展开长度计算是
计算毛坯长度的公式：
L＝∑lz＋Knt
L：
弯曲件毛坯长度（mm）
∑lz：
弯曲件各直线段长度之和（mm）
n：
弯角数目
t：
材料厚度（mm）
K：
系数，单角时K＝0.48～0.5；双角时K＝0.45～0.8；多角时K＝0.25；材料塑性很大时，K＝0.125。
图示3-8
例2计算图示（3-8）工件的展开长度，材料为10钢，厚度为2.5mm。
解：
根据L＝∑lz＋Knt计算
因为是多角，所以取K＝0.25
L＝l1＋l2＋l3＋l4＋l5＋l6＋l7＋0.25×6×0.25
=15＋25＋6＋30＋8＋10＋18＋0.25×6×2.5
=115.75mm
习题：
1、一个椭圆板的短轴20mm，面积为628㎜2试计算另一长轴尺寸。
2、已知一密封圈外径66mm，内径58mm，求密封圈的面积。
3、已知一个圆的面积A=379.94cm2,计算圆的直径。
4、求如图所示（3-9）的外轮廓气割长度和内孔气割长度。
5、如图所示（3-10）工件，厚度为1.5mm,计算展开长度.（210页3、4、5）
6、计算如图所示（3-11）工件的展开长度
7、计算如图所示（3-12）的工件展开长度
图示3-9
图示3-10图示3-11
图示3-12
第四章面积计算
4.1几何形体面积计算
一个平面图形的面积，是指这个图形所含有的面积单位的倍数。
取边长为1个单位长度的正方形，我们规定这个正方形是1个面积单位，通常称1平方。
例如：
以1米为单位长度，那么，取边长为1米的正方形的面积，就是1平方米（㎡），以1公里为单位长度，那么，取边长为1公里的正方形的面积就是1平方公里（k㎡）。
4.1.1面积的单位换算
1㎡＝102dm2＝104㎝2＝106㎜2
1㎜2＝10-2㎝2＝10-4d㎡＝10-6㎡
1k㎡=106㎡
例1、要从一块7.5㎡的钢板上割下5.35㎡、0.936d㎡、165.02㎝2、43.825㎜2，求剩余部分的面积为多少平方分米？
已知：
A1=750d㎡A2=535d㎡A3=0.936d㎡A4=1.6502d㎡A5=0.0043825d㎡
求：
A=？
解：
A=A1-A2-A3-A4-A5
=750d㎡-535d㎡-0.936d㎡-1.6502d㎡-0.0043825d㎡
=212.41d㎡
4.1.2直线包围的图形的面积
1、规则四边形面积（图4-1）
若四边形的各条边都相互平行，则称该四边形为规则四边形，如矩形（长方形、正方形）和平行四边形都是规则四边形。
图4-1规则四边形
规则四边形的面积公式：
面积=底边×高
即A=l·h
例2、将一个高2100㎜，宽950㎜的门用一块铁板加固，问需要多少平方米铁板？
已知：
h=2100㎜=2.1ml=950㎜=0.95m
求:
A=?
解:
A=l·h=0.95m×2.1m=1.995㎡
2、三角形面积（图4-2）
若把三角形某一边叫做底边l，那么，其高是指另一顶点与底边的垂直距离h。
每一个规则四边形都可以平均分解成两个完全相等的三角形，故三角形面积是规则四边形的一半。
图4-2三角形
三角形的面积公式：
例3、一个横截面积为三角形的通道，底边长l=48㎜，横截面积A=768㎜2，求通道的高h？
解：
h=2A/l=2×768/48=32㎜
3、梯形面积（图4-3）
每一个梯形都可以分解成两个三角形，因而，每个梯形的面积都可以按两个三角形面积计算。
图4-3梯形
梯形面积公式：
例4、一个梯形盖板面积为10d㎡，下底长700㎜，高20cm，计算上底长度为多少㎜
解：
L1=2A/h-l2=2×100000㎜2/200㎜-700㎜=300㎜
4.1.3圆弧包围的图形面积
圆弧包围的图形包括：
圆形、扇形、弓形、圆环形、截圆环图形。
1、圆形面积公式:
r:
圆的半径d:
圆的直径
例1、已知一个圆的面积A=379.94㎝2,计算圆的直径为多少毫米?
解:
d=4×379.94/3.14=22cm=220mm
2、扇形面积公式：
（图4-4）
扇形面积可以看作是圆面积的一部分。
图4-4扇形r:
圆的半径d:
圆的直径a:
扇形弧所对的圆心角
例2、计算图中（4-5）扇形面积㎝2
图4-5扇形面积
已知：
r=60mm=6㎝
a=180°-45°=135°
求：
A=？
㎝2
解：
=3.14×62×（135°/360°）=42.39㎝2
3、弓形面积公式：
（图4-6）弓形面积可以看作是扇形面积与三角形面积之差。
图4-6弓形面积
A=扇形面积—三角形面积
S:
弦长h:
弦高
例3、
如图所示（4-7）铣削一根￠60mm的轴，铣削高度为10mm，扇形角为96°24′。
问该轴的截面积将减少多少平方毫米？
解：
（1）计算弦长s
由三角形部分知：
（s/2）2+（r-h）2=r2
s/2=
=
图4-7铣削轴
=22.36mm
S=2×22.36=44.72mm
（2）计算面积s：
由题意知：
=3.14×602mm2×96.4°/4×360°-〔44.72mm×（30-10）〕/2
=309.54mm2
4、圆环形面积公式：
（图4-8）
圆环面积，可以看作大圆面积与小圆面积之差。
图4-8圆环
例4、已知一密封圈外径66mm，内径为58mm，求密封圈的面积。
解：
=3.14/4×（662-582）mm2
=778.72mm2
5、椭圆面积公式：
若椭圆长轴与短轴长度一样，此时，椭圆就为圆，所以圆可以看成是椭圆的特殊情况。
D：
长轴d:
短轴
例5、一个椭圆板的短轴20mm，面积为628mm2，试计算另一长轴尺寸。
解：
D=（4×628mm2）/（3.14×20mm）=40mm
4.1.4复合面积计算
许多工件的图形，往往是由几个不同形状的简单图形组成，对这类工件图形面积计算，可采用先分解后叠加的方法进行。
例1凸模固定板如图（4-9）示，试求阴影部分面积A1。
图4-9凸模固定板
解：
A1＝A－2A小
＝80×50－2〔20×（50－30）÷2〕
＝3600㎜2
4．2板材成品面积和材料利用率的计算
前面的面积计算都是求工件几个后的面积（成形面积），工件加工过程中有边角余料出现，因此，加工工件的材料用量实际上要比工件面积大，那么材料用量与工件面积有何关系？
4.2.1材料用量和边角余料
钣金工在下料过程中，可根据工件所需面积（Aｗ），计算
出板材用量（Aｂ），从而计算边角料（Aｖ）。
边角料＝板材用量－工件所需面积
即：
Aｖ＝Aｂ－Aｗ
如图4-10从一长方形板材切割出一个椭圆
图4-10长方形板材切割椭圆孔
根据边角料Aｖ可计算出边角料占板材用量的百分数即边角料量Aｖ％。
例1 如上图（4-10）所示，在一长方形板材上切割出一个椭圆，求板材用量Aｂ、工件面积Aｗ、边角料Aｖ、边角料量Aｖ％。
解；Aｂ＝ｌ×ｈ＝800×500＝400000㎜2
Aｗ＝
＝3.14×750×450÷4＝264937.5㎜2
Aｖ＝Aｂ－Aｗ＝400000－264937.5＝135062.5㎜2
答：
略
例2、从一正方形板料切割一十字形工件，
如图示（4-11），求板材用量Aｂ、工件面积Aｗ、
边角料Aｖ、边角料量Aｖ％。
（Aｂ＝160000㎜2
Aｗ＝112500㎜2、Aｖ＝47500㎜2
Aｖ％＝29.69％）
图4-11十字形工件
4.2.2材料利用率
在板料上冲裁或剪切工件时，应尽量提高材料的利用率。
例2铰链板如图示（4-12），若需12块铰链板，剪裁中损耗12.5％，求所需钢板用量。
图4-12铰链板
解：
一块铰链板面积
A＝2A1++A2+A3
=2×22×（46-22）÷2+（46+18）×（110-28）÷2+46×（28-22）
=528+2624+276
=3428㎜2
12块铰链板面积：
12A＝12×3248＝41136㎜2
材料用量Aｂ
Aｂ＝工件面积÷材料利用率
＝41136÷（1－12.5％）
＝47012㎜2≈0.5㎡
答：
略
习题：
1、角板如图（4-13）所示，求其面积。
2、试求如图（4-14）所示的方钢的横截面面积。
3、试求如图（4-15）所示的十字支柱横截面积。
图4-13角板图4-14方钢图4-15十字支柱
4、燕尾导轨横截面积如图4-16所示，试求其面积。
图4-16燕尾导轨
5、密封环如图4-18所示，试求其面积。
图4-17
9、如图4-18所示，分别求出板材用量Ab,工件面积A，边角料AV及边角料量AV%。
10、如图4-19已知ｌｗ＝20㎜、ｂｗ＝30㎜、ｌｓ＝20+1＝21㎜、ｂｓ＝30+2＝32㎜，求材料利用率。
图4-18图4-19
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